在中学数学教学中渗透数学史的教育

1 在中学数学教学中渗透数学史的教育在中学数学教学中渗透数学史的教育 刘峰 摘要摘要 数学史在中学数学教学中的作用是非常重要的 教师在教学过程中融入 数学史的内容 可以帮助学生认识数学 形成正确的数学观 有利于培养学生正确 的数学思维方式 有利于开阔学生视野 培养学生对数学的兴趣 传授数学史的一 些知识也为德育教育提供了舞台 为了提高教学质量 加深学生对数学理论的认识 本文从历史和人文等角度分析了数学史在这方面的作用 通过数学名人轶事 千古 名题激发学生求知欲 有助于学生更全面 深入地理解数学知识 关键词关键词 数学史 数学兴趣 知识框架 教育功能 1 1 数学史融入中学教学的提出数学史融入中学教学的提出 1 11 1 数学史融入教学的背景数学史融入教学的背景 数学是人类最久远的知识领域之一 从结绳记数到电子计算机的发明 从量地 测天到抽象严密的公理化体系的建立 五千余年的数学历史长河中 重大数学思想 方法的诞生与发展是数学史中最具魅力的题材 数学史研究数学概念 数学方法 和数学思想的起源与发展 及其与社会政治 经济和一般文化的联系 丹皮尔 W C Dampier 曾经说过 再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力 了 普通高中数学课程标准 实验 全面规划了新时期高中数学的课程框架 明 确提出 高中数学课程对于认识数学与自然 数学与人类社会的关系 认识数学的 科学价值 文化价值 提高提出问题 分析问题和解决问题的能力 形成理性思维 发展智力和创新意识具有基础性的作用 那么 高中数学的课堂教学如何适应这些 新的要求 使得学生能够更充分地认识到数学的科学价值以及人文价值呢 法国数学家庞加莱 H Poincare 曾经提出 数学课程内容应按照数学史内容 的发展顺序展现给读者 我国著名的数学家徐利治也认为 数学哲学 数学史与数 学教育的结合是教育改革的一个重要方向 数学教育家华东师范大学张奠宇教授也 2 积极倡导 让数学史成为数学教育的有机部分 既然数学史走进中学数学课堂已经 成为一种共识 那么 数学史又应该以怎样的面貌出现在数学课堂之上 成为教学 的一个有机成分呢 1 21 2 数学史对数学教育的意义数学史对数学教育的意义 普通高中数学课程标准 实验 提出 高中数学课程目标应该使得学生 了 解概念 结论等产生的背景 应用 体会其中所蕴含的数学思想和方法 以及它们 在后续学习中的作用 通过不同形式的自主学习 探究活动 体验数学发现和创造 的历程 具有一定的数学视野 逐步认识数学的科学价值 应用价值和文化价值 形成批判性的思维习惯 崇尚数学的理性精神 体会数学的美学意义 从而进一步 树立辨证唯物主义和历史唯物主义世界观 而这些课程目标的达成单纯地依靠数 学知识的传授学习及数学技巧的机械训练几乎难以实现 在数学课堂教学中 如果 能穿插些相关的数学史 有证据表明 这对上述数学课程目标的实现具有积极的影 响作用 全面性数学课程目标的达成离不开数学史 数学课堂的教学也离不开数学史 本研究着眼于数学史走进中学课堂 力求探索其实现的具体途径 所要研究的基本 问题就是 数学史应该以怎样的面貌出现在中学数学的课堂教学之中 在本文中 所谓数学史走进中学课堂主要是指一种教学的具体途径 使得在数 学课堂教学中适当地 恰如其分地渗透一些数学史的知识 比如 在教学设计中 融合一些数学史的知识 充分利用数学教科书中有关插图 阅读自学 注释等内 容 借题发挥 评述 相关的数学史知识 开展与数学史相关的课题学习等三个 方面 希望借此以提高学生数学学习的兴趣 丰富学生的数学视野 进而为学生更 好地理解数学概念及结论逐步形成的过程 体验数学发现与创造的历史过程 体会 蕴含其中的思想方法 提供一种 催化剂 1 2 11 2 1 数学教学的现实需要一些数学史数学教学的现实需要一些数学史 2003 年对数学骨干教师作的问卷调查显示 缺乏对数学史教育意义的深入理 解 虽有教师曾经有意识的将数学史引进数学课堂 但并未充分认识到数学史深刻 的数学教育价值 所写出的数学史在数学教学中的作用包括内容新颖 进行德育 有愉悦性 使课堂气氛活跃 引发学习兴趣等 教师对数学史知识只有一些粗浅 3 的了解 缺乏与课程内容相对应的数学史参考资料 对中国的数学家较为熟悉 对 国外的数学家知之甚少 教师自觉运用数学史的意识不强 有一部分教师从未自 觉地在教学中运用数学史 对教材中的阅读材料或不予理睬或安排学生自己阅读 不知道如何运用数学史 教师普遍有使用数学史的愿望 但对数学史如何恰当的 引入到数学教学中缺乏必要的认识 担心用不好会浪费时间 1 2 21 2 2 