二次函数知识点总结大全二

1 1 二次函数知识点总结大全二 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 2 yaxbxc a bc 是常数 0a 的函数 叫做二 次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 0a 而b c 可以为零 二次函 数的定义域是全体实数 2 二次函数 2 yaxbxc 的结构特征 等号左边是函数 右边是关于自变量x的二次式 x的最高次数是 2 a bc 是常数 a是二次项系数 b是一次项系数 c是常数项 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 2 yax 的性质 a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 2 yaxc 的性质 上加下减 3 2 ya xh 的性质 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00 y 轴 0 x 时 y 随x的增大而增大 0 x 时 y 随 x的增大而减小 0 x 时 y 有最小值0 0a 向下 00 y 轴 0 x 时 y 随x的增大而减小 0 x 时 y 随 x的增大而增大 0 x 时 y 有最大值0 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c y 轴 0 x 时 y 随x的增大而增大 0 x 时 y 随 x的增大而减小 0 x 时 y 有最小值c 0a 向下 0c y 轴 0 x 时 y 随x的增大而减小 0 x 时 y 随 x的增大而增大 0 x 时 y 有最大值c 2 2 左加右减 4 2 ya xhk 的性质 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk 确定其顶点坐标 hk 保持抛物线 2 yax 的形状不变 将其顶点平移到 hk 处 具体平移方法如下 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h X h xh 时 y 随x的增大而增大 x h 时 y 随x的增大而减小 x h 时 y 有最小 值0 0a 向下 0h X h xh 时 y 随x的增大而减小 x h 时 y 随x的增大而增大 x h 时 y 有最大 值0 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h xh 时 y 随x的增大而增大 x h 时 y 随 x的增大而减小 xh 时 y 有最小值k 0a 向下 hk X h xh 时 y 随x的增大而减小 x h 时 y 随 x的增大而增大 xh 时 y 有最大值k 3 3 在原有函数的基础上 h值正右移 负左移 k值正上移 负下移 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 cbxaxy 2 沿 y 轴平移 向上 下 平移m个单位 cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 cbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移m个单位 cbxaxy 2 变成 cmxbmxay 2 或 cmxbmxay 2 四 二次函数 2 ya xhk 与 2 yaxbxc 的比较 从解析式上看 2 ya xhk 与 2 yaxbxc 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得 到前者 即 2 2 4 24 bacb ya x aa 其中 2 4 24 bacb hk aa 五 二次函数 2 yaxbxc 图象的画法 五点绘图法 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc 化为顶点式 2 ya xhk 确定其开口方 向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶 点 与 y 轴的交点 0c 以及 0c 关于对称轴对称的点 2hc 与x轴的交点 1 0 x 2 0 x 若与x轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与x轴的交点 与 y 轴的交点 六 二次函数 2 yaxbxc 的性质 1 当 0a 时 抛物线开口向上 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 4 4 当 2 b x a 时 y 随x的增大而减小 当 2 b x a 时 y 随x的增大而增大 当 2 b x a 时 y 有 最小值 2 4 4 acb a 2 当 0a 时 抛物线开口向下 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当 2 b x a 时 y 随x的增大而增大 当 2 b x a 时 y 随x的增大而减小 当 2 b x a 时 y 有最 大值 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 2 yaxbxc a b c为常数 0a 2 顶点式 2 ya xhk a h k为常数 0a 3 两根式 12 ya xxxx 0a 1 x 2 x 是抛物线与x轴两交点的横坐标 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成 交点式 只有抛物线与x轴有交点 即 2 40bac 时 抛物线的解析式才可以用交点式表 示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc 中 a作为二次项系数 显然 0a 当 0a 时 抛物线开口向上 a的值越大 开口越小 反之a的值越小 开口越大 当 0a 时 抛物线开口向下 a的值越小 开口越小 反之a的值越大 开口越大 总结起来 a决定了抛物线开口的大小和方向 a的正负决定开口方向 a 的大小决定开口的 大小 2 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下 b决定了抛物线的对称轴 5 5 在 0a 的前提下 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 y 轴左侧 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 y 轴 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在 0a 的前提下 结论刚好与上述相反 即 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 y 轴右侧 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 y 轴 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 总结起来 在a确定的前提下 b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定 对称轴a b x 2 在 y 轴左边则 0 ab 在 y 轴的右侧则 0 ab 概括的说 就是 左同右异 总结 3 常数项c 当 0c 时 抛物线与 y 轴的交点在x轴上方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正 当 0c 时 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 当 0c 时 抛物线与 y 轴的交点在x轴下方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总结起来 c决定了抛物线与 y 轴交点的位置 总之 只要a bc 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式 必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 6 6 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于x轴对称 2 yaxbxc 关于x轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于x轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 关于 y 轴对称 2 yaxbxc 关于 y 轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于 y 轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 3 关于原点对称 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 2 yaxbxc 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a 2 ya xhk 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 5 关于点 mn 对称 2 ya xhk 关于点 mn 对称后 得到的解析式是 2 22ya xhmnk 7 7 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此 a 永 远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形 式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对 称抛物线的顶点坐标及开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与x轴交点情况 一元二次方程 2 0axbxc 是二次函数 2 yaxbxc 当函数值 0y 时的特殊情况 图象与x轴的交点个数 当 2 40bac 时 图象与x轴交于两点 12 00A xB x 12 xx 其中的 12 xx 是一 元二次方程 2 00axbxca 的两根 这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a 当 0 时 图象与x轴只有一个交点 当 0 时 图象与x轴没有交点 1 当0a 时 图象落在x轴的上方 无论x为任何实数 都有 0y 2 当0a 时 图象落在x轴的下方 无论x为任何实数 都有 0y 2 抛物线 2 yaxbxc 的图象与 y 轴一定相交 交点坐标为 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与x轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc 中a b c的符号 或由二次函数中a b c的符号判断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知 与x轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 8 8 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式 2 0 axbxc a 本身就是所含字母x的二 次函数 下面以 0a 时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 图像参考 y x2 2 y 2x2 y x2 y 2x2 y x2 y x2 2 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非 负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为 正 一元二次方程无实数根 9 9 y 2x2 4 y 2x2 2 y 2x2 y 3 x 4 2 y 3 x 2 2 y 3x2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 y 2x2 二次函数考查重点与常见题型 例 1 已知以x为自变量的二次函数 2 2 22 mmxmy 的图像经过原点 则m的值是 例 2 如图 如果函数 bkxy 的图像在第一 二 三象限内 那么函数 1 2 bxkxy 的图 像大致是 y y y y 1 1 0 x o 1 x 0 x 0 1 x y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 10 10 A B C D 例 3 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 3 5 x 求这条抛物线的解析式 例 4 已知抛物线 2 yaxbxc a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 与 y 轴交点的 纵坐标是 3 2 例 4 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的 正半轴的交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 5 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的 对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 例 6 已知 二次函数 y ax2 b 1 x 3a 的图象经过点 P 4 10 交 x 轴于 0 1 xA 0 2 xB 两 点 21 xx 交 y 轴负半轴于 C 点 且满足 3AO OB 1 求二次函数的解析式 2 在二次函数的图象上是否存在点 M 使锐角 MCO ACO 若存在 请你求出 M 点的横坐标的取值范围 若不存在 请你说明理由 11 11 例 7 已知函数 cbxxy 2 2 1 的图象经过点 A c 2 求证 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨 认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解 过程 并画出二次函数图象 若不能 请说明理