高中理科数学解题方法篇（数列求通项）

常见递推数列通项的求解方法常见递推数列通项的求解方法 高考中的递推数列求通项问题 情境新颖别致 有广度 创新度和深度 是高考的热点 之一 是一类考查思维能力的好题 要求考生进行严格的逻辑推理 找到数列的通项公式 为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法 类型一 类型一 可以求和 可以求和 累加法累加法 1 nn aaf n f n 解决方法 例例 1 1 在数列中 已知 1 当时 有 求数列的通项公 n a 1 a2n 1 21 nn aan 2n 式 解析 1 21 2 nn aann 上述个等式相加可得 21 32 43 1 1 3 5 21 nn aa aa aa aan 1n 2 1 1 n aan 2 n an 评注 一般情况下 累加法里只有 n 1 个等式相加 类型一专项练习题 1 已知 求 1 1a 1nn aan 2 n n a 1 2 n n n a 2 已知数列 2 3 2 求 n a 1 a 1n a n an n a 31 2 n nn a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 1a1n2aa 1n1n a n 2 1 n an 4 已知中 求 n a n nn aaa2 3 11 n a21 n n a 5 已知 求数列通项公式 1 1 2 a 1 1 2 n nn aa nN n a 1 31 22 n n a 6 已知数列满足求通项公式 n a 1 1 a 1 1 32 n nn aan n a 31 2 n n a 7 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 11 3 2 3 n nn aaanN 1 123n n a 8 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3a132aa 1 n n1n a n 31 n n an 9 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 31 2 n a n 10 数列中 是常数 且成公比不为 n a 1 2a 1nn aacn c12 3n 123 aaa 的等比数列 1 I 求 的值 c 2c II 求的通项公式 n a 2 2 n ann 11 设平面内有n条直线 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一 3 n 点 若用表示这 条直线交点的个数 则 5 f nn 4 f 当时 用 表示 4n f n 2 2 2 nn n 类型二 类型二 可以求积 可以求积 累积法累积法 1 nn af na f n 解决方法 例例 1 1 在数列中 已知有 求数列的通项公式 n a 1 1 a 1 1 nn nana 2n n a 解析 1232 1 12321 nnn n nnn aaaaa aa aaaaa 123 2 1 114 3 nnn nnn 2 1n 又也满足上式 1 a 2 1 n a n nN 评注 一般情况下 累积法里的第一步都是一样的 类型二专项练习题 1 已知 求 1 1a 1 1 1 nn n aa n 2n n a 2 2 n a nn 2 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 2 3 n a n 3 已知中 且 求数列的通项公式 n a 1 2 nn n aa n 1 2a n a 4 1 n a nn 4 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 6 31 n a n 5 已知 求数列通项公式 1 1a 1 nnn an aa nN n a n an 6 已知数列满足 求通项公式 n a 1 1 a 1 2n nn aa n a 2 2 2 nn n a 7 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3aa5 1n 2a 1n n 1n a n 2 1 2 3 25 nn n n an 8 已知数列 an 满足a1 1 n 2 则 an 的通项 1321 1 32 nn anaaaa 1 2 n a n 1 2 n n 9 设 an 是首项为 1 的正项数列 且 n 1 a na an 1 an 0 n 1 2 3 2 1 n 2 n 求它的通项公式 1 n a n 10 数列的前 n 项和为 且 求数列的通项公式 na n S1 1 a n S 2 Nnan n na 2 2 n