有意义的数学教学需要一些数学史有意义的数学教学需要一些数学史 当前数学教育还是 应试教育 主导着高中数学教学 无论是教材的编写还是 具体的课堂教学 过于偏重演绎论证训练 课堂上讲的是逻辑论证 学生关注的是 逻辑推理 忽视了定理发现发展过程 掐头去尾烧中段 的教学方式依然盛行 这对培养学生的创新意识是极为不利的 学校评价老师的标准是学生的考分 社会评价学校的标准是升学率的高低 导 致教师的教学针对的是考试而不是学生数学素养的提升 针对评分标准过分强调得 分细节 在教学中常常是只见树木不见森林 细节多 思想少 见不到本质 重视 知识的学习和技能的培养 忽视情感态度方面的发展 偶然的背后有着必然的联系 中国数学教育在优异成绩的背后存在着不和谐的 一面 改变这种情形 除了要改革现行的教育评价体制外 教材的编写和教师教学 观念的转变也是关键因素 而在教材编写和课堂教学中渗透数学史 引导学生关注 数学概念 数学思想的发生发展过程 重视双基的同时关注学生情感态度的发展是 改变当前数学教学现状的有效途径之一 1 2 31 2 3 数学史走进中学课堂的价值数学史走进中学课堂的价值 数学史的研究有三重目的 一是为历史而历史 即恢复历史的本来面目 二为 数学而历史 既古为今用 洋为中用 为现实数学研究的自主创新服务 三是为教 育而历史 既将数学史用于数学教育 发挥数学史在培养现代化人才方面的作用 数学史对数学教学的作用主要在四个方面 有利于帮助学生加深对数学概念 方法和思想的理解 有利于帮助学生体会活的数学创造过程 培养学生的创造性 思维能力 有利于帮助学生了解数学的应用价值和文化价值 明确学习数学的目 的 增强学习数学的动力 有利于帮助学生树立科学品质 培养良好的精神 1 31 3 数学史融入中学数学教学的条件数学史融入中学数学教学的条件 4 数学史融入中学数学课堂教学必须做到以下条件 第一 经常与一线教师接触 经常听课 了解一线教师 教学的现状 第二 对中学的教材 教法 考试非常熟悉 第三 对教育 教学的理论比一线教师要认识深刻 第四 数学史理论研究人员接触很多 取得合作相对较易 第五 经常进行教学研究活动 有利于不同学校教师之间的交流 第六 进行教师培训 经常出去讲学 研究的成果有利于推广 以上的条件可以看出应该以教研员为核心 组成数学史专家 数学教育家 数 学教师的一个团队 合作解决数学史如何融入中学数学课堂教学 2 2 数学史融入数学教学的重要性数学史融入数学教学的重要性 2 12 1 数学史在数学教学中的地位数学史在数学教学中的地位 数学史是学习数学 认识数学的一门学科 人们要认识数学概念 数学思想和 方法的发展过程 增加对数学学科的了解 建立数学的整体意识 就必须运用数学 史作为补充和指导 数学史与数学哲学 科学哲学 与社会史 文化史的各个方面 都有密切的联系 它们之间的内容涉及什么是数学 数学与人类思想的革新 数学 与其他科学技术的关系 数学和社会进步等方面 数学与其他学科的联系不仅具有 沟通文 理的性质 而且有助于深刻理解数学的文化内涵 对于培养文 理兼通 学 才 识 兼备的数学专业人才有重要意义 学 才 识 即知识 能力 以及见识和思想 其中 识 是引导知识和能力走向何方的根本性问题 如果数学 教学只是停留在数学理论本身的学习上 甚至对数学理论的实质也没有深入探究 学生就不可能理解依托于数学知识体系之上的数学思想和信仰 不可能理解贯穿于 数学研究活动中的科学精神 包括科学的实证精神 理性精神 批判精神 与数学 的美感及鉴赏能力 不可能理解与数学的社会功能密切相关的伦理准则等数学文化 底蕴 更不会形成 才 与 识 因此 学习数学史是以 素质教育 为目标的 数学教学的内在要求 它对于培养学生的人文主义精神以及数学观念 数学能力 数学整体意识有特殊意义 2 22 2 数学史在数学教学中的作用数学史在数学教学中的作用 5 在数学教学中 结合教学内容 适时 适度 适量地运用一些数学史料 可以 激发学生的学习兴趣 启迪思维 帮助学生更好地理解数学 因此融数学史于数学 教育之中是数学教育改革的一个重要方向 2 2 12 2 1 加深对数学理论的理解加深对数学理论的理解 数学史可以让学生认识数学发展的规律 从前人的经验教训中获取鼓舞和启示 一般说来 数学史不仅可以给出一种确定的数学知识 还可以给出相应知识的创造 过程 对这种创造过程的了解 可以使学生体会到一种活的 真正的数学思维过程 历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛 而不是单纯地传授知识 历史 上许多著名问题的提出与解决方法还有助于学生理解与掌握所学的内容 对于那些需要通过重复训练才能达到的目标 数学历史名题又可以使这种枯燥 