2013年普通高等学校全国招生统一考试数学（新课标Ⅱ卷）理科与答案(34)

2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 1 20132013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 新课标新课标 卷卷 数学数学 理科理科 试题答案及解析试题答案及解析 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 0 1 2 3 则 4 1 2 RxxxM 1 N M N A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 2 3 D 0 1 2 3 答案 A 解析解析 该题主要考查集合交集运算与不等式的解法 由所 31 4 1 2 xxRxxxM 以由交集的定义可知 2 1 0 NM 2 设复数 z 满足 1 i z 2 i 则 z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 答案 A 解析 本题主要考查复数的基本运算 由题目中的表达式可得i ii ii i i z 1 1 1 1 2 1 2 3 等比数列 an 的前 n 项和为 已知 则 n S 123 10aaS 9 5 a 1 a A 1 3 B 1 3 C 1 9 D 1 9 答案 C 解析 本题主要考查等比数列的基本公式的运用 由题中得出 123 10aaS 12321 10aaaaa 从而就有 又由99 1 3 2 13 a a qaa 9 1 9 1 4 15 aqaa 4 已知 m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足lm ln l l 则 A 且 l B 且l 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 2 C 与 相交 且交线垂直于l D 与 相交 且交线平行于l 答案 D 解析 本题主要考查空间线面关系的判定 若 由题中条件可知 与题中为异面直线 nm nm 矛盾 故 A 错 若则有 与题设条件矛盾 故 B 错 由于 则都垂 lnl nl nm nm 直于的交线 而是两条异面直线 可将 m 平移至与 n 相交 此时确定一个平面 则 nm和 的交线垂直于平面 同理也有 故 平行于的交线 D 正确 C 错 ll 5 已知的展开式中的系数为 5 则 5 1 1 xax 2 xa A 4 B 3 C 2 D 1 答案 D 解析 本题考查二项式展开式中各项系数的确定 因为的展开式中的通项可表示为 5 1 x rr r xCT 51 从而有中的系数分别为 所以原式 5 1 x xx 与 2 510 1 5 2 5 CC和 中系数为 555 1 1 1 1 xaxxxax 2 x15510 aa 6 执行右面的程序框图 如果输入的 N 10 那么输出的 s 执行右面的程序框图 如果输入的 那么输出的 10N S A 111 1 2310 B 111 1 2 3 10 C 111 1 2311 D 111 1 2 3 11 答案 B 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 3 解析 该题考查程序的输出结果 重点是了解算法中循环结构的功能 的计算结果是 k T T 1 k 是求和的算法语句 结合以上两点 当时 时结束循环 所以应该选 B TSS 10 N11 k 7 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以 zOx 平面为投影面 则得到正视图可以为 答案 A 解析 该题考查三视图与空间坐标系综合应用 由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下 从右到左投影到 xoz 平面的正投影为 A 8 设 则 6 3 log a 10 5 log b 14 7 log c A c b a B b c a C a c b D a b c 答案 D 解析 本题考查对数比较大小的问题 将题中的条件进行变形可知 2 3 2 3 3 3 6 3 log1logloglog a 2 5 2 5 5 5 10 5 log1logloglog b 2 7 2 7 7 7 14 7 log1logloglog c 又因为 所以有 2 7 2 5 2 3 logloglog cba 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 4 9 已知 a 0 x y 满足约束条件 1 3 3 x xy ya x 若 z 2x y 的最小值为 1 则 a A B 4 1 2 1 C 1 D 2 答案 B 解析 本题考查线性规划的应用 题目给出的可行域含有参数 由于直线过定点且a 3 xay 0 3 所以可行域如图所示 当直线 2x y z 过 x 1 与 y a x 3 的交点 1 2a 时 z 取得最小值 1 所0 a 以有 122 a 2 1 a 10 已知函数 下列结论中错误的是 cbxaxxxf 23 A 0 00 xfRx使 B 函数 y f x 的图像是中心对称图形 C 若是的极小值点 则在区间 单调递减 0 x xf xf 0 x 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 5 D 若是的极值点 则 0 0 x xf 0 xf 答案 C 解析 本题主要考查对三次函数图像的理解 该三次函数的大至图像如下图 当 x 趋于负无穷大时 函数值为负 当 x 趋于正无穷大时 函数值为正 而该函数在 R 是连续的 所以 就有 A 的说法正确 函数可以由函数经过平移0 00 xfRx使 cbxaxxxf 23 3 xxg 得到 而关于原点对称 故是关于中心对称的图形 B 的说法正确 由极值点的定义 