高三十月七校联考讲义导数

襄阳四中 2017 届高三理科数学复习讲义三 导数与定积分 命题人 赵永志 一 选择题 1 15 设 则的值为 2 2 1 1 1 1 1 2 xx f x xx 2 1 f x dx A B C D 4 23 3 2 4 43 3 4 答案 解析 试题分析 由已知得 A 令 得 212 22 111 1 1 f x dxx dxxdx 2 1yx 知 曲线是以坐标原点为圆心 1 22 10 xyy 2 1yx 为半径的圆处在 x 轴上方部分的半圆 由定积分的几何意义知 1 22 1 11 11 22 x dx 又 2 23233 1 1 1114 1 22 11 3333 xdxxx 故选 A 212 22 111 4 1 1 23 f x dxx dxxdx 2 已知函数 若 对任意 32 1 3 f xxxax 1 x g x e 1 1 2 2 x 存在 使成立 则实数的取值范围是 2 1 2 2 x 12 fxg x a A B 8 e e 8 e e C D 2 e 3 32 e 答案 A 解析 试题分析 对任意 存在 1 1 2 2 x 2 1 2 2 x 使 12 fxg x maxmax fxg x 在上单调递增 2 1 1fxxa 1 2 2 在上单调递减 则 max 2 8fxfa g x 1 2 2 则 故选 A max 1 2 e g xg e 8 e a e 8 e a e 方法点睛 本题主要考查 利用导数研究函数的单调性 利用导数 求函数的最值及全称量词与存在量词的应用 属于难题 解决这类问题 的关键是理解题意 正确把问题转化为最值和解不等式问题 全称量 词与存在量词的应用共分四种情况 1 12 xDxE 只需 2 12 f xg x minmax f xg x 1 xD 2 xE 只需 3 12 f xg x minf x ming x 1 xD 只需 4 2 xE 12 f xg x max f x maxg x 12 xDxE 12 f xg x maxf x ming x 3 函数 若不等式 3 33 2 xx f xexxaex x 有解 则实数的最小值为 0f x a A B C D 2 1 e 2 2 e 2 12e 1 1 e 答案 D 解析 试题分析 有解 分离参数得 3 330 2 xx f xexxaexx 令 令 3 33 x x exxx a e 3 33 x x exxx F x e 解得 故 0Fx 1x 11 11 e F xF ee 思路点晴 有解 3 330 2 xx f xexxaexx 分离参数得 令 3 33 x x exxx a e 3 33 x x exxx F x e 利用导数可以求得函数的单调区间 极值和最值 由此求得 F x 恒成立问题往往有两种方法 一种是分 11 11 e F xF ee 离参数法 另一种是直接讨论法 但是直接讨论往往比较复杂 4 已知是定义在 R 上的减函数 其导函数满足 xf fx 则下列结论正确的是 2 f x x fx A 当时 0 当时 2 x xf 2x0 xf B 当时 当时 2 x0 xf 2x0 xf C 对于任意R 0 x xf D 对于任意R 0 x xf 答案 D 解析 试题分析 是定义在上的减函数 2 f x x fx xfR 0fx 2f xfx xfx 20f xfxx 函数在上单调递减 20 xf x 2yxf x R 当时 故 当时 2 x 20 x 0f x 2 x 故 又当时 又 20 x 0f x 2x 2 0 2 f f 所以 所以对任意成立 故选 2 0 f 2 0f 0f x x R D 思路点睛 本题考查了导数的综合应用 关键在于构造函 由题意可得 结合函数的单 2yxf x 20 xf x 调性 从而可判断当或时 结合为减2x 2x 0f x f x 函数可得结论 5 如图是函数的大致图象 则 32 f xxbxcxd 22 12 xx A B C D 2 3 4 3 8 3 12 3 答案 C 解析 试题分析 由题意得 根据函数的图象的根为 所以 0f x 0 1 2 所以 所以0d 32 f xxbxcxd 2 0 x xbxc 的两个根为 和 所以 所以 2 0 xbxc 123 2bc 所以 因为是方 32 32f xxxx 2 