乏味的过程变得富有趣味和探索意义 从而极大地调动学生的积极性 提高他们的 兴趣 对于学生来说 历史上的问题是真实的 因而更为有趣 历史名题的提出一 般来说都是非常自然的 它或者直接提供相应数学内容的现实背景 或者揭示了实 质性的数学思想方法 这对于学生理解数学内容和方法都是重要的 许多历史名题 的提出及解决与大数学家有关 让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探 索过的问题 或许这个问题曾难住过许多有名的人物 学生会感到一种智力的挑战 也会从学习中获得成功的享受 这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的 数学并不是一个静止的和已经完成的领域 而是一个开放性的系统 认识到数学正 是在猜想 证明 犯误 修正错误中发展进化的 数学进步是对传统观念的革新 可以激发学生的非常规思维 2 2 22 2 2 培养正确的数学思维方式培养正确的数学思维方式 现行的数学教材都是经过了反复推敲 语言十分精练简洁 为了保持知识的系 统性 把教学内容按定义 定理 证明 推论 例题的顺序编排 对数学知识的内 涵 以及相应知识的创造过程介绍也偏少 这样虽然有利于学生接受知识 但容易 使学生产生数学知识就是先有定义 接着总结出性质 定理 然后用来解决问题的 错误观点 所以 在教学的过程中存在着这样一个矛盾 一方面 教育者为了让学 生能够更快更好地掌握数学知识 将知识系统化 另一方面 系统化的知识无法让 学生了解到数学理论的真实建立过程 影响了学生正确数学思维方式的形成 数学 6 史的学习 可以让学生在学习系统的数学知识的同时 对数学知识的产生过程 有 一个比较清晰的认识 从而陪养学生正确的教学思维方式 譬如 传统的欧式几何 的演绎体系是产生不了微积分的 它是牛顿 莱布尼兹在古希腊的 穷竭法 求抛物线弓形面积 等思想的启发下 经过创造得到的 而且在数学家们的不断 补充 完善下 经过几十年才逐步成熟起来的 通过对这种创造过程的了解 使学 生体会到一种活的 真正的数学思维过程 而不是单纯地接受教师传授的知识 在 这种不断学习 不断探索 不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式 2 2 32 2 3 激发学生学习数学的动机激发学生学习数学的动机 心理学理论认为 动机可分为两个部分 人的好奇心 求知欲 兴趣 爱好构 成有利于创造的内部动机 社会责任感构成有利于创造的外部动机 兴趣是最好的 动机 数学史中有很多能够培养学生学习兴趣的内容 主要有这几个方面 一是与 数学有关的小游戏 例如巧拿火柴棒 幻方 商人过河问题等 它们都有很强的可 操作性 作为课堂活动或是课后研究都可以达到很好的效果 二是一些历史上的数 学名题 七桥问题 哥德巴赫猜想等 它们往往有生动的文化背景 也容易引起学 生的兴趣 还有一些著名数学家的生平 轶事 比如说一些年轻的数学家成材的故 事 新课程标准 中提到的 从阿贝尔到伽罗瓦 阿贝尔 22 岁证明一般五次 以上代数方程不存在求根公式 伽罗瓦创建群论的时候只有 18 岁 还有的是许多 出生贫穷卑微的数学家通过自己的艰苦努力 最终在数学研究上取得骄人成绩的例 子 如 19 世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农 直到 14 岁还没有学过写字 18 岁才正式开始读书 后来靠做私人教师谋生 经过艰苦努力 终于在 30 岁时在 数学上做出重要工作 一举成名 如果在教学中加入这些学生感兴趣又有知识性的 内容 定能消除学生对数学的恐惧感 增加数学的吸引力 2 2 42 2 4 建立德育教育平台建立德育教育平台 首先 可以对学生进行爱国主义教育 现行的教材讲的大都是外国的数学成 就 对我国在数学史上的贡献提得很少 其实中国数学有着光辉的传统 有刘徽 祖冲之等一批优秀的数学家 有中国剩余定理 祖瞩公理 割圆术 等具有世界 影响的数学成就 对其中很多问题的研究也比国外早很多年 当然 现阶段爱国主 义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上 从明代以后中国数学逐渐落后 7 于西方 20 世纪初 中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程 在新 时代的要求下 除了增强学生的民族自豪感之外 还应该培养学生的 国际意识 让学生认识到爱国主义不是体现在 以己之长 说人之短 上 在科学发现上全人 类应该相互学习 互相借鉴 共同提高 我们要尊重外国的数学成就 虚心的学习 洋为中用 