阶段测验-概率部分2012.4

概率统计测验题概率统计测验题 一 选择题 每题 3 分 共 15 分 1 每次试验的成功率为 则在 3 次重复试验中至少失败一次的概率是 10 pp A B C D 3 1p 3 1p p 13 2 2 11pppp 2 设则 3 0 7 0 BAPAP ABP A 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 1 3 设随机变量的方差存在 则 D0a 1 E P a A B 1 C D D 2 a D Da2 4 设随机变量的方差都存在且不等于零 则是 DDD A 不相关的充分条件 但不是必要条件 B 独立的必要条件 但不是充分条件 C 不相关的充分必要条件 D 独立的充分必要条件 5 设随机变量相互独立 具有同一分布 且 2 1 k k 2 0 kk DE 存在 对任意 正确的是 4 k E 2 1 k0 A B 2 1 1 lim1 n k n k P n 22 1 1 lim1 n k n k P n C D 22 1 1 lim1 n k n k P n 22 1 1 lim0 n k n k P n 二 填空题 每题 3 分 共 15 分 1 为相互独立的事件 0 6 0 4 则 BA BAP AP BP 2 将一颗骰子投掷两次 依次记录所得点数 则两骰子点数相同的概率为 3 设随机变量 X 具有概率密度 则常数 A 为 其他0 10 1 2 xxAx xf 4 设相互独立的两个随机变量 则 YX X 2 11 NY 2 22 NYX 2 5 设有随机变量如果对 有 21n XXX0 则称随机变量序列依概率收敛于 lim X X P n n n XX 三 计算题 每题 7 分 共 35 分 1 设考生的报名表来自三个地区 各有 10 15 25 份 其中女生表分别为 3 7 5 份 1 若随机地取一地区 从该地区报名表中抽取一份表 求抽到的是女生表的概率 p 2 若随机取一份报名表是男生表 问抽到的男生表是那一个地区的可能性大一些 2 设随机变量的分布列为X X 10123 P0 250 15a0 35b 问 1 应满足什么条件 当时 求 2 求 ba 2 0 ab 1 2 XP 2 1 0 XPXP 3 设二维离散型随机变量 的分布列为YX Y X 012 0 1 0 25 b 0 0 3 a 0 15 1 若 求 并求的分布列 2 0 abXY 2 求关于的边缘分布列 并判断是否独立 YX YX 4 设随机变量的概率密度为 求 1 常数 c 2 x 0 1 xcx xf 其他 10 x 2 1 XP 2 1 P X 3 1 P X 5 设随机变量的概率密度为 对独立重复的观测 4 次 X 0 2 cos 2 1 x xf 其他 x0 X 以表示观测值大于的次数 求 Y 3 2 YE 四 证明题 每题 7 分 共 21 分 1 证明若事件相互独立 则事件也相互独立 AB AB 2 证明任一事件在一次试验中发生的次数的方差不大于 A 4 1 3 设有随机变量 随机变量 证明 2 DXEXX X YN 0 1 Y 五 应用题 每题 7 分 共 14 分 1 一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与 其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号显示的时间相等 以表示该汽车首次遇X 到红灯前已通过的路口个数 1 求的概率分布 2 求 X X E 1 1 2 一电子仪器由两个部件构成 以和分别表示两个部件的寿命 单位 千小时 已XY 知和的联合分布函数为XY 1 问和是否独立 其它 0 001 505050 yxeee y xF yx y x XY 2 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 概率统计测验题参考答案概率统计测验题参考答案 一 选择题 每题 3 分 共 15 分 1 B 2 A 3 C 4 C 5 C 二 填空题 每题 3 分 共 15 分 1 2 3 4 5 1 3 1 6 1 4 A 2 2 2 1 21 4 2 N 三 计算题 每题 7 分 共 35 分 1 解 记 取的是第 区的报名表 1 2 3 从报名表中取的是女生表 i AiiB 123 375 101525 P BAP BAP BA 1 由题意每个地区被抽到的概率相同 由全概率公式得 3 1 321 APAPAP 3 1 137529 3 10152590 ii i pP BP BA P A 2 由题意取到的一份报名表是三个地区的概率不同 5 1 1 AP 10 3 2 AP 由全概率公式得 2 1 3 AP 3 1 1337153 5 1010 152 2510 ii i qP BP BA P A 37 1 1 1010 P BP B 由逆概公式有 1 1 1 5 P AB P A B P B 2 2 8 35 P A B P AB P B 3 3 20 35 P A B P AB P B 由于 故抽到的男生表是第一个地区的可能性大 1820 53535 2 解 1 由 0 25 0 15 a 0 35 b 1 及分布列的性质 应满足ba 0 0 25 0 baba 因此 当时 2 2 0 a05 0 b4 005 0 35 0 3 2 1 2 XPXPXP 4 015 0 25 0 0 1 0 XPXPXP0 2 1 XP 3 解 1 若 则 2 0 a1 0 b 因为 的可能取值为 XY 2 1 0 1 所以 1 0 0 1 1 1 YXPXYPP 55 0 3 025 0 1 1 0 0 0 0 YXPYXPXYPP 15 0 15 00 2 1 1 0 1 1 YXPYXPXYPP 2 0 2 0 2 2 YXPXYPP 故 的分布列为 XY 1012 P0 10 550 150 2 2 的边缘分布列如下 YX Y X 012 i p 0 1 0 25 0 1 0 0 3 0 2 0 15 0 45 0 55 j p 0 350 30 351 因为 所以 不独立 1 0 3 045 0 0 1 0 YPXPYXPYX与 4 解 1 所以 ccxxcdxxcxxf 6 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 0 32 1 0 6 c 2 2 1 1 6 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 dxxxdxxfXPXP0 2 1 XP 27 20 1 6 3 1 1 3 1 3 1 dxxxdxxfXP 5 解 显然 因此 33 2 1 2 cos 2 1 3 dx x dxxfXPpY 2 1 4 B 2 2 1 4 YE 11 4 1 1 22 D Y 所以 521 222 YEYDYE 四 证明题 每题 7 分 共 21 分 1 证明 由事件与相互独立定义有AB BPAPABP ABPBPAPBAPPBAP BA 11 BPAPBPAP 1 APBPAP 11 11P AP BP AP B 故事件 相互独立 AB 2 证明 设事件在一次试验中发生的概率为 并设随机变量表示事件在一次试ApXA 验中发生的次数 则服从 0 1 分布 X 0 1X 1 k ppp 因为随机变量的方差为 X 1 ppXD 22 111 424 D Xppp 故均有方差不大于 4 1 3 证明 XE X EEY 1 0 11 EX DXXD X DDY 22 11 1 2 2 五 应用题 每题 7 分 共 14 分 1 解 1 0 1 2 3 X p 2 1 4 1 8 1 8 1 2 根据随机变量的函数的数学期望的计算公式 xgY k k k pxgXgE 有 96 67 8 1 4 1 8 1 3 1 4 1 2 1 2 1