六、植树问题

1 植树问题植树问题 只要我们稍加留意 都会看到在马路两旁一般都种有树木 细心观察 这 些树木的间距一般都是等距离种植的 路长 间距 棵数之间存在着确定的关 系 我们把这种关系叫做 植树问题 而植树问题 一般又可分为封闭型的和 不封闭型的 开放型的 封闭型的和不封闭型的植树问题 区别在于间隔数 段数 与棵数的关系 1 不封闭型的 多为直线上 一般情况为两端植树 如下图所示 其路 长 间距 棵数的关系是 但如果只在一端植树 如右图所示 这时路长 间距 棵数的关系就是 如果两端都不植树 那么棵数比一端植树还要再少一棵 其路长 间距 棵数的关系就是 2 封闭型的情况 多为圆周形 如下图所示 那么 植树问题的三要素 总路线长 间距 棵距 长 棵数 只要知道这三个要素中任意两个要素 就可以求出第三个 植树问题的分类 直线型的植树问题 封闭型植树问题 特殊类型的植树问题 1 例题与方法指导例题与方法指导 例例 1 有一条公路长 1000 米 在公路的一侧每隔 5 米栽一棵垂柳 可种植垂 柳多少棵 思路导航 2 每隔 5 米栽一棵垂柳 即以两棵垂柳之间的距离 5 米为一段 公路的全长 1000 米 分成 5 米一段 那么里包含有 1000 5 200 段 由于公路的两端都要 求种树 所以要种植的棵数比分成的段数多 1 所以 可种植垂柳 200 1 201 棵 例例 2 某一淡水湖的周长 1350 米 在湖边每隔 9 米种柳树一株 在两株柳树 中间种植 2 株夹枝桃 可栽柳树多少株 可栽夹枝桃多少株 两株夹枝桃之间相 距多少米 思路导航 在圆周上植树时 由于可栽的株数等于分成的段数 所以 可栽柳树 1350 9 150 株 由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃 而间隔数 段数 为 150 所以栽夹枝桃的株数 2 150 300 株 每隔 9 米种柳树一株 在两株夹 枝桃之间等距地栽 2 株夹枝桃 这就变成两端都不植树的情形 即 2 株等距离 栽在 9 米的直线上 不含两端 所以 每两株之间的距离 9 2 1 3 米 例例 3 一条街上 一旁每隔 8 米有一个广告牌 从头到尾有 16 个广告牌 现 在要进行调整 变成每 12 米有一个广告牌 那么除了两端的广告牌外 中间还 有几个牌不需要移动 思路导航 16 个广告牌 每相邻的两个广告牌的间隔为 8 米 则共有 16 1 15 个间隔 这条街的总长度为 8 15 120 米 现在要调整为每 12 米一个广告牌 那么 不移动的牌离端点的距离一定既是 8 的倍数 同时也是 12 的倍数 8 3 12 2 24 也就是说 每 24 米及其倍数处的广告牌可以不需要移动 120 24 5 即段数为 5 个 但要扣除两端的 2 个 所以 中间不需要移动的有 5 1 4 个 事实上 所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称 并不单指植树 问题 例如 与之类似的还有爬楼 梯 问题 队列问题 敲钟问题 锯木头 问题的等 所以 植树问题又称上楼梯问题 2 巩固训练巩固训练 1 某人要到一座高层楼的第 8 层办事 不巧停电 电梯停开 如果他从 1 层走到 4 层需要 48 秒 请问以同样的速度走到八层 还需要多少秒 2 光华路小学三年级学生有 125 人参加运动会入场式 他们每 5 人一行 前后每行间隔为 2 米 主席台长 42 米 他们以每分钟 45 米的速度通过主席台 需要多少分钟 3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形 它的长度是多少 十个这 样的铁环连在一起有多长 3 4 一个木工把一根长 24 米的木条锯成了 3 米长的小段 每锯断一次要用 5 分钟 共需多少分钟 3 巩固训练巩固训练 1 一个街心花园如下图所示 它由四个大小相等的等边三角形组成 已 知从每个小三角形的顶点开始 到下一个顶点均匀栽有 9 棵花 问大三角形边 上栽有多少棵花 整个花园中共栽多少棵花 2 时钟 4 点敲 4 下 用 12 秒敲完 那么 6 点钟敲