其次 可以引导学生学习数学家的优秀品质 任何一门科学的前进和发展的道 路都不是平坦的 无理数的发现 非欧几何的创立 微积分的发现等等这些例子都 说明了这一点 欧拉 3l 岁右眼失明 晚年视力极差最终双目失明 但他仍以坚强 的毅力继续研究 他的论文多而且长 以致在他去世之后的 lO 年内 他的论文仍 在科学院的院刊上持续发表 对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂 的证明就打退堂鼓的学生来说 介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时是如何执著追 求的故事 对于他们正确看待学习过程中遇到的困难 树立学习数学的信心会产生 重要的作用 第三 可以提高学生的美学修养 能欣赏美的事物是人的一个基本素质 数学 史的学习可以引导学生领悟数学美 很多著名的数学定理 原理都闪现着美学的光 辉 例如毕达哥拉斯定理是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定 理 有着极为广泛的应用 两千多年来 它激起了无数人对数学的兴趣 意大利著 名画家达芬奇给出过它的证明 1940 年 美国数学家卢米斯在所著 毕达哥拉斯命 题艺术 的第二版中收集了它的 370 种证明 充分展现了这个定理的无穷魅力 另 外 在感叹和欣赏几何图形的对称美 尺规作图的简单美 i 角公式的统一美 非 欧几何的奇异美等 可以形成对数学良好的情感体验 数学素养和审美素质也得到 了提高 这是德育教育一个新的突破口 2 2 52 2 5 鉴过去而知未来 感悟数学与社会鉴过去而知未来 感悟数学与社会 在过去的数学课程中很少涉及数学与社会的内容 除了数学书上一些数学应该 题外 似乎看不到数学与社会有什么密切联系 新课标教材试图使学生对数学与社 会的关系的认识方面做出努力 数学的发展与社会的进步息息相关 互相促进 一 方面 数学的发展依赖于社会环境 受社会经济 政治和文化等诸多因素的影响 两一方面 数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用 不管是物质文明还 8 是精神文明 对物质文明的影响 数学对人类物质文明的影响 突出的反映在它与能够改变 人类生活方式的产业革命上 人类历史上有三次重大的产业革命 这三次产业革命 的主体技术都与数学的新理论 新法方法的应用有直接或间接的联系 牛顿和莱布 尼茨发明的微积分作为一种强有力的新工具 推动了以机械运动为主题的 17 18 世纪整个科学技术的高涨 成为 18 世纪下半叶开始的第一次产业革命的重要先导 19 世纪 60 年代 第二次产业革命开始 这次产业革命发电机 电动机以及电气通 信为标志 这些技术当然依靠了电磁理论的发展 而电磁理论的研究是与数学分析 的应用分不开的 第三次产业革命发生在上世纪 40 年代 主要以电子计算机的发 明使用 原子能的利用以及空间技术 生产自动化等为标志 这这些技术发展的每 一个关头都记载着数学家的不可磨灭的功勋 对精神文明的影响 作为教授数学的教师 学生或者你自己是否提出过这样的 问题 我们为什么学数学 对于这个问题你是怎样思考和回答的 有些教师会回答 我们所学习的数学是有用的 小到我们个人生活中有些问题需要用到数学知识 大 到计算机技术 自动化技术 航空航天 军事等等领域都要应用数学 这样的回答 无疑是正确的 但却并不全面 它只提到了数学的两个作用的一个作用 数学有两大作用 一个是工具作用 像现实问题到应用数学这是它的工具作用 也就是上述的对物质文明所起的作用 另一个作用就是人文作用 也就是对人类的 精神文明所起的作用 数学对人类精神文明的影响极为深刻 某种程度上 对于大 多数人来说数学的人文作用比其工具作用更具意义 想一想 绝大多数的学生未来 都不会从事与数学有关的工作 对这些学生来说小学的四则运算几乎就足够他们应 付日常的生活问题了 甚至连开方都用不到 如果仅从学以致用的角度来看 他们 从小学到高中要学习 12 年的数学 不是浪费生命吗 事实上并非如此 数学本身 就是一种精神 一种探索精神 这种精神包含的两个要素 即对真理和完美的追求 千百年来对人们的思维方式 教育方式以及世界观 艺术观都有着毋庸质疑的影响 数学对人类精神文明的意义 也突出地表现在历次重大思想革命的关系上 由于其 不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性 数学往往成为解放思想的决定性 武器 尤其在文艺复兴之后科学与神学的斗争中表现的更为突出 9 中学数学课程中 对数学知识本身的学习还不足以使学生感受到数学与社会之 