湖南大学微积分01-第1讲集合与映射.ppt

一元微积分学 大学数学 一 第一讲集合与映射 脚本编写 教案制作 刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民 第一章集合与函数 本章学习要求 正确理解函数概念 能熟练求出函数的定义域 掌握函数的单调性 有界性 奇偶性 周期性的分析表示和图形特征 正确理解初等函数 复合函数概念 能正确将复合函数进行分解 会求函数 包括分段函数 的反函数 了解 取整函数 和 符号函数 能对常见的实际问题进行分析 建立函数关系 第一节集合与映射 一 集合的基本概念二 集合的基本运算三 映射的基本概念四 实数 区间 邻域 一 集合的基本概念 集合论是现代数学的基础 集合论的创始人是丹麦人康托尔 犹太人 他在柏林大学学习 工科 期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响 转而攻读数学 最后成为一名数学家 他于1847年提出集合论 解决了当时一系列悬而未决的问题 奠定了现代数学基础 但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的 为此他几乎献出了生命 这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的 康托尔将集合定义为 所谓集合是把我们直观和思维中确定的 相互间有明确区别的那些对象 这些对象称为元素 作为一个整体来考虑的结果 1 集合 关于集合的几点注意 集合的元素是确切定义的 不能含糊不清 集合中的元素互不相同 当只研究一个集合时 则可不考虑其结构 视集合中的元素一律平等 2 集合的表示法 列举法 将集合A的所有元素一一列举出来 并用花括号括上 表示集合的方法有两种 注意 不论用那一种方法表示集合 集合中的元素不得重复出现 有些集合可以用两种表示法表示 此时可根据需要选择其中的一种方法 3 子集 集合相等 规定 空集是不含任何元素的集合 记为 空集是任何一个集合的子集 想到什么没有 4 有限集 无限集 含有有限个元素的集合称为有限集 含有无限个元素的集合成为无限集 空集是任何一个非空集合的幂集的元素 二 集合的基本运算 也有一些书将全集称为 空间 原集合 万有集合 等 在wen图中 用矩形表示全集 1 集合运算的概念 A B A B A B A B A B A B A B A A B B A B B A 一般说来 A B 仅当B A时 才有 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 4 5 6 7 8 9 设 A 1 2 3 4 5 则 B 6 7 8 0 1 2 6 7 8 设 A 0 1 2 则 A x x2 2x 3 0 x 1 x 3 B x x 1 3 设 则 x 1 x 1或2 x 3 故 B x x2 解不等式得 A x 1 x 3 交换律 结合律 分配律 对偶律 2 集合的运算性质 幂等律 吸收律 设有集合A B C及全集 则 交换律 结合律 分配律 对偶律 幂等律 吸收律 其它 三 映射的基本概念 1 映射 注意 1 映射是集合间的一种对应关系 集合X Y 中所含的元素不一定是数 可以是其它的一 些对象 或事物 2 对每一个x X 只有唯一的一个y Y值与之 对应关系不一定就是映射 对应 这一点很重要 它说明集合间元素的 3 映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应 Rf X Y f y2 x1 x2 x3 y1 设f为集X到集Y的一个映射 如果 x X 存在唯一的y f x Y与之对应 反过来 若 y Y 存在唯一的x X使得y f x 则称f是X到Y的一一对应 2 一一对应 一一对应的实质 其它内容请同学们自己看书 1 实数集与数轴 实数集为有理数集与无理数集的并 实数具有稠密性和连续性 a R 必 n Z 使n a n 1 实数与数轴上的点一一对应 四 实数 区间 邻域 2 绝对值 距离 任一实数a的绝对值 a 定义为 数轴上任意两点a b之间的距离为 d a b 绝对值常用的性质 3 区间 1 闭区间 a b x a x b a b 2 开区间 a b x a x b a b a b x a x b 称为左开右闭区间 a b x a x b 称为右开左闭区间 3 半开闭区间 a b 4 无穷区间 a x x a a x x a b x x b b x x b x x x x R a a 5 区间长度 不论是闭区间 开区间 半开闭区间 其长度计算均按此式进行 x0 x0