a nn 类型三 类型三 待定常数法待定常数法 1 nn aAaB 其中A B为常数A0 1 解决方法 可将其转化为 其中 则数列为公比等于 A 的等比数 1 nn atA at 1 B t A n at 列 然后求即可 n a 例例 1 1 在数列中 当时 有 求数列的通项公式 n a 1 1a 2n 1 32 nn aa n a 解析 设 则 1 3 nn atat 1 32 nn aat 于是1t 1 131 nn aa 是以为首项 以 3 为公比的等比数列 1 n a 1 12a 1 2 31 n n a 类型三专项练习题 1 在数列中 求数列的通项公式 n a 1 1a 1 23 nn aa n a 32 n n a 2 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 11 1 22 nn aaan A 1 22n n a 3 已知数列 a 中 a 1 a a 1求通项a n1n 2 1 1 n 2 n n 1 22 n n a 4 在数列 不是常数数列 中 且 求数列的通项公式 n a 1 1 2 2 nn aa 1 1 3 a n a 1 11 42 3 n n a 5 在数列 an 中 求 13 1 11 nn aaa n a 1 1 3 2 n n a 6 已知数列满足求数列的通项公式 n a 11 1 21 nn aaanN n a21 n n a 7 设二次方程x x 1 0 n N 有两根 和 且满足 6 2 6 3 n a 2 1 n a 1 试用表示 a n a 1n 1 11 23 nn aa 2 求证 数列是等比数列 2 3 n a 3 当时 求数列的通项公式 1 7 6 a n a 21 32 n n a 8 在数列中 为其前 项和 若 并且 试判 n a n Sn 1 3 2 a 2 2a 11 3210 2 nnn SSSn 断是不是等比数列 是 1 n an N 类型四 类型四 11 0 nnn AaBaCa 其中A B C 为常数 且A B C 0 可将其转化为 的形式 列出方程组 11 2 nnnn A aaaan 解出还原到 式 则数列是以为首项 为公比 AB C 1nn aa 21 aa A 的等比数列 然后再结合其它方法 就可以求出 n a 例例 1 1 在数列中 且求数列的通项公式 n a 1 2a 2 4a 11 32 nnn aaa 2n n a 解析 令 11 2 nnnn aaaan 得方程组 解得 3 2 1 2 11 22 nnnn aaaan 则数列是以为首项 以 2 为公比的等比数列 1nn aa 21 aa 1 1 2 22 nn nn aa 21 2 32 3 43 1 1 2 2 2 2n nn aa aa aa aa 1 1 2 1 2 22 1 2 n n n aa 2n n anN 评注 在中 若 A B C 0 则一定 11 0 nnn AaBaCa 其中A B C 为常数 且A B C 0 可以构造为等比数列 1nn aa 例例 2 2 已知 求 1 2a 2 3a 11 6 nnn aaa 2 n n a 解析 令 整理得 11 2 nnnn aaaan 11nnn aaa 1 6 3 2 11 121 3329 2 nn nn aaaa 两边同除以得 1 2n 1 1 39 22 24 nn nn aa 令 2 n n n a b 1 39 24 nn bb 令 得 1 3 2 nn btbt 1 35 22 nn bbt 59 24 t 9 10 t 1 939 10210 nn bb 故是以为首项 为公比的等比数列 9 10 n b 1 1 991 1021010 a b 3 2 1 913 10102 n n b 1 913 10102 n n b 即 得 1 913 10102 2 n n n a 191 23 105 n n n a 类型四专项练习题 1 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 1 31 11 43 n n a 2 已知 a1 1 a2 求数列 的通项公式 5 3 2n a 5 3 1n a 2 3 n a n a n a 2 33 3 n n a 3 已知数列中 是其前项和 并且 n a n Sn 11 42 1 2 1 nn Sana 设数列 求证 数列是等比数列 2 1 2 1 naab nnn n b 设数列 求证 数列是等差数列 2 1 2 n a c n n n n c 求数列的通项公式及前项和 n an 12 23 1 2 nn n an 31 22 n n sn 4 数列 求数列的通项公式 n a 21 3520 1 nnn aaannN baaa 