间的深刻的关系 为此要在数学课程中加入一些数学史的内容 当然 教材中的这 些内容仅仅是冰山一角 教师应该应该提高自己对数学发展历程的了解 只有这样 才能更好地促进数学教学 总之数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用 对于引导学体会真正的数学 思维过程 创造一种探索与研究的数学学习气氛 对于激发学生对数学的兴趣 培 养探索精神 对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文 价值 都有重要意义 3 3 国内外在教学中融入数学史的成果国内外在教学中融入数学史的成果 3 13 1 国外的研究成果国外的研究成果 国际上对数学史在数学教育中的应用的相关研究和实践操作已经有了相当程度 的发展 1998 年 4 月 20 日至 26 日 在法国马赛附近 luminy 镇 举行了由国际数 学教育委员 ICMI 发起的 数学史在数学教育中的作用 国际研讨会 此次会议的 主题是数学文化 要求数学教学充分反映数学的文化底蕴 从课程内容 概念形成 证明方法 习题配置等各个方面 全方位地使数学史融入 丰富和促进数学教学 3 1 13 1 1 数学史融入数学教学行动研究的成果数学史融入数学教学行动研究的成果 融入的层次 对于将数学史融入数学教学有很多片面的理解 最普遍的是将其理解为在数学 课堂中讲点数学史以提高学生的兴趣 显然这只是数学史应用的较低层次 教师应 用数学史至少可以分为三个层次 1 说故事 2 在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法 拓宽学生的视野 培养全 方位的认知能力和思考弹性 3 从历史的角度注入数学活动的文化意义 在数学教育过程中实践多元文化 关怀的理想 融入的过程 将数学史融入数学教学并不是在教学中插入几个历史故事那么简单 融入过程 10 一般包括以下几个阶段 1 学习历史资料 2 选出适合课堂教学的话题 3 分析课堂需要 4 制定课堂活动计划 5 完成方案 6 对活动的评价 教学不一定完全遵循发明者的历史足迹 而是要经过一定的改良 符合学生的 认知 这样才能更好突出历史过程 引导学生思维 融入的形式 数学史融入数学教学有隐性和显性两种形式 隐性融入是指根据历史对教学内 容重新设计和加工 制作适用于教学的 历史套装 在隐性融入过程中 数学史 扮演的角色是担当教学设计的指南 因为 数学史并非最终目的 而是通过数学史 的途径以达到教学目的 显性地融入数学史旨在 描述数学发展的进程 它的两种错误倾向 首先是 如果教师只提供给学生有限的历史片段 就可能造成学生对数学发展过程的错误或 片面理解 当前的不少数学教材 表面上看起来注重数学史的应用 但大多数只局 限于在每一章节的后面增加几个历史注解 如数学家小传 个别概念的发展历史等 这实际上势必导致教师将数学史与数学课程割裂开来 甚至认为将数学史融入数学 教学与日常课堂教学背道而驰 另一个错误倾向是 脱离数学史融入数学教学的目 的 将融入数学史转化为数学史教学 这种做法的直接结果是让学生感到数学史 只不过是新增加的考试内容而已 如此以来 恐怕连 激发学生的兴趣 这一作用 也会消失殆尽 融入的途径 在具体的教学过程中 将数学史融入数学教学有很多做法 这取决于教师的信 念 教学观 课程内容 历史资源等诸多因素 已有的文献也提供了很多成功的经 验 包括使用传记 游戏 历史调查 本地历史考察 历史家庭作业 历史命题 参观 观看影视作品甚至戏剧表演 11 John Fauvel 在 数学学习 上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊 其 中列举了应用数学史的 12 种不同的具体做法 本文对各种做法进行了概括 提出 了应用数学史的 8 种具体方法和途径 1 在教学中穿插数学家的故事和言行 2 在讲授某个数学概念时 先介绍它的历史发展 3 应用数学历史名题讲授数学概念 根据数学史上典型的错误帮助学生克服 学习困难 4 指导学生制作富有数学史趣味的壁报 专题研究 剧本 录像等 5 应用数学历史文献设计课堂教学 6 在课堂内容里渗透历史发展的观点 7 以数学史做指引设计整体课程 8 讲授数学史的课 3 23 2 国内的研究成果国内的研究成果 虽然国内外对数学史所具有的教育价值能够在理论上达到共识 但如何将数学 史融入数学教学中 我国在这方面研究处于探索阶段 张奠宙教授认为应用数学史 于数学教学有助于将数学的 学术形态 转化为 教育形态 并且提出了应用数 学史将数学的 学术形念 转化为 教育形态 的三个途径 1 揭示数学发展的规律 