北京市通州区2016年高三4月模拟考试数学理科试题(一)含答案

高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 1 页（共 4 页） 第 4 题图 第 2 题图 通州区 2016 年 高三年级模拟考试（一） 数学（理）试卷 2016 年 4 月 本试卷共 4 页， 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 第 卷 （ 选择题 共 40 分 ） 一、 选择题 （ 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ） 1 复数 复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 右面的程序框图输出 S 的值为 A 16 B 32 C 64 D 128 3 若非空集合 ,足 A B CI ，且 A 不是 B 的子集，则 “”是 “”的 A 充分 而 不必要条件 B 必要 而 不充分条件 C 充 分必 要条件 D 既不充分也不必要条件 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A 24 B 20+4 2 C 28 D 24+ 4 2 否 是 k 4 开始 k=1， S=1 S=S 2k k=2k 输出 S 结束 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 2 页（共 4 页） C 1 题图 5 已知 项为 2 且 公差不为 0 的等差数列， 若1 3 6,a a 和 等于 A 26 B 30 C 36 D 40 6 若不等式组 3 4 03 4 00 所表示的平面区域被直线 43y 分为面积相等的两部分，则 k 的值是 A 37B 73C 已知点 3,0A ， 点 P 在 抛物线 2 4上 ，过点 P 的直线与直线 1x 垂直 相 交于点 B ，| | | |A ，则 的值为 A 12B 13C 12D 138 若 定义域均为 D 的三个函数 ，点 ,x g x 与点 ,x h x 都关于点 ,x f x 对称，则称 对称函数 ” 已知 21g x x， 3f x x b ， 对称函数 ”，且 h x g x恒成立，则 实数 b 的取值范围是 A 10 ， B 10 10， C 3 10， D 10 ， 第 卷 （ 非选择题 共 110 分） 二、填空题（共 6小题，每小题 5分，共 30分 ） 9 261()展开式中 含 3x 项 的系数为 _ （用数字作答） 10 在 ， 60A ， 1， 面积为 3 ，则 长为 11 如图， 圆 O 的直径 4，直线 圆 O 相切于点 C ， D ，若 30 ，则 长为 _. 12 若 a ,b ,c 是单位向量，且 0则 a c b c 的 最大值为 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 3 页（共 4 页） 第 14 题 图 13 已知函数2( ) x x ,且 ( ) ( )f a f b ,则 2的取值范围是 14 图甲 是应用 分形几何学 做出的一个分 形 规律图 ，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图 我们采用“坐标”来表示 图乙 各行中的 白 圈、 黑 圈的个数 （横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数） 比如第一行记为 (0,1)，第二行记为 (1,2)，第三行记为 (4,5)，照此 下去 ，第四行 中 白圈与黑圈的“坐标”为 ， 第 n(n N*)行中 白圈 与 黑圈的“坐标”为 _ 三、解答题 （ 共 6小题，共 80分 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 15 （本小题 13 分） 已知函数 ( ) c o s s i n c o sf x x x x ( )求函数 )(最小正周期； （）当 ,44x 时，求函数 )( 最大值和 最小值 16 （本小题 13 分） 中国天气网 2016 年 3 月 4 日晚六时通过手机发布的 3 月 5 日通 州区天气预报的折线图 （如图） ，其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温 （）指出最高 气温 与最低 气温 的相关性； （） 比较最低 气温 与最高 气温 方差的大小 （结论不要求证明） ； （） 在 8:00， 23:00内 每个 整点 时刻的 温差（最高气温与最低气温的 差 ） 依次记为 ， 在连续两个时刻的温差中 恰好有一个时刻的温差不小于 3 的概率 第 16 题图 第 1 行 第 2 行 第 3 行 甲 乙 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 4 页（共 4 页） 第 17 题图 （本小题 14 分） 如图，在多面体 F 中，四边形 正方形， A ，22F ， 90 ， D ， H 为 中点 （）求证： 平面 （）求证： 平面 （）在线段 是否存在一点 P ， 使得二面 角 大小为3？ 若存在求出 的 长 ，若不存在 请 说明理由 . 