362fxxx 12 x x 程的两根 所以 所以 2 3620 xx 1212 2 2 3 xxx x 故选 C 222 121212 8 2 3 xxxxx x 考点 利用导数研究函数的极值 导数的几何意义 方法点晴 本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值 导数的 几何意义的应用 充分体现导数在函数问题解答中的应用 本题的解 答中根据函数的图象的根为 求出函数的解析式 再 0f x 0 1 2 利用是方程的两根 结合一元二次方程的根与 12 x x 2 3620 xx 系数的关系是解答的关键 着重考查了学生分析问题和解答问题的能 力 以及转化与化归思想的应用 6 已知函数 设两曲线 22 1 2 3ln 2 f xxax g xaxb 与有公共点 且在该点处的切线相同 则 yf x yg x 时 实数的最大值是 0 a b A B C D 6 13 6 e 2 3 3 2 e 6 1 6 e 2 3 7 2 e 答案 B 解析 试题分析 由题意得 函数的导数 f xg x 分别为 由于两曲线与 2 3 2 a f xxa g x x yf x 有公共点 设 则 yg x 00 P xy 由于 2 00000 2 0000 0 1 23ln 2 3 23 f xg xxaxaxb a fxg xxaxa x 或 0 0 0 xa 则 因此 构造 0 xa 2222 000 15 23ln3ln 22 bxaxaxaaa 函数 所以 当 22 5 3ln 0 2 h tttt t 2 1 ln h ttt 时 即单调递增 当时 1 3 0te 0h t h t 1 3 te 即单调递减 则 即为实数 0h t h t 12 33 max 3 2 h th ee 的最大值 b 考点 利用导数判定函数的单调性 利用导数求解函数的极值与最值 方法点晴 本题主要考查了利用导数判定函数的单调性 利用导数 求解函数的极值与最值 考查了导数的综合应用 同时涉及到导数的 几何意义 函数在欧典出的导数即为曲线在该点处的切线的斜率 着 重考查了分离参数法和函数的构造思想 同时考查了学生分析问题和 解答问题的能力 以及推理与运算能力 属于中档试题 7 定义在区间上的函数使不等式 0 xf 恒成立 其中为的导数 则 3 2xfxxfxf xf xf A B 16 1 2 8 f f 8 1 2 4 f f C D 4 1 2 3 f f 3 1 2 2 f f 答案 B 解析 试题分析 由可得 即 令 22 2 2 x xf x xfxxf x xf x xf xx xf x xf x 2 1 则 即 x xf xF x xF xF x xF 2 2 xFxxFxF 所以且 即0 xFxxF0 2 xFxxF 且 所以函数是增0 2 x xFxxF 0 2 4 2 x xxFxFx x xF 函数且函数是减函数 即是增函数且函数是减函 2 x xF 2 x xf 3 x xf 数 所以且 即且 22 2 2 1 1 ff 33 2 2 1 1 ff 4 1 2 f f 8 1 2 f f 故应选 B 考点 导数及运算 易错点晴 本题以不等式的形式为背景考查的是导数的知识的综合 运用 解答本题的难点是如何建立两个函数值的表达式 本题在解答时 借助题设的不等式 运用巧妙变形进行构造 3 2xfxxfxf 函数 进而通过构造的函数进行合理有效的变形得到两 x xf xF 个单调函数和函数 即和函数 最后 x xF 2 x xF 2 x xf y 3 x xf y 借助单调性使得问题简捷巧妙获解 8 已知直线与曲线相交于 980 xy 32 3C yxpxx A B 且曲线在处的切线平行 则实数的值为 C A Bp A 4 B 4 或 3 C 3 或 1 D 3 答案 B 解析 试题分析 设 由 1122 A x yB xy 得 由题意 32 3yxpxx 2 323yxpx 因为 则 22 1122 323323xpxxpx 12 xx 有 把代入得 12 2 3 xxp 8 9 x y 32 3yxpxx 由题意都是此方程的解 即 32 992680 xpxx 11 2 3 xpx 32 111 992680 xpxx 化简为 32 111 222 9 9 26 80 333 