形成正确的数学观 2 反朴归真 揭示数学发展的过程 并使之适合今天的课堂教学 3 提供真实的历史材料 包括原始问题 原始数据 原始过程 增强真实感 体现数学的人文精神 这三点不仅指出了数学史融入数学教学的任务 也为数学史的具体运用指明了 方向 罗腾根在 谈中学数学中的数学史教学 对数学史的教学原则和数学史的教学 方法进行了论述 数学史的教学原则有 准确性原则 交融性原则 可接受性原 则 数学史的教学方法有以下四点 1 在新授课进行知识探求时 作简短的数学史料的插话 2 在解题教学中贯穿数学史料 12 3 举办数学史讲座或报告会 4 组织兴趣小组 课外搜集 阅读 研究数学史料 上海师范大学数学系陈跃老师在 中学数学应用数学史实教学的一些建议 一 文中给出了关于三角恒等式的入门教学和用简化乘除的问题引入对数的概念的具体 建议 华东师范大学数学系汪晓勤老师在数学史如何融入数学教学方面做了不少的研 究 在 数学通报 发表了 数学史如何融入中学数学教材 在 中学教研 上 发表了 HPM 视角下的等比数列教学 中学数学杂志 发表了 几何视角下的 和角公式 等 浙江师范大学数理学院朱哲老师在数学史如何融入数学教学方面也有自己深刻 的看法 他在 中学数学 发表了 数学教育目的的深化和拓展 数学史的视角 在 中学教研 发表了 从理论到实践 数学史融入数学教学 在 中学数学教 学参考上 发表了 一节基于数学史的教学课例 正四棱台的体积公式 在 中 学教研 上发表了 等比数列前 n 项和的教学设计及其分析 等 从以上文献本研究者可以看到 国外对于数学史如何融入数学教学的研究 不 论从理念上还是从实践上都达到了很高的程度 我国香港和台湾地区的有关学者在 HPM 领域的活动相当活跃 做了很多出色的工作 但大陆 HPM 研究起步很晚 虽然 有很多学者大声呼吁 应该讲点数学史 但探讨如何做的研究明显偏少 4 4 数学史融入教学的一些策略数学史融入教学的一些策略 数学史的确值得引进数学课堂之中 结合数学史到数学教育中的问题 也一直 是国际数学教育界备受关注的研究课题 20 世纪 70 年代 数学史与数学教育关系 HPM 就已成为西方的一个学术研究新领域 美国学者的有关研究 论述和大力提 倡是该领域创立与深入发展的重要推动力量 长期以来 虽然人们已认识到数学教 学中融入数学史的许多重要意义 并在教学实践中有所行动 但其困难和问题的存 在也是显然的 其中一个显著的困难和问题就是 数学教学中需要采取哪些教学策 略来融入数学史呢 可以说 这个问题目前还不为大多数的教师所充分认识和理解 13 在数学史融入数学教学的过程中 一般来说 最常遇见的困难就是如何对材料适 当地剪裁 使其与课程主题融合 以达到数学史的利用能自然 协调 不至于过分突 兀 这应是我们追求的最佳效果 要达到这个目的 那就要求教师在教学活动中 必 须注意结合教学实际和学生的经验与体验 依据一定的目的 对数学史资源进行有效 的选择 组合 改造与创造性加工 使学生容易接受 乐于接受 并能从中得到有 益的启迪 尽管数学教学中 数学史的利用随着施教者的不同和材料的不同 所采取 的形式各异 总结出以下几种策略 4 14 1 故事策略故事策略 虽说数学史不等于数学故事 但是 数学家或数学界的遗闻佚事 不仅能大大激 发学生的学习兴趣 而且对学生的人格成长还富有启发作用 譬如 我国著名数学家 陈景润 就是在上中学时 听了他的数学老师沈元向学生介绍了 哥德巴赫猜想这 一难倒无数数学家的难题后 其心灵受到了震撼 点燃起了他攀登高峰 摘取桂冠 的热情 从而他一生醉心于数学 并取得了令世人瞩目的成绩 再如 十八世纪法 国女数学家苏菲姬曼 就是受到阿基米德故事的 煽动 迷上数学而终生无怨无 悔 据说 苏菲童年时正值法国大革命发生 为了排遣难耐的孤独和寂寞 遂被数 学史家莫度西亚的 数学史 所记载的阿基米德传奇所吸引 相传 阿基米德正沉醉 在一道几何问题时 对已经陷城的罗马士兵浑然未觉 就莫名其妙地被杀死了 这 个悲剧让百无聊赖的苏菲神醉心痴 她想几何学若真有这种魅力 那真的值得探索一 番了 于是 她终于走上了数学研究的不归路了 说故事的目的就是要设计一个教学情景 这个教学情景主要是能引起学生的学 习动机与兴趣 同时 也可利用故事情景引出学生已有的数学概念 或是借故事情节 引入要教的数学概念 也可以利用故事情节的铺设 呈现给学生想要解决的问题等 4 24 2 方法比较策略方法比较策略 著名科学家巴甫洛夫指出 方法是最主要和最基本的东西 一切都在于良好的 方法 有了良好的方法 即使是没有多大才干的人也能作出许多成就 如果方法不好 即 便是有天才的人也将一事无成 数学教学必须要使学生明白 任何方法仅仅是许许 多多的方法之中的一个 