大一下学期高等数学期末考试试题及答案

高数 第 1 页 共 2 页 高等数学高等数学 A A 下册下册 期末考试试题期末考试试题 A 卷 院 系 别 班级 学号 姓名 成绩 大题一二三四五六七 小题 12345 得分 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 20 分 分 把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上 1 已知向量 满足 则 a b 0ab 2a 2b a b 2 设 则 ln zxxy 3 2 z x y 3 曲面在点处的切平面方程为 22 9xyz 1 2 4 4 设是周期为的周期函数 它在上的表达式为 则的傅里叶级数 f x2 f xx f x 在处收敛于 在处收敛于 3x x 5 设为连接与两点的直线段 则 L 1 0 0 1 L xy ds 以下各题在答题纸上作答以下各题在答题纸上作答 答题时必须写出详细的解答过程答题时必须写出详细的解答过程 并在每张答题纸写上并在每张答题纸写上 姓名姓名 学号 班学号 班 级 级 二 解下列各题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 满分分 满分 35 分分 1 求曲线在点处的切线及法平面方程 222 222 239 3 xyz zxy 0 M 1 1 2 2 求由曲面及所围成的立体体积 22 22zxy 22 6zxy 3 判定级数是否收敛 如果是收敛的 是绝对收敛还是条件收敛 1 1 1 ln n n n n 4 设 其中具有二阶连续偏导数 求 sin x zf xyy y f 2 zz xx y 高数 第 2 页 共 2 页 5 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部 dS z 2222 xyza 0 zhha 三 本题满分 本题满分 9 9 分分 抛物面被平面截成一椭圆 求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小 22 zxy 1xyz 值 四 四 本题满分 本题满分 1010 分 分 计算曲线积分 sin cos xx L eym dxeymx dy 其中为常数 为由点至原点的上半圆周 mL 0 A a 0 0 O 22 0 xyaxa 五 本题满分 本题满分 1010 分 分 求幂级数的收敛域及和函数 13 n n n x n 六 本题满分 10 分 计算曲面积分 332 223 1 Ix dydzy dzdxzdxdy 其中为曲面的上侧 22 1 0 zxyz 七 本题满分 本题满分 6 6 分 分 设为连续函数 其中是由曲面 f x 0 fa 222 t F tzf xyzdv t 与所围成的闭区域 求 22 zxy 222 ztxy 3 0 lim t F t t 高数 第 3 页 共 2 页 备注 考试时间为 2 小时 考试结束时 请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交 不得带走试卷 高等数学 A 下册 期末考试试题 A 卷 参考解答与评分标准 一 填空题 每小题每小题 4 分 共分 共 20 分分 1 2 3 4 3 0 5 4 2 1 y 2414xyz 2 二 试解下列各题 每小题每小题 7 分 共分 共 35 分分 1 解 方程两边对求导 得 从而 4 x 32 3 dydz yzx dxdx dydz yzx dxdx 5 4 dyx dxy 7 4 dzx dxz 该曲线在处的切向量为 5 1 1 2 5 71 1 8 10 7 4 88 T 故所求的切线方程为 6 112 8107 xyz 法平面方程为 即 7 81101720 xyz 810712xyz 解 该立体在面上的投影区域 22 22 22 6 zxy zxy 22 2xy xOy 为 2 22 2 xy Dxy 故所求的体积为 7 Vdv 2 2 2262 2 0020 2 63 6dddzd 解 由 知级数发散 3 11 limlim ln 1 limln 1 10 n n nnn n un nn 1 n n u 又 故所给级数收敛且条件收敛 7 1 11 ln 1 ln 1 1 nn uu nn 1 lim limln 1 0 n nn u n 解 3 1212 11 0 z fyfyff xyy 7 2 1111222122 222 11 zxx fy fxfffxf x yyyyy 111222 23 1 x fxyfff yy 高数 第 4 页 共 2 页 解 的方程为 在面上的投影区域 222 zaxy xOy 为 2222 xy Dx yxyah 又 22222 1 xy zzaaxy 故 7 22 2 22222 00 xy ah D dSadxdyd ad zaxya 22 22 0 1 2ln 2ln 2 ah a aaa h 三 9 分分 解 设为该椭圆上的任一点 则点到原点的距离为 1 M x y zM 222 dxyz 令 22222 1 L x y zxyzzxyxyz 则由 解得 于是得到两个可能极值点 22 220 220 20 1 x y z Lxx Lyy Lz zxy xyz 13 2 xy 23z 7 12 13131313 23 23 2222 MM 又由题意知 距离的最大值和最小值一定存在 所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得 故 9 max2min1 95 3 95 3 dOMdOM 四 10 分分 解 记与直线段所围成的闭区域为 则由格林公式 得LOAD 5 2 2 sin cos 8 xx DL OA Ieym dxeymx dymdma A 而 8 1 0 sin cos a xx OA Ieym dxeymx dymdxma 10 2 21 sin cos 8 xx L eym dxeymx dyIImama 五 五 10 分分 解 收敛区间为 2 1 1 31 limlim3 1 33 n n n nn n an R an 3 3 高数 第 5 页 共 2 页 又当时 级数成为 发散 当时 级数成为 收敛 4 3x 1 1 n n 3x 1 1 n n n 故该幂级数的收敛域为 5 3 3 令 则 1 3 n n n x s x n 33x 8 1 1 11 1111 33331 33 n n n nn xx s x xx 3x 于是 0 00 ln 3ln3ln 3 3 xx xdx s xs x dxxx x 10 33x 六 10 分分 解 取为的下侧 记与所围成的空间闭区域为 则由高斯公式 1 22 0 1 zxy 1 有 5 1 33222 2 22316Ix dydzy dzdxzdxdyxyz dv A 7 2 211 2 000 62ddzdz 而 9 22 11 3322 1 1 22313133 xy Ix dydzy dzdxzdxdyzdxdydxdy 10 21 23 III 七 6 分分 解 2 2 22 4 000 sincos t F tddrf r