pxppxpx 把 代入 并化简得 323 111 452 992680 33 xpxxpp 即 当 3 13120pp 1 3 4 0ppp 1 3 4p 时 两式相同 说明 舍去 所以 故1p 12 xx 3 4p 选 B 名师点睛 本题考查了导数的几何意义 设切点坐标为 第一由这两点处切线平行可得出 1122 A x yB xy 12 2 3 xxp 第二 两点是直线与函数图象的交点 因此有是联立后的 A B 12 x x 方程的解 下面是关键的一步 由 1 知 32 992680 xpxx 都是这个方程的解 因此可代入后两式比较从而得出只含 11 2 3 p xx 有的方程 可解出值 代入检验是我们都容易忘记的 pp1p 是易错点 解题时要注意 9 如果函数满足 对于任意的 都 32 1 3 f xxa x 12 0 1 x x 有恒成立 则的取值范围是 12 1f xf x a A B 2 3 2 3 33 2 32 3 0 0 33 C D 2 3 2 3 33 2 32 3 0 0 33 答案 C 解析 试题分析 因 故 1 当 22 axxf 时 即时 若 10 2 a1 a 3 min 3 2 axf 0 0 max fxf 此时 即 也即时 则有0 1 f0 3 1 2 a 3 3 3 1 2 aa 解得 所以 若1 3 2 3 a 3 2 3 a1 3 3 a 则 即时 则有 2 max 3 1 1 afxf 0 3 1 2 a 3 3 a 即 令1 3 2 3 1 32 aa0232 23 aa 则 因 故 2 3 2 23 aaah 1 6 aaah 3 3 0 a0 1 6 aaah 函数单调递减 所以 即不2 3 2 23 aaah02 max ah 等式恒成立 所以 若 显然1 3 2 3 1 32 aa 3 3 0 a 3 3 a 成立 所以 2 当 即时 函1 a1 2 a1 a0 22 axxf 数在上单调递减 xf 1 0 0 0 max fxf 则 即 综上所求实 2 min 3 1 1 afxf 1 3 1 2 a 3 32 1 a 数的取值范围是或 即 也即1 a 3 32 1 a 3 32 a 故应选 C 3 32 3 32 a 易错点晴 本题设置的是一道已知函数在对于 32 1 3 f xxa x 任意的 都有有恒成立的前提下求 12 0 1 x x 12 1f xf x 参数的取值范围问题 解答时要先运用导数将函数a 的导数求出 然后再运用分类整合的数学思想进行 32 1 3 f xxa x 分类求解 求解时先对实数的绝对值进行分类讨论 讨论的标准是a 与 的关系进行展开 共分两大类 即分为和两大类进 a11 a1 a 行讨论 最后再 将所求参数的范围进行整合 这是必须要注意的问题 也是容易出错的地方 整个求解过程体现了转化与化归 分类与整合 的数学思想和数形结合的思想 10 设函数 0 ln 0 x x x e f x x x x 若对恒成 12 421 xx g xaaaaR A f g xe xR 立 其中是自然对数的底数 则的取值范围是 ea A B 1 0 C D 1 0 2 0 1 0 2 答案 A 解析 试题分析 当时 0 x 故函数在上单调递减 0 1 2 xx xx e x e xee xf xf 0 当时 故当时 函数0 x 2 ln1 x x xf ex 00 xf 在上单调递增 当时 函数在 xf 0 eex 0 xf xf 上单调递减 故在上函数取最大值 e 0 xf 而当时 设 可得 故不等式e e xf 1 max 0 xe e x x 1 x 可化为 即不等式 f g xe 1 xg 在恒成立 令 0224 2 aaa xx 0 2 0 1 x tt 也即不等式在上恒成立 当对称轴02 22 aaatt 0 1 时 只需 即时不等式恒成立 当时 0 a0 2 aa01 a1 a 只需 但这不可能 当时 则只需021 2 aaa10 a 这也不可能 所以综上实数的取值范围是02 222 aaaaa 应选 A 01 a 考点 导数和函数的图象及性质等有关知识的综合运用 易错点晴 导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具 也高 考和各级各类考试的重要内容和考点 