其中有许多你可能联想都未曾想过 那种始终认为自己是 最正确的 肯定自己的思维都比别人的要高明 肯定没有其他更好的选择的行为 这 14 些都是自负的表现 而自负是思维的重大过失 它会扼杀真正的思维 事实上 数学教学中涉及的许多问题 从它的历史到现在 经过数代数学家们的 不懈努力 大都产生过不少令人拍案叫绝的各种解法 如勾股定理 就有面积证法 弦图证法 比例证法等 300 余种 求解一元二次方程 历史上就有几何方法 特殊 值代入法 逐次逼近法 试位法 反演法 十字相乘法和公式法等 求不规则图形 的面积 历史上也有德漠克利法 穷竭法 割圆法 平衡法 开普勒法和沃利斯法 以及现代的微积分方法 通过搜集比较历史上的各种不同方法之后 不仅能使学生 更好地领会每种方法的内在本质 而且能启发学生 这对培养知识面宽 有能力 有 信心 灵活多变的人大有帮助 4 34 3 追踪历史起源策略追踪历史起源策略 数学固然起源于人类对日常生活现象的观察 但它决不简单 有一定的难度 需要时间去体验 把玩并体会它的意蕴 譬如无限的概念 向人类头脑提出的挑 战 激发了人类的想像力 是思想史中任何其他单个问题都无法比拟的 无限显得既 生疏又熟悉 有时超出了我们的领悟能力 有时又自然而易于理解 在征服它的过程 中 人也砸碎了将自己束缚在地球上的镣铐 而为了实现这一征服 需要调动人的 一切能力 人的推理能力 诗一般的想像力以及求知的渴望 再如代数符号 的产生 代数符号早期是没有的 人们使用文字代替 到了古希腊人们才开始用单词 表示 中世纪才开始用单个字母表示 再后来人们才用特殊的字符来表示 每一次 的演进 都凝聚了数学先贤们大量的心血和智慧 都充满了古代数学家们的神思技 巧 还有函数概念的发展 从笛卡尔给出最简单的函数概念出发 经莱布尼兹 贝努 利 欧拉 柯西 黎曼 狄利克雷 维布伦等人之手 一步一步的发展 其间经历 了大约六七次扩充 才形成了我们今天看到的函数概念 追踪历史起源 就是要引导 学生去揭示或感受知识发生的前提或原因 知识概括或扩充的经过以及向前发展的 方向 引导学生在重演 再现知识发生过程的活动中 内化前人发现知识的方法和能 力 使学生在掌握知识的同时 还能占有镌刻于知识产生中的认识能力 这种认识能 力正是构成创新思维能力的核心 4 44 4 揭示思维过程策略揭示思维过程策略 将数学研究中的思想和方法的要点原原本本地告诉学生 引导青年学生沿着科 15 学的艰险道路作一次富有探索精神的 充满为真理而斗争的崇高动机的旅行 使学 生充分领略以前数学大师们的灵感 承受他们的启迪 可以从中学到他们的策略和经 验等 譬如 讲数学的抽象性时 就可以原原本本地向学生展示欧拉解决七桥问题 时的思考过程 或是介绍牛顿发明万有引力定律时 关于把地球 月球抽象为质点来 处理的曲折过程 讲反证法时 可以向学生详细叙述伽利略是如何更正延续 1800 多 年的 亚里士多德关于物体下落运动的错误断言的 讲类比时 可以向学生全面介绍 自然数平方的倒数之和问题的产生背景 当时的情形及欧拉解决该问题时的奇思妙 想等 结合几何知识的学习 可以向学生揭示历史上有关几何第五公设的 令一代 又一代数学家忙碌了二千多年的 各种各样的思考过程及最终的解决办法 让数学 史曾闪烁过光芒的火花 重新在学生的心中点燃 前人的成功和失误 都是后人聪明的源泉 数学史可以将逻辑推理还原为合情 推理 将逻辑演绎追溯到归纳演绎 通过挖掘历史上数学家解决问题的真谛 学生 不仅可以学到具体的现成的数学知识 而且可以学到 科学的方法 开拓学生的视 野 使学生更具有洞察力 5 5 结论及建议结论及建议 5 15 1 研究结论研究结论 5 1 15 1 1 数学史融入中学课堂教学有利于教师对文化理念的落实数学史融入中学课堂教学有利于教师对文化理念的落实 数学新课程的基本理念是 全面提高学生的数学文化素质 以提高一般科学素 质 增进道德品质修养 形成和发展数学品质 理念的实现 可以通过将数学史的 史学形态转化为教育形态 通过数学史融入中学课堂教学 来实现文化理念的落 实 从本课题研究来看 数学史融入中学课堂教学已经成为课题实施教师 乃至一 些数学教师的自觉行为 现在 我们经常会听到数学史融入的课 这些都表明了数 学史融入中学课堂教学的行动研究是将文化理念的落实在课堂教学中的一种非常有 效的途径 5 1 25 1 2 数学史融入中学课堂教学促进了教师对教育目标的理解数学史融入中学课堂教学促进了教师对教育目标的理解 在数学史融入中学课堂教学的行动研究中 首先要学习课程标准 学习新的教 育理论 这些使研究者对数学的价值和数学的教育目标有了新的认识 数学的价值 16 既有实用价值一提供了一种解决数学内社会生活中各种问题的有利工具 