21 n a 1 2 323 3 n n abaab 类型五 类型五 且且 1 nn apaf n 0p 1p 一般需一次或多次待定系数法 构造新的等差数列或等比数列 例例 1 1 设在数列中 求数列的通项公式 n a 1 1a 1 1 212 2 nn aann n a 解析 解析 设 nn baAnb 1 1 1 2 nn aAnBaA nB 展开后比较得 20 4 2 6 10 22 A A ABB 这时 1 1 46 2 nnnn bban n2 且b 是以 3 为首项 以为公比的等比数列 n b 1 2 1 1 3 2 n n b 即 1 1 346 2 n n an 1 1 346 2 n n an 例例 2 2 在数列中 求数列的通项公式 n a 1 2a 1 1 222 n nn aan n a 解析 解析 1 1 222 n nn aan 两边同除以得是以 1 为首项 2 为公差的等 1 1 22n nn aa 2n 1 1 2 22 nn nn aa 2 n n a 1 2 a 差数列 即 11221 2 n n a nn 221 n n an 例例 3 3 在数列中 求数列的通项公式 n a 1 5a 1 2212 n nn aann N n a 解析解析 在中 先取掉 得 1 221 n nn aa 2n 1 21 nn aa 令 得 即 1 2 nn aa 1 1 12 1 nn aa 然后再加上得 2n 1 1212n nn aa 1 1212n nn aa 两边同除以 得2n 1 1 11 1 22 nn nn aa 是以为首项 1 为公差的等差数列 1 2 n n a 1 1 2 2 a 1 211 2 n n a nn 211 n n an 评注 若中含有常数 则先待定常数 然后加上 n 的其它式子 再构造或待定 f n 例例 4 4 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 1a425a3a 1 n n1n a n 解析 在中取掉待定 1 35 24 n nn aa 5 2n 令 则 1 3 nn atat 1 32 nn aat 再加上得 24t 2t 1 232 nn aa 5 2n 整理得 1 2325 2n nn aa 1 1 2235 2222 nn nn aa 令 则 2 2 n n n a b 1 35 22 nn bb 令 1 3 2 nn btbt 1 3 22 nn t bb 5 5 22 t t 即 数列是以为首项 为公比的等比数列 1 3 55 2 nn bb 5 n b 1 1 213 55 22 a b 3 2 即 整理得 1 13 3 5 22 n n b 1 213 3 5 222 n n n a 1 13 35 22 nn n a 类型 5 专项练习题 1 设数列的前 n 项和 求数列的通项公式 n a 1 412 21 333 n nn SannN n a 42 nn n a 2 已知数列中 点在直线上 其中 n a 1 1 2 a 1 2 nn naa yx 1 2 3 n 1 令求证 数列是等比数列 1 1 nnn baa n b 2 求数列的通项 n a 3 2 2 n n an 3 已知 求 1 2a 1 1 42n nn aa n a42 nn n a 4 设数列 求 n a 2 123 4 11 nnaaa nnn a 1 4 31 n n an 5 已知数列满足 求通项 na 11 2 2 21 nn aaan n a 1 5 221 n n an 6 在数列中 求通项公式 anaaan nn11 3 2 263 an 9 2 n n a 7 已知数列中 求 n a 6 5 1 a 1 1 2 1 3 1 n nn aa n a 2 2 3 n n a 8 已知数列 a a 1 n N a 2a 3 n 求通项公式a n1 1 nnn 32 nn n a 9 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3a132a3a 1 n n1n a n 51 2 3 62 n n an 10 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 11 1 32 3 n nn aaan A 7 3 2 3 n n an 11 已知数列满足 求 n a 1 11 1 32n nn aaa n a 11 5 32 nn n a 12 已知数列满足 求数列的通项公式 a n n n1n 23a2a 2a1 a n 1 31 2n n an 13 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 