高中数学人教A版必修5导学案：2.4 第2课时 等比数列（二）

1 自学目标 1 灵活应用等比数列的定义及通项公式 2 熟悉等比数列的有关性质 3 系统了解等比数列的判断方法 1 等比数列的第二通项公式 等比数列的通项公式为 an q 0 推广形式为 an n m N q 0 2 等比数列的性质 1 如果 m n k l 则有 2 如果 m n 2k 时 am an 3 若 m n p 成等差数列 am an ap成等比数列 4 在等比数列 an 中 每隔 k 项 k N 取出一项 按原来的顺序排列 所得的新数列仍为 等比数列 5 如果 an bn 均为等比数列 且公比分别为 q1 q2 那么数列 an bn 1 an bn an an 仍是等比数列 且公比分别为 q1q2 q1 1 q1 q2 q1 6 等比数列的项的对称性 在有穷等比数列中 与首末两项 等距离 的两项之积等于首 末两项的积 即 a1 an 2 情境导学 在等差数列 an 中 通项公式可推广为 am an m n d 并且若 m n p q 则 an am ap aq n m p q N 特别地 若 m n 2p 则 an am 2ap 那么 在等比数 列中又有哪些类似的性质 这就是本节研究的主要内容 探究点一 等比数列的判断方法 思考 1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些 思考 2 如何判断或证明一个数列不是等比数列 例 1 已知 an bn 是项数相同的等比数列 求证 an bn can c 为非零常数 是等比数 列 跟踪训练 1 若数列 an 为等比数列 公比为 q 且 an 0 bn lg an 试问数列 bn 是什么数 列 并证明你的结论 3 探究点二 等比数列的性质 思考 1 类比等差数列通项公式的推广 你能得出等比数列通项公式推广的结论吗 思考 2 在等比数列 an 中 a a1a9是否成立 a a3a7是否成立 a an 2an 2 n 2 是 2 52 52 n 否成立 思考 3 由思考 2 你能得到等比数列更一般的结论吗 该结论如何证明 思考 4 在等比数列 an 中 若 m n 2k 如何证明 am an a m n k N 2 k 4 思考 5 公比 q 0 且 q 1 时 等比数列呈现怎样的特点 例 2 已知 an 为等比数列 1 若 an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 求 a3 a5 2 若 an 0 a5a6 9 求 log3a1 log3a2 log3a10的值 跟踪训练 2 在各项均为正数的等比数列 an 中 若 a3a5 4 则 a1a2a3a4a5a6a7 例 3 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个 数的和是 16 第二个数与第三个数的和是 12 求这四个数 5 跟踪训练 3 有四个数 前三个数成等比数列 后三个数成等差数列 首末两项和为 21 中 间两项和为 18 求这四个数 1 在等比数列 an 中 a2 8 a5 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 2 在等比数列 an 中 an 0 且 a1 a10 27 log3a2 log3a9等于 A 9 B 6 C 3 D 2 3 在 1 与 2 之间插入 6 个正数 使这 8 个数成等比数列 则插入的 6 个数的积为 4 已知 an 2n 3n 判断数列 an 是否是等比数列 呈重点 现规律 1 等比数列的判断或证明 6 1 利用定义 q 与 n 无关的常数 an 1 an 2 利用等比中项 a anan 2 n N 2n 1 2 如果证明数列不是等比数列 可以通过找一组三个连续项不成等比数列来证明 3 巧用等比数列的性质 减少计算量 这一点在解题中也非常重要 一 基础过关 1 在等比数列 an 中 a8 4 则 a2 a14等于 A 4 B 8 C 16 D 32 2 已知各项均为正数的等比数列 an 中 lg a3a8a13 6 则 a1 a15的值为 A 100 B 100 C 10 000 D 10 000 3 在正项等比数列 an 中 an 11 的等比数列 若 a4 a5是方程 4x2 8x 3 0 的两根 则 a6 a7 6 已知等差数列 an 的公差为 2 若 a1 a3 a4成等比数列 则 a2 7 已知数列 an 成等比数列 1 若 a2 4 a5 求数列 an 的通项公式 1 2 7 2 若 a3a4a5 8 求 a2a3a4a5a6的值 二 能力提升 8 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则 a4a5a6等于 A 5 B 7 2 C 6 D 4 2 9 已知等比数列 an 中 各项都是正数 且 a1 a3 2a2成等差数列 则等于 1 2 a9 a10 a7 a8 A 1 B 1 22 C 3 2 D 3 2 22 10 已知等比数列 an 中 有 a3a11 4a7 数列 bn 是等差数列 且 b7 a7 则 b5 b9 11 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S3 a 且 S1 S2 S4成等比数列 求 an 的通项 2 2 公式 12 已知 an 是首项为 19 公差为 2 的等差数列 Sn为 an 的前 n 项和 1