又有形式 训练的价值一提供了一种思维的方式和方法 还有着文化价值 提供了一种价值观 倡导一种精神 它表现为数学念在入的观念以及社会的观念的形成和发展中的作 用 知识型的数学教育看重数学的实用价值 能力型的数学教育看重的是数学的能 力训练价值 文化型的数学教育则在注意到数学教育的实用价值和形式训练价值的 同时特别看重数学的文化教育价值 不同的价值必然追求导致不同的教学目标 仅注重教学内容的使用价值 只会 将知识的理解 技能的掌握作为教学目标的主体 注重数学对思维能力训练的价值 就会将培养思维能力作为教学目标的重点 突出过程与方法的目标纬度 只有在知 识 能力并重的同时 还能够注意到数学的文化教育的价值 那么在制定教学目标 时才真正能够将情感 态度 价值观落到实处 5 1 35 1 3 数学史融入中学课堂教学加深了教师对教学内容的研究数学史融入中学课堂教学加深了教师对教学内容的研究 数学史融入中学课堂教学的行动研究 目的不是在形式上 而是通过教师对数 学史的研究 对教学内容的来龙去脉有了深入的理解 达到加深对课程的理解 也 使得教学前后联系 融会贯通 浑然一体 例如案例 正弦定理 在没有研究数学史以前 对该定理的理解只认识到两 个层次 一是从转化的角度看 正弦定理是实现边角互化的一个工具 二是从方程的角度看 正弦定理中含有七个量 除给定三个角外 一般情况下 可知三求四 在研究三角函数的数学史后 发现三角函数在历史上大都来源于几何 于是就 思索正弦定理的几何背景是什么 通过研究发现 正弦定理是对 大边对大角 大角对大边 的数量化解释 于 是对定理的认识上升了一个层次 正弦定理是将几何问题转化为代数问题 是沟通 代数和几何的桥梁 体现了几何与代数的统一 5 1 45 1 4 数学史融入中学课堂教学提高了教师对教育理论的应用数学史融入中学课堂教学提高了教师对教育理论的应用 数学史融入中学课堂教学的行动研究是把数学史融入课堂教学看成一种教学现 象 用行动研究的理论来研究这种教育现象 在研究的过程中 本研究者学习了行 17 动研究的理论 并用行动研究的理论指导对数学史融入课堂教学的指导 在实践的 过程 积累大大量的问题 通过这些问题的解决也促进了对行动研究理论的重新认 识 提高了对教育理论的应用 例如在 等差数列前 n 项和 案例研究中 用到了自然数从 l 加到 100 少年 高斯的数学思维 1 100 2 99 49 52 50 51 101 101 50 5050 但缺乏对 高斯思想的深入挖掘 随着对数学史的学习和研究 进一步研究高斯思想 发现以 下结论 1 思维的变通性 追求算法简单 2 思维的直觉性 数字内在和谐 3 思维的概括性 寻找普遍规律 这是多么精美的数学思维 加法向乘法的转化 因此 案例可以进一步发展 可以进一步深化 5 25 2 研究建议研究建议 5 2 15 2 1 教师应加强数学史的学习与研究教师应加强数学史的学习与研究 在数学史融入中学课堂教学的行动研究中 发现大部分教师并不是不接受新的 教育理念 也不是不愿意通过数学史的融入落实文化渗透的理念 而是由于数学史 的知识匮乏导致理念难以落实 因此数学教师应注意多方学习数学史知识 多方研 究数学史 对数学史的学习研究可以分为以下三个层次 了解性学习 掌握性学习 研究 性学习 第一层次要求知道数学发展的概况 起过重要作用的数学家 影响深远的数学 思想 方法等 第二层次可以从数学史中适当提取相关内容 用于数学研究 教学 学习之 中 第三个层次以文献资料为线索 研究不同时期数学发展 数学家活动 数学思 想 方法的进展等 并对数学的发展趋势提出预见性分析 从中学数学的要求出发 中学数学教师应具有的数学史素养 属于第二层次 5 2 25 2 2 教师应加强数学史的长期融入与渗透教师应加强数学史的长期融入与渗透 18 数学教育是一项有目的 有计划 有组织的社会实践活动 它以传授知识和培 养人才为宗旨 以促使社会进步 科学技术以及数学科学的发展 它是整个社会教 育的一部分 新一轮基础教育数学课程改革将科学精神和人文精神统一于课程的 文化内涵 之中 强调人的科学素养和入文修养的辩证统一 致力于科学知识 科学精神和人 文精神的沟通与融合 课程也关注到数学史对数学文化教育的意义 但文化的渗透 靠不是一天 一学期 一年的渗透就能实现 而是一个长期的过程 只有长期加强 数学史的文化渗透 对发展学生的文化素养才能起到应有的作用 5 2 35 2 3 教师应加强数学史融入方式的研究与总结教师应加强数学史融入方式的研究与总结 数学史如何融入到课堂教学中目前虽然总结出六个方面 但还不够全面和深 入 因此需要数学教师在教学中充分认识数学史的作用 全面认识数学史的意 义 并且深入挖掘数学史的教