解答本题时要充分利用题设中 提供的有关信息 先运用求导法则对函数的分类 0 ln 0 x x x e f x x x x 求其导数 借助导数与函数的单调性的关系从细微的角度研究函数的 图象和性质 搞清函数的图象的大概形状 从而将不等式 化为 再借助函数的的图象 将问题进一 f g xe 1 xg xf 步转化为几不等式在恒成立问题 0224 2 aaa xx 0 然后分类求出满足题设条件的实数的取值范围 从而使得问题获解 a 二 填空题 11 19 若函数在其定义域内的一个子区间 2 1 ln1 2 f xxx 内存在极值 则实数的取值范围 1 1 aa a 答案 2 3 1 解析 试题分析 函数的定义域为 令 0 解得或 不在定义域0 2 14 2 1 2 2 x x x xxf 2 1 x 2 1 x 内舍 所以要使函数在子区间内存在极值等价于 1 1 aa 即 解得 答案为 0 1 1 2 1 aa 2 1 1 2 1 1 01 a a a 2 3 1 a 2 3 1 12 已知函数 a 为常数 e 为自然 1 2 1 1 ln xaxx e xx xf 对数的底数 的图象在点 A e 1 处的切线与该函数的图象恰好有 三个公共点 则实数 a 的取值范围是 答案 3 2 223 223 解析 试题分析 当时 则过的切线斜率1x 1 fx x 1A e 为故切线方程为 与联 1 k e 1 1yxe e 1 2yxxa e 立后应该有两组解 即消元得到的有两个的实 2 120 xa xa 数解 即 解得 2 2 18610aaaa 故答案为 3 2 223 223 3 2 223 223 方法点睛 本题主要考查分段函数的解析式 图象及性质 数形结 合思想的应用 属于难题 数形结合是根据数量与图形之间的对应关 系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 是 中学数学四种重要的数学思想之一 尤其在解决选择题 填空题是发 挥着奇特功效 大大提高了解题能力与速度 运用这种方法的关键是 将已知函数的性质研究透 这样才能快速找准突破点 本题是通过切 线与有一个交点 与有两个交点y ln x 1 2 1yxxa x e 转化为方程有两个根 解答的 13 27 若函数与 2 lnf xxxa 的图象上存在关于轴对称的点 则实数 2 1 0 2 x g xxex y 的取值范围是 a 答案 ae 解析 试题分析 若函数与 2 lnf xxxa 图象上存在关于轴对称的点 则等价为 2 1 0 2 x g xxex y 在时 方程有解 即g xfx 0 x 即 22 1 ln 0 2 x xexxax 在上有解 令 1 ln0 2 x exa 0 则在其 1 ln 2 x m xexa 1 ln 2 x m xexa 定义域上是增函数 且时 若时 x 0m x 0a 时 故在上有xa 0m x 1 ln0 2 x exa 0 解 若时 则在上有解可化0a 1 ln0 2 x exa 0 为 即 故 综上所述 0 1 ln0 2 ea 1 2 lna 0ae ae 名师点睛 本题考查函数与方程的应用 属难题 解题时根据函数 的图象与方程的根及函数的零点之间的关系 进行转化是解决本题的 关键 综合性较强 难度较大 考点 定积分的计算及其性质 14 设过曲线 为自然对数的底数 上任意一点 x f xex e 处的切线为 总存在过曲线上一点处的切线 1 l 2cosg xaxx 2 l 使得 则实数的取值范围是 12 ll a 答案 1 2 解析 试题分析 设曲线上的切点为 曲 x f xex 00 yxP 线上一点为 因 2cosg xaxx tftQ 故直线的斜率分别为xaxgexf x sin2 1 21 l l 由于 因此takek x sin2 1 21 0 12 ll 即 也即1 sin2 1 0 tae x 1 sin2 1 0 tae x 又因为 所以 由于存在 1 1 sin2 0 x e taRx 0 1 1 1 0 0 x e 使得 因此且 所以t 1 1 sin2 0 x e ta1sin2 ta0sin2 ta 所以 2 sin2 1 sin21 maxmin tata21 a 考点 导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路 