D 说 xg xf 法正确 由三次函数图像可知 若是的极小值点 则在区间 不单调 故 C 说 0 x xf xf 0 x 法错 选 C 11 设抛物线的焦点为 F 点 M 在 C 上 MF 5 若以 MF 为直径的园过点 0 3 0 2 2 ppxy 则 C 的方程为 A 或 B 或xy4 2 xy8 2 xy2 2 xy8 2 C 或 D 或xy4 2 xy16 2 xy2 2 xy16 2 答案 C 解析 本题是圆的方程与抛物线的综合性问题 设点 M x y 圆心 B a b 如图 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 6 从而可以得到 B 的横坐标 所以可以设圆 B 22 5 2 5 pFFMM BBMFMM 得由 2 5 a 的方程为 将点 0 2 代入得 从而可以得到 4 25 2 5 22 byx2 4 25 2 2 5 22 bb 点 M 的坐标为 代入 故答案选 C 注 由于 4 2 5 p 82 16102 22 pppppxy或解得得 图片不清楚 有人写出该题的题设应该是 无论是哪种不会影响方法的正确性 0 3 2 ppxy 12 已知点 A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线 y ax b a 0 将 ABC 分割为面积相等的两部分 则 b 的取值范围是 A 0 1 B C D 2 2 1 2 1 2 2 1 3 1 3 1 2 1 答案 B 解析 设直线 y ax b 与直线 BC x y 1 的交点为 D xD yD 与 x 轴的交 点为 E 由题意可知 要平均分割三角形 则 b 0 所以 E 点只能处于 x 0 a b 轴 负半轴 当 E 在 A 点与原点之间时 如图可得 DEB 的面积为 联立 2 1 直线 y ax b 与线 BC x y 1 得 yD 所以有整理得 a ba 12 1 1 1 2 1 2 1 a ba a b yBES DBDE 2 1 0 21 2 b b b a得 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 7 当 E 与 A点重合时 直线 y ax b 想平分 ABC 的面积 必须过 0 1 B C 的中点 如下图此时可确定直线 y ax b 的方程为 2 1 2 1 3 1 3 1 xy 此时 3 1 b 当 E 点处于 A 点左侧时 如图 此时若直线 y ax b 想平分 ABC 的面积 则 且三角形 CDF 面积为 联立直线10 a10 b 2 1 y ax b 与线 BC x y 1 得 联立直线 y ax b 与线 BC x y 1 得 所以有 a b xD 1 1 a b xF 1 1 解得 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 a bxxbS FDCDF 0 1 21 22 ba 2 2 1 2 2 1 b 综上所述 故答案选 B 2 1 2 2 1 b 二 填空题 13 已知正方形 ABCD 的边长为 2 E 为 CD 的中点 则AE BD 答案 2 解析 如图建立平面直角坐标系 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 8 从而有 所以 2 2 2 1 BDAE242 BDAE 14 从 n 个正整数 1 2 n 中任意取出两个不同的数 若取出的两数之和等于 5 的概率为 则 n 答案 8 解析 本题考查古典概率的计算 由题可知所有基本事件总数为 选出来的正整数要求和 2 1 2 nn Cn 为 5 则只能是 1 4 5 和 2 3 5 两种情况 所以有 8 14 12 2 n Cn 解得 15 设 为第二象限角 若 tan 则 sin cos 4 2 1 答案 5 10 解析 本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题 由得 2 1 tan1 tan1 4 tan 又因为为第二象限角 利用可求得 3 1 tan 1cossin cos sin tan 22 10 103 cos 10 10 sin 所以有 5 10 cossin 16 等差数列的前 n 项和为 Sn 已知 则的最小值为 n a25 0 1510 SS n nS 答案 2 49 解析 本题考查等差数列与导数的综合问题 由 联立后5213 09225 0 111510 dadaSS得 就可以解得 则令 求导后可得 2 3 3 1 1 ad 6 10 2 nn Sn 6 10 23 nn nSnf n 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 9 因为 故当时单调递减 当时 单调递增 所 203 6 n n nf0 n 3 20 n nf 3 20 n nf 以当时取得最小值 又因为 n 为整数 所以当 n 6 或 n 7 时取最小 3 20 n24 6 f 故最小值为 2 49 7 f 2 49 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 ABC 在内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a bcosC csinB 求 B 若 b 2 求 ABC 面积的最大值 解析 本题考查正 余弦定理的应用 解题过程如下 1 因为 a bcosC csinB 所以 sinA sin B C sinBcosC sinCsinB sinBcosC cosBsinC sinBcosC sinCsinB 因为 sinC 0 所以有 cosB sinB 从而有 B 45 2 由余弦定理可知 acac accab 22 45cos2 222 所以有 当且仅当取等号 22 2 acca 12 2 2 22 2 2 1 sin 2 1 BacS 