6a53a2a 1 n n1n a n 1 52 nn n a 14 已知 求 1 1a 1 1 2n nn aa n a 21 3 n n a 15 已知中 求 n a 1 1a 1 22 2 n nn aan n a 1 2 2 n n an 16 已知数列中 是其前项和 并且 n a n Sn 11 42 1 2 1 nn Sana 设数列 求证 数列是等比数列 2 1 2 1 naab nnn n b 设数列 求证 数列是等差数列 2 1 2 n a c n n n n c 求数列的通项公式及前项和 n an 12 23 1 2 nn n an 31 22 n n sn 类型六 类型六 倒数法倒数法 1 n n n c a a pad 0c p d 解决方法 例例 1 1 已知 求 1 4a 1 2 21 n n n a a a n a 解析 两边取倒数得 设则 1 11 1 2 nn aa 1 n n b a 1 1 1 2 nn bb 令 展开后得 1 1 2 nn btbt 2t 1 21 22 n n b b 是以为首项 为公比的等比数列 2 n b 1 1 17 22 4 b a 1 2 即 得 1 71 2 42 n n b 1 171 2 42 n n a 1 2 2 27 n n n a 评注 去倒数后 一般需构造新的等差 比 数列 类型六专项练习题 1 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 1 11 3 2 nn an aa A 3 76 n a n 2 已知数列 满足时 求通项公式 n a2 1 1 na nnnn aaaa 11 2 n a 1 21 n a n 3 已知数列 an 满足 求数列 an 的通项公式 1 13 1 1 1 a a a a n n n 1 32 n a n 4 设数列满足求 n a 2 1 a 1 3 n n n a a a n a 1 2 2 31 n n a 5 已知数列 满足a1 1 求 n a 63 3 1 n n n a a a n a 1 21 n n a 6 在数列中 求数列的通项公式 n a 11 3 2 3 n n n a aa a n a 6 21 n a n 7 若数列 a 中 a 1 a n N 求通项a n11 n 2 2 n n a a n 2 1 n a n 类型七 类型七 nn Sf a 解决方法 1 1 1 2 n nn sn a ssn 例例 1 1 已知数列前 n 项和 n a 2 2 1 4 n nn aS 求与的关系 2 求通项公式 1 1 n a n a n a 解析 时 得 1 11n 111 42asa 1 1a 时 22n 11 23 11 44 22 nnnnn nn assaa 得 1 11 22 nn n aa 2 在上式中两边同乘以得 1 2n 1 1 222 nn nn aa 是以为首项 2 为公差的等差数列 2n n a 数列 1 1 22a 得 22222 n n ann 1 2 n n n a 类型七专项练习题 1 数列 an 的前N项和为Sn a1 1 an 1 2Sn 求数列 an 的通项an nN 1 3n n a 2 已知在正整数数列中 前n项和满足 求数列的通项公式 n a n S 2 1 2 8 nn Sa n a 42 n an 3 已知数列 an 的前n项和为Sn 3n 2 求数列 an 的通项公式 1 1 1 2 3 2 n n n a n 4 设正整数 an 的前n项和Sn 求数列 an 的通项公式 2 1 4 1 n a 1 3n n a 5 如果数列 an 的前n项的和Sn 那么这个数列的通项公式是an 2 3n3 2 3 n a 6 已知无穷数列的前项和为 并且 求的通项公式 n an n S 1 nn aSnN n a 2 n n a 类型八 周期型类型八 周期型 例 1 若数列满足 若 则的值为 n a 1 2 1 12 2 1 0 2 1 nn nn n aa aa a 7 6 1 a 20 a 解析 根据数列的递推关系得它的前几项依次为 n a 我们看出这个数列是一个周期数列 三项为一个周期 6 5 3 6 5 3 6 7 7 7 7 7 7 7 202 5 7 aa 评注 有些题目 表面看起来无从下手 但你归纳出它的前几项后 就会发现规律 出现周 期性 问题就迎刃而解 类型八专项练习题 1 已知数列满足 则 B n a 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 20 a A 0B C D 3 3 2 3 2 在数列中 4 n a 19981221 5 1aaaaaa nnn 求 类型九 利用数学归纳法求通项公式类型九