18 （本小题 13 分） 已知函数 2 1( ) ( ) x x x (a 0) （） 当 12a时， 求函数 点； （ ） 求 f(x)的单调区间； （） 当 0a 时， 若 02)( x 恒成立 ， 求 a 的取值范围 19（本小题 14 分） 已知椭圆 M : 2222. （ ） 求 椭圆 M 的离心率 ； （ ） 设 O 为坐标原点， ,椭圆 M 上 的 三个 动 点， 若四边形 平行四边形，判断 的面积是否为定值 ，并说明理由 20 （本小题 13 分） 已知数列 a，1 a p ， 其中 , p 是不为 1 的常数 . （） 证明： 若 则 差数列； （ ） 证明： 若 则 大于其后任意 个项的和； （ ） 若 2p ，且 21是递增数列 ， 2数列 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 5 页（共 4 页） 通州区 2016 年 高三 年级模拟 考试 (一 ) 理科数学参考答案 2016 年 4 月 一、选择题（共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A B C B D D 二、填空题（共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9. 20 ； 10. 13 ； 11. 1 ； ； 13. 3 ， ； 14. 1314， , 13 1 3 + 122， ） 三、解答题（共 6 个小题 ，共 80 分） 15. 解： （）因为 ( ) c o s s i n c o sf x x x x 11s i n 2 c o s 2 122 4分 21s i n 22 4 2x 6分 所以 函数 )(最小正周期 22T 7分 （ ）当 ,44x 时， 32,4 4 4x ， 8分 所以当 244x ， 即4x 时， 函数 )(得最大值 0 ， 10分 当 242x ， 即8x 时， 函数 )(得最小值 2122 12 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 6 页（共 4 页） 分 所以 44上的最大值和最小值分别为 0 和 2122 13分 16. 解 ： （） 最高气温与最低气温之间成正 相关 ，即最高气温越高，相应地最低气温也越高 3 分 （） 由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最 高 气温方差小于最低气温方差 7分 （） 由图可得下表： 整点 时刻 800: 900: 1000: 1100: 1200: 1300: 1400: 1500: 最高 气温 10 11 12 13 13 13 13 2123 最低 气温 4 6 8 10 2103 1113 12 10 温差 6 5 4 3 1232131 223整点 时刻 1600: 1700: 1800: 1900: 2000: 2100: 2200: 2300: 最高 气温 1123 12 10 8 6 5 4 3 最低 气温 8 6 5 4 3 223 123 2 温差 1436 5 4 3 1232131 10分 由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有 15 个： （ 800: ， 900: ），（ 9 0 0: ， 1000: ），（ 1 0 0 0 : ， 1100: ）， （ 1100: ， 1200: ），（ 1 2 0 0 : ， 1300: ），（ 1 3 0 0 : ， 1400: ）， （ 1400: ， 1500: ），（ 1 5 0 0 : ， 1600: ），（ 1 6 0 0 : ， 1700: ）， （ 1700: ， 1800: ），（ 1 8 0 0 : ， 1900: ），（ 1 9 0 0 : ， 2000: ）， 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 7 页（共 4 页） （ 2000: ， 2100: ），（ 2 1 0 0 : ， 2200: ），（ 2 2 0 0 : ， 2300: ） 其中满足条件 “ 恰好有一个时刻的温差不小于 3 ”的事件（记为 A） 共有 3 个： （ 1100: ， 1200: ），（ 1 5 0 0 : ， 1600: ），（ 2 0 0 0 : ， 2100: ） 所以 在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3 的概率31() 1 5 5 13分 17.