基本不等式复习三大注意事项

基本不等式复习三大注意事项 山东省邹平县第一中学 李锋 基本不等式是高中阶段的重要内容 是学生不容易掌握的重点知识之一 关键是其变 形灵活 形式多姿多样 基本不等式 沟通了两个正数的 0 0 2 ab ab ab 和 与 积 之间的关系 利用它可以解决求最值或者不等式证明问题 在运用基本不等 式解题时 我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式 或者不便于利用题设条件 此 时需要对题中的式子适当进行拼凑变形 造条件满足应用情境后再解决问题 因此需要掌 握一些变形技巧 注意三大方面 一个技巧 运用公式解题时 既要掌握公式的正用 也要注意公式的逆用 例如逆 22 2abab 用就是 逆用就是等 还要注意 添 22 2 ab ab 2 ab ab 0 0 ab 2 2 ab ab 拆项 技巧和公式等号成立的条件等 两个变形 1 即调和平均数几何平均数算术平均 22 2 11 22 abab ab ab a bR 数平方平均数 当且仅当时取等号 ab 2 当且仅当时取等号 22 2 22 abab ab a bR ab 这两个不等式链用处很大 注意掌握它们 三个注意 1 使用基本不等式求最值 其失误的真正原因是其存在前提 一正 二定 三相等 的忽 视 要利用基本不等式求最值 这三个条件缺一不可 2 在运用基本不等式时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 定 等 的条件 3 连续使用公式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一 致 下面举例析之 一 注意运用不等式链 从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链 不等式中 的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行 例 1 已知 求的最大值 0a 0b 1ab 11 ab 解析 由 又 因为 所以 所以0a 0b 2 11 2 ab ab 1ab 21 11 2 ab 当且仅当时 等号成立 11 ab 4 1 2 ab 评注 本题利用基本不等式链简化了问题 是题目的证明思路一目了然 二 注意结论成立的条件 对来讲 一是要求 二是和或积或平方 22 2 11 22 abab ab ab a bR 和为定值 三是等号要成立即 即所谓的一正 二定 三相等 但是对不等式ab 来讲均可 22 2 22 abab ab a bR 例 2 求函数的最值 y xx x 49 错解 y xx x xx x 491336 2 13 36 132 36 25x x x x 当且仅当即时取等号 x x 36 x 6 所以当时 y 的最小值为 25 此函数没有最大值 x 6 错因分析 上述解题过程中应用了基本不等式 却忽略了应用基本不等式求最值时的 条件 两个数都应大于零 因而导致错误 因为函数的定义域为 y xx x 49 所以必须对的正负加以分类讨论 0 0 x 正解 1 当时 x 025 36 213 36 13 x x x xy 当且仅当即时取等号 所以当时 x x 36 6 xx 6ymin 25 2 当时 x 0 x x 0 36 0 x x x x 36 2 36 12 当且仅当 即时取等号 所11213 36 13 x xy x x 36 x 6 以当时 x 6ymax 13121 评注 在利用基本不等式链时 一定要注意使用范围 例 3 已知 且 求的最小值 0 0 xy 19 1 xy xy 错解 且 0 0 xy 19 1 xy 199 2212xyxyxy xyxy 故 min12xy 错因分析 解法中两次连用基本不等式 在等号成立条件是 在2xyxy xy 等号成立条件是即 取等号的条件的不一致 产生错误 199 2 xyxy 19 xy 9yx 正解 19 0 0 1xy xy 199 106 1016 yx xyxy xyxy 当且仅当时 上式等号成立 又 可得时 9yx xy 19 1 xy 4 12xy min16xy 评注 在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立条件是解题的必要步骤 而且是检 验转换是否有误的一种方法 三 要掌握三种拼凑方法 由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和 定积或平方和为 常数 例 4 当时 求的最大值 04x 82 yxx 解析 由知 利用基本不等式求最值 必须和为定值或积为定值 04x 820 x 此题为两个式子积的形式 但其和不是定值 注意到为定值 故只需将2 82 8xx 凑上一个系数即可 82 yxx 2 11 282 82 2 82 8 222 xx yxxxx 当 即时取等号 所以当时 的最大值为 8 282xx 2x 2x 82 yxx 评注 本题无法直接运用基本不等式求解 但凑系数后可得到和为定值 从而可利用基 本不等式求最大值 例 5已知 求函数的最大值 5 4 x 1 42 45 yx x 解析 因 所以首先要 调整 符号 又不是常数 所以450 x 1 42 45 x x A 对要进行拆 凑项 42x 5 540 4 xx 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 即时 上式等号成立 故当时 1 54 54 x x 1x 1x max 1y 评注 本题需要调整项的符号 又要配凑项的系数 使其积为定值 例 6 已知 为正实数 且 求的最大值 xy 2 2 1 2 y x 2 1xy 解析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式 同时还应化简中 22 2 ab ab 2 1y 前面的系数为 下面将 分别看成 1 2 22 2 11 122 222 yy xyxx x 2 1 22 y 两个因式 则 2 2 1 12 22 y xyx 2 2 1 22 2 2 y x A 3 2 4 当且仅当且 即 时 等号成立 2 1 22 y x 2 2 1 2 y x 3 2 x 2 2 y 所以的最大值为 2 1xy 3 2 4 评注 本题注意到适当添加常数配凑后 两项的平方和为常数 故而进行变形利用基本不 等式链解决问题 链接练习 1 已知 求函数的最小值 01x 41 1 y xx 解 因为 所以 01x 10 x 所以 41414 1 1 59 111 xx yxx xxxxxx 当且仅当时 即 上式取 故 4 1 1 xx xx 2 3 x min 9y 2 已知 求函数的最大值 0 0ab 328ab 32ab 解 利用不等关系 22 22 abab