复数知识点与历年高考经典题型

数数系系的的扩扩充充与与复复数数的的引引入入知知识识点点 一一 1 复数的概念 1 虚数单位 i 2 复数的代数形式 z a bi a b R 3 复数的实部 虚部 虚数与纯虚数 2 复数集 0 0 0 0 b abi a bR a b a 3 复数 a bi a b R 由两部分组成 实数 a 与 b 分别称为复数 a bi 的 实部与虚部 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位 当 b 0 时 a bi 就是实 数 当 b 0 时 a bi 是虚数 其中 a 0 且 b 0 时称为纯虚数 应特别注意 a 0 仅是复数 a bi 为纯虚数的必要条件 若 a b 0 则 a bi 0 是实数 4 复数的四则运算 若两个复数 z1 a1 b1i z2 a2 b2i 1 加法 z1 z2 a1 a2 b1 b2 i 2 减法 z1 z2 a1 a2 b1 b2 i 3 乘法 z1 z2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i 4 除法 1121 22 11 2 22 222 za abba bab i zab 5 四则运算的交换率 结合率 分配率都适合于复数的情况 6 特殊复数的运算 n i n 为整数 的周期性运算 1 i 2 2i 若 2 1 2 3 i 则 3 1 1 2 0 5 共轭复数与复数的模 1 若 z a bi 则z abi z z 为实数 z z 为纯虚数 b 0 2 复数 z a bi 的模 Z 22 ab 且 2 z zz a2 b2 6 根据两个复数相等的定义 设 a b c d R 两个复数 a bi 和 c di 相等规定为 a bi c di ac bd 由这个定义得到 a bi 0 0 0 a b 两个复数不能比较大小 只能由定义判断它们相等或不相等 7 复数 a bi 的共轭复数是 a bi 若两复数是共轭复数 则它们所表示的 点关于实轴对称 若 b 0 则实数 a 与实数 a 共轭 表示点落在实轴上 8 复数的加法 减法 乘法运算与实数的运算基本上没有区别 最主要的 是在运算中将 i2 1 结合到实际运算过程中去 如 a bi a bi a2 b2 9 复数的除法是复数乘法的逆运算将满足 c di x yi a bi c bi 0 的复数 x yi 叫做复数 a bi 除以复数 c di 的商 由于两个共轭复数的积是实数 因此复数的除法可以通过将分母实化得到 即 22 abiabi cdiacbdbcad i cdicdi cdicd 10 复数 a bi 的模的几何意义是指表示复数 a bi 的点到原点的距离 二 典型例题 例 1 使不等式 m2 m2 3m i m2 4m 3 i 10 成立的实数 m 例 2 证明 iz iz 1 数数系系的的扩扩充充与与复复数数的的引引入入 历历年年高高考考经经典典题题型型 二二 一一 选选择择题题 1 设复数 z 满足 1 i z 2 i 则 z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 2 2 2 1 21 i i A B C D i 2 1 1 i 2 1 1 i 2 1 1 i 2 1 1 3 如图 在复平面内 点表示复数 则图中表示的共Azz 轭复数的点是 A B AB y x D B A O C C D CD 4 已知 i 是虚数单位 则 1 i 2 i A 3 i B 1 3i C 3 3i D 1 i 5 5 2 1 i A B C D 2 2221 6 6 3 1 3i A 8 B C D 88i 8i 7 已知 i 是虚数单位 则 2 i 3 i A 5 5iB 7 5i C 5 5iD 7 5i 8 8 复数 z 满足 z 3 2 i 5 i 为虚数单位 则 z 的共轭复数 为 z A 2 iB 2 iC 5 iD 5 i 9 若复数满足 则的虚部为 z 34 43 izi z A B C D 4 5 4 4 5 4 10 复数 则 2 2 为虚数单位i i i z z A 25 B C 5 D 415 11 设 z1 z2是复数 则下列命题中的假命题是 A 若 则B 若 则 12 0zz 12 zz 12 zz 12 zz C 若 则D 若 则 21 zz 2112 zzzz 21 zz 21 22 zz 12 设 z 是复数 则下列命题中的假命题是 A 若 则z是实数B 若 则z是虚数 2 0z 2 0z C 若z是虚数 则D 若z是纯虚数 则 2 0z 2 0z 13 复数 z i 1 i i 为虚数单位 在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 14 已知集合 M 1 2 zi i 为虚数单位 N 3 4 M N 4 则复 数 z A 2i B 2iC 4iD 4i 15 15 复数 z i 2 i i 为虚数单位 在复平面内所对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 1 16 6 设 是虚数单位 是复数的共轭复数 若 则 i zz22zziz z A B C D 1 i1 i 1 i 1 i 1 17 7 设 i 是虚数单位 若复数是纯虚数 则 a 的值为 10 3 aaR i A 3B 1C 1D 3 18 在复平面内 复数 2 i 2对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 19 在复平面内 复数 i 2 i 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 20 已知复数 z 的共轭复数 i 为虚数单位 则 z 在复平面内对应的i 21z 点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 21 1 复数的在复平面内对应的点位于 1 2Zi i 为虚数单位 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象 限 22 22 若复数 z 满足 iz 2 4i 则在复平面内 z 对应的点的坐标是 A 2 4 B 2 4 C 4 2 D 4 2 2 23 3 若 则复数的模是 i i 34ixy x y Rixy A 2 B 3 C 4 D 5 2 24 4 复数的模为 1 1 z i 12 2 2 22 ABCD 2 25 5 在复平面内 复数 z i 为虚数单位 的共轭复数对应的点位于 i1 i 2 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 二二 填填空空题题 26 已知 a b R R i 是虚数单位 若 a i 1 i bi 则 a bi 27 已知复数 是虚数单位 则