（ ） 证明： 连结 O ，连结 因为 四边形 正方形， 所以 O 是 中点， 又 H 是 点， 所以 /B ， 12B 而 /B ， 12B， 所以 /H 且 H ， 所以四边形 平行四边形， 所以 /O ， 又因为 平面 平面 所以 /面 5 分 （ ）证明：因为 D ， H 是 中点， 所以 D 因为 /F ， A ， 所以 A 因为 D ， 所以 平面 D H 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 8 页（共 4 页） 因为 平面 所以 H ， 所以 平面 9分 （） 解： 两垂直， 如图建立空间直角坐标系 H ()100A ， ， ， 0()10D ， ， ， ()011F ， ， ()010O ， ， ， 0()12C ， ， 设点 20( ) 0 2Pm m， ， ，于是有 1,1,1DF ,1, 1F P m 设平面 法向量 ,x y zn ，则 00， 即 00x y zm x y z ， 令 1z ，得 21x m ， 11my m 所以 21, , 111n 平面 法向量 1, 1, 0 所以 c o ，即 22211 1 0 , , 11 1 12 212111 ， ， 所以 1m 所以点 P 的坐标为 ()120， ， ，与点 C 的坐标相同 所以 2C 14分 D H 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 9 页（共 4 页） ( )令 0)( 即 0)1( 2 1分 因为 0所以 012 2分 ,因为 0a ,所以 0 . 所以 方程 012 21 2a a ， 22 2a a 所以函数 )(且只有两个零点 21 2a a 和 22 2a a . 3分 ( ) 2 1 x a x x 4分 令 ( ) 0 ， 即 2 10a x ， 解得 2或 1x 5 分 当 0a 时 ， 列表得： x 2( , )a 2a2( ,1)a1 (1, ) () + 0 0 + ()调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 6 分 当 0a 时， （ 1）若 2a ，则 2 1a，列表得 x 2( , )a 2a2( ,1)a1 (1, ) () 0 + 0 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 10 页（共 4 页） ()调递减 极 小 值 单调递增 极 大 值 单调递减 7 分 （ 2） 若 20a ，则 2 1a， 列表得 x ,11 21,a2a2 ,a () 0 + 0 ()调递减 极 小 值 单调递增 极 大 值 单调递减 8 分 综上， 当 0a 时， ()调递增区间为 2( , )a ， (1, ) ，单调递减区间为2( ,1)a ； 当 2a 时， ()( ,1)a，单调递减区间为 2( , )a ， (1, ) ； 当 20a 时， ()调递增区间为 21,a，单调递减区间为 ,1 ，2 ,a 9分 ( )因为 0a ，所以当 2时 ， 有 2 0x ， 2， 0a ， 所以 2 1 0 ， 从而 0 10分 当 2时，由 （ ） 可知函数在 1x 时取得 极 小值 1(1) 0 所以， 11 为函数 上的最小值 11分 由题意，不等式 02)( 恒成立， 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 11 页（共 4 页） 所以得 021 a，解得 2 a 所以 a 的取值范围是 0, 13分 19. 解 ： （ ） 椭圆 M 的标准方程为： 2 2 12x y所以 2a ， 1b ， 1c 所以 椭圆 M 的 离心率 22ce a. 4分 （ ） 若 B 是椭圆的右顶点（左顶点一样）， 此时 直平分 所以 23( , )22A， 23( , )22C ， ( 2,0)B 3， 2 所以 的面积 1122O A C O B 63 2 =2 2 4 . 6分 若 B 不是椭圆 的左、右顶点，设 : ( 0 )A C y k x m m ， 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y C x y， 由22,22y kx 得 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k m x m ， 2 2 2 21 6 4 2 1 2 2 0k m k m ， 12 2421k ， 212 22221k ，12 2221k 9 分 因为 四边形 平行四边形， 三数学（理） 模拟（一） 试卷第 12 页（共 4 页） 所以 1 2 1 22 2422 1 1, 2k m O A O C x x y y k u u ur u u ur u u 所以22422 1 2 1k m mB ， 代入椭圆方程，化简得 222 1 4 . 10 分 因为 221 2 1 2x x y y 221 2 1 21 ( ) 4k x x x x 21 k 22224 2 242 1 2 1 222 2 1 2 121k k 261=2. 11 分 点 O 到 距离 d21 12 分 所以 的面积2O A C d 226 1 62 2 41k . 综上， 的 面积为 定值 64. 13 分 因为 的 面积 等于 的 面积 ， 所以 的 面积为 定值 64. 14 分 20. 解： ( )因为 以11 nn n n na a a a p . 1分 由于1 1a， 所以2 1， 23 1a p p . 高三数学（理） 模拟（一） 试卷第 13 页（共 4 页） 假设 数列 么1a，2a，3 所以2 1 32a a a，因而 2 0，解得 1p 或 0p . 2分 由已知 1p ， 当 0p ，1，这与 故 p 的值不存在 . 所以 数列 差数列 . 3分 ( ) 因为 数列，所以11 nn n n na a a a p . 因为 1 1a ， 所以 2 1 ， 2