易错点晴 本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数 的取值范围问题 解答时先求导将切线的斜率表示出来 再借助题设中 提供的两切线的位置关系 将其数量化 最后再依据恒成立和存在等信 息的理解和处理 从而使问题获解 本题在解答时最为容易出错的地方 有两处 其一是将切点设为一个 其二是将存在问题当做任意问题来 处理 15 已知函数在区间上单调递增 则实 Ra e a exf x x 1 0 数的取值范围是 a 答案 1 1 解析 试题分析 当时 则函0 a x x x x e a e e a exf 数的导数 且恒成立 由 x x x x e ae e a exf 2 0 xf 解得 即 此时函数单调递增 由 0 x fae x 2 axln 2 1 解得 即 此时函数单调递减 若 0 x fae x 2 axln 2 1 在区间上单调递增 则 解得 即 xf 1 0 0ln 2 1 a10 a 当时 在区间上单调递增 10 a0 a x x x e e a exf 1 0 满足条件 当时 在单调递增 令0 a x x e a ey R 则 则在0 x x e a eyax ln x x e a exf 为减函数 在上为增函数则 a ln0 lna0ln a 解得综上 实数的取值范围是 故答案为 1 aa 1 1 1 1 16 已知函数 若对任意的 1 3 3 lnf xmxmx x 4 5 m 恒有成立 则实 12 1 3 x x 12 ln3 3ln3 amf xf x 数的取值范围是 a 答案 37 6 解析 试题分析 设 由 2 13 3 m fxm xx 1 t x 知 的对称轴为 1 3 x 1 1 3 t 2 3 3ytm tm 因此时 12 1 2 3 7 4 t m 1 3 t 即 故在 min 1188 3 30 9339 ymmm 0fx f x 上递增 故 1 3 min 1 31f xfm 因此不等式 max 1 3 9 3 ln3 3 f xfmm 恒成立 即 12 ln3 3ln3 amf xf x 即 1 9 3 ln3 31 3 mmm ln3 3ln3am 所以 2 6 3 a m 237 6 3 46 a 三 解答题 17 已知函数 直线为曲线的切线 2 x ax f x e 1 yx e yf x 为自然对数的底数 e 1 求实数的值 a 2 用表示中的最小值 设函数 min m n m n 若函数为增 1 min 0g xf xxx x 2 h xg xcx 函数 求实数的取值范围 c 解析 1 对求导得 f x 2 2 22 xx x x xxx ex e fxaa e e AA AA 设直线与曲线切于点 则 1 yx e yf x 00 P xy 解得 所以的值为 1 0 0 2 0 0 00 1 21 x x ax x ee xx a ee A 0 1ax a 2 记函数 下面考察 2 11 0 x x F xf xxxx xex 函数的符号 对函数求导得 yF x yF x 当时 恒成立当 2 21 1 0 x xx Fxx ex 2x 0Fx 时 02x 2 2 21 2 xx xx 从 而 2222 211111 111 10 xx xx Fx exexxx 在上恒成立 故在上单调递 0Fx 0 yF x 0 减 2 143 10 20 2 QFF ee 120FF A 又曲线 在上连续不间断 所以由函数的零点存在性 yF x 1 2 定理及其单调性知唯一的 使 0 1 2x 0 0F x 0 0 0 xxF x 0 xx 0F x 0 2 0 1 0 1 min x xxx x g xf xx xx xx e 从而 2 0 2 2 2 0 1 0 x xcxxx x h xg xcx x cxxx e 0 2 0 1 12 0 2 2 x cxxx x h x xx cx xx e 由函数为增函数 且曲线在上 2 h xg xcx yh x 0 连续不断知在 上恒成立 0h x 0 0 x 0 x 当时 在上恒成立 即 0 xx 2 20 x xx cx e 0 x 在上恒成立 2 2 x x c e 0 x 记 则 0 2 x x u xxx e 0 3 x x