故面 ABC 面积的最大值为 12 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 D E分别是AB 1 BB的中点 1 2 2 AAACCBAB 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 10 证明 1 BC平面 11 ACD 求二面角 1 DACE 的正弦值 A B C D 1 A 1 C 1 B E 证明 证明 1 连接 AC1 交 A1C 于点 F 则 F 平分 AC1 又因为 D 为 AB 的中点 所以有 FD BC1 FD面 A1CD BC1面 A1CD 所以 BC1 平面 A1CD 2 因为 AC CB 2AB 从而有 AC2 CB2 AB2 所以 ACCB 如图建立空间直角坐标系 设 AC 1 则各点坐标为 C 0 0 0 A1 1 0 1 D 1 2 1 2 0 B 0 1 0 E 0 1 1 2 则 2 1 1 0 0 2 1 2 1 1 0 1 1 CE CD CA 设平面 A1CD 和平面 A1CE 的法向量分别为则 22221111 zyxnzyxn 和 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 11 0 0 1 11 nCD nCA 0 0 2 2 nCE nCD 解得 2 1 2 1 1 1 21 nn 3 6 sin 3 3 cos 21 21 21 21 nn nn nn nn 则二面角 D A1C E 的正弦值为 3 6 19 本小题满分 12 分 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出1t该产品获利润500元 未售出的产品 每1t亏损300元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频 率分布直方图 如右图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品 以 X 单位 t 100150X 表示市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售 季度内经销该农产品的利润 将T表示为X的函数 根据直方图估计利润T不少于57000元的概率 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率 例如 若 100 110 x 则取105X 且105X 的概率等于需 求量落入 100 110 的T的数学期望 解析 1 当100130X 时 500300 130 80039000TXXX 当130150X 时 65000T 所以 T 与 X 的函数关系式为 80039000 100130 65000 130150 XX T X 2 当8003900057000X 时 即120X 时 概率 P 0 7 3 X 可能的取值为 X105115125135145 P0 10 20 30 250 15 T4500053000610006500065000 所以 元 5940015 06500025 0 650003 0610002 0530001 045000 ET 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 12 20 本小题满分 12 分 平面直角坐标系中 过椭圆右焦点的直线交于xoy 0 1 2 2 2 2 ba b y a x M03 yxM 两点 为的中点 且的斜率为 A BPABOP 2 1 I 求的方程 M II 为上的两点 若四边形对角线 求四边形面积的最大值 CDMACBDABCD ACBD 解析 解析 1 设 112200 A x yB xyP xy将 A B 代入得到 22 11 22 22 22 22 1 1 1 2 xy ab xy ab 则 1 2 得到 2 021 2 120 xyyb xxay 由直线 AB 30 xy 的斜率 k 1 所以 2 0 2 0 1 xb ay OP 的斜率为 0 0 1 2 x y 所以 22 2ab 由 222 abc 得到 22 6 3ab 所以 M 得标准方程为 22 1 63 xy 1 若四边形ACBD的对角线CD AB 由面积公式可知 当 CD 最长 ABCDS 2 1 时四边形ACBD面积最大 由直线 AB 30 xy 的斜率 k 1 设 CD 直线方程为 与mxy 椭圆方程 22 1 63 xy 联立得 06243 22 mmxx 3 62 3 4 2 2121 m xx m xx 则 当 m 0 时 CD 最大值为 4 9 872 24 1 2 21 2 21 2 m xxxxkCD CD 联立直线 AB 30 xy 与椭圆方程 22 1 63 xy 得0343 2 xx 2013 年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 13 同理利用弦长公式 3 64 4 1 21 2 21 2 xxxxkAB AB 3 68 2 1 max max ABCDSACBD 2121 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知函数 ln x f xexm 设0 x 是 f x的极值点 求m 并讨论 f x的单调性 当2m 时 证明 0f x 解 解 mx 1 exf x X 0 是极值点 00f 即 1m0 m 1 e0 x 1 1x 1 e1x 1x 1 exf x x 当 0 0 0 0 1 x xfxfx xfxf X 0 处取的极小值 恒成立 即当 m 2 时 恒成立 0 xf0 ln mxex 令 x emxmg ln 即 g m 0 在上恒成立 2 m 易知 g m 单调递减 即 g 2 0 即 恒成立0 2ln x ex 令 2 1 2 2 1 2ln x xe x exh xexh