uxxx e 当变化时 变化情况列表如下 x uxu x x 0 3 x3 3 ux 0 u xA极小值A 3min 1 3u xu xu e 极小 故 在上恒成立 只需 即 2 2 x x c e 0 x 3min 1 2cu x e 3 1 2 c e 当时 当时 在 0 0 xx 2 1 12h xcx x 0c 0h x 上恒成立 0 0 x 综合 知 当时 函数为增函数 3 1 2 c e 2 h xg xcx 故实数的取值范围是 c 3 1 2e 18 函数其图像与轴交于 Raaaxexf x x 两点 且 0 0 21 xBxA 21 xx 1 求的取值范围 a 2 证明 为的导函数 0 21 xxf xf xf 3 设点 C 在函数图像上 且 ABC 为等腰直角三角形 记 xf 求的值 1 1 1 2 t x x 1 1 ta 解析 1 Raaaxexf x x fxea 若 则 则函数是单调增函数 这与题设矛0 a 0fx xf 盾 令 则 当时 0 a 0fx axln 0fx axln 单调减 当时 是单调增函数 于 xf 0fx axln xf 是当时 取得极小值 函数的图象与轴交于axln xf xfx 两点 即 0 0 2121 xxxBxA 0 ln2 ln aaaf 此时 存在 存在 2 ea aln1 0 1 efaalnln3 a3 3alna a 又由在及03 ln3 23 aaaaf xf ln a 上的单调性及曲线在上不间断 可知为所求取值 ln aR 2 ea 范围 2 两式相减得 记 1 2 1 2 0 0 x x eaxa eaxa 21 21 xx ee a xx 21 2 xx s 0s 则 12 12212 12 2 21 2 22 xx xxxx ss xxeee fesee xxs 设则 是单 2 ss g ssee 2 0 ss g see g s 调减函数 则有 而 0 0g sg 12 2 0 2 xx e s 12 0 2 xx f 又是单调增函数 且 x fxea 12 12 2 xx x x 12 0fx x 3 依题意有 则 0 i x i eaxa 10 i x i a xe 2 1 1 ixi 于是 在等腰三角形 显然 12 2 12 11 xx eaxx ABC 即 由直角三 0 90 C 12 012 2 xx xx x 0 00 xfy 角形斜边的中线性质 可知 即 21 0 2 xx y 21 0 0 2 xx y 12 21 2 12 0 22 xx xxa exxa 21 1212 110 22 xxa axxxxa 即 21 1212 11 11110 22 xxa axxxx 则 又 01 1 x 2 221 11 1 1 111 10 1212 x xxxa a xx 即 2 1 1 1 x t x 22 1 110 22 a attt 2 1 1 a t 2 1 1 ta 19 已知函数在上是奇函数 1 21 x a f x R 1 求 a 2 对 不等式恒成立 求实数的取值 0 1 x 21 x sf x s 范围 3 令 若关于的方程有 1 1 g x f x x 2 1 0gxmg x 唯一实数解 求实数的取值范围 m 解析 1 因为 为奇函数 xf 所以所以 12 1 12 1 xx aa xfxf即2a 2 221 1 2121 x xx f x 21 0 1 0 21 x x xf xs f x 故 所以 即 max 21 0 1 x sx 3s 3 因为 121 12 x g x f x 2 1 0 2 1 gxmg xgxmg x 即 所以 21 21 21 xx m 2 22 210 xx mm 因为关于的方程有唯一实数解 所以方程x 2 1 0gxmg x 有且只有一个根 令 则方程 变为2xt 有且只有一个正根 方程 2 210tmtm 有且只有一个根且是正根 则 2 210tmtm 22 4444 1 0mmmm 所以 当时 方程的 15 2 m 15 2 m 2 210tmtm 根为满足题意 当时 方程tm 15 2 m 的根为不满足题意 2 210tmtm tm 方程有一正根一负根 则 所以 2 210tmtm 10m 1m 方程有一正根一零根 则 所以 2 210tmtm 10m 此时满足题意