上海市黄浦区2016届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

黄浦区 2016年高考模拟考 数学试卷 （ 理科 ） （ 2016 年 4 月 ） 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并 在规定的位置书写 ，写在试卷、 草稿纸 上的解答一律无效； 2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息 填写清楚，并贴好条形码 ； 3本试卷共 23道试题，满分 150分；考试时间 120分钟 一、 填空题 (本 大题 满分 56分 )本大题 共 有 14题， 考生应在答题 卷 的 相应编号的空格内直接填写结果， 每 题填对得 4分， 否则一律得零分 1 已知集合 1, 3, 2 1 ，集合 23, 若 ，则实数 m 2 计算：1312 3 函数 3( ) 1f x x的反函数 1() 4 函数 2( ) ( s i n c o s )f x x x的最小正周期为 5 在极坐标系中，直线 ( c o s 2 s i n ) 1 与直线 的夹角大小为 （ 结果用反三角函数值表示 ） 6 已知 菱形 若 | | 1AB3A ，则 向量 的 投影为 7 已知一个凸多面体 的 平面展开图由两个正六边形和六 个正方形构成，如右图所示， 若该凸多面体所有棱长均为 1 ，则其 体积V 8 已知函数 32( ) l g ( 1 )f x x x x ，若 () a 、b 满足 f ( - a ) + f ( - b ) - 3 = f ( a ) + f ( b ) + 3，则 ( ) ( )f a b 9 在代数式 5221( 4 2 5 ) 1xx x 的展开式 中，常数等于 10 若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5 ，最大值为 15 ，则该椭圆的短轴长为 第 7 题 11 有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各 3 个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码1 、 2 和 3 ，现任取出 3 个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12 设离散型随机变量 可能取的值为 1 ， 2 ， 3 ， ()P k ak b （ 1,2,3k ） ， 若 的数学期望 73E，则 13 正整数 a 、 b 满足 1 ， 若关于 x 、 y 的 方程组 2 4 0 3 3 ,| 1 | | | | |x x a x b 有且只有一组解， 则 a 的最 大 值为 14 数列 ， 若 1 0a ， 2 *iN ， 122 ， 1,2,3,k L ），则 满足 2 100 的 i 的最小值为 二、 选择题 (本大 题 满分 20 分 )本大题 共 有 4 题，每 题 有且只有一个 正确 答案 ， 考生应在答题卷 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑， 选对 得 5分，否则一律得零分 15 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 1 1 1 1:0l a x b y c ， 2 2 2 2:0l a x b y c ，那么“ 11220”是“两直线 1l 、 2l 平行”的 答 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D 既 非充分 又 非必要条件 16 复数 （ mR ， i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于 答 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 17 若 三 条边 a ， b ， c 满足 ( ) ( ) ( ) 7 9 1 0a b b c c a ，则 答 ( ) A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 18 若 函数 ( ) l g s i n ( ) s i n ( 2 ) s i n ( 3 ) s i n ( 4 ) f x x x x x 的定义域与区间 0,1 的交集由 n 个开区间组成， 则 n 的值为 答 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 三、 解答题 （ 本大题 满分 74分 ） 本大题 共 有 5题 ，解答下列各题 必须在答题 卷 的相应编号规定区域内 写出必要的步骤 19 （ 本 题满分 12 分 ） 如图， 小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管 考虑到钢管的受力等因素，设计 的 小凳 应 满足： 三根细钢管相交处的节点 P 与凳面圆形的圆心 O 的连线垂直于凳面和地面， 且 P 分细钢管上下两段的比值为 三只凳脚与地面所成的角均 为 60 若 A 、 B 、 C 是 凳面圆周的三等分点， 18米，求凳子 的 高度 h 及 三根细钢管 的总长度 （精确到 20 （ 本题满分 13 分 ） 本题共有 2 个 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分 已知函数 ( ) s i n c o sf x a x b x， 其中 a 、 b 为 非零 实常数 （ 1） 若 24f ， ()0 ，求 a 、 b 的值 （ 2）若 1a ，6x 是 ()求 0x 的值，使其满足 0( ) 3， 且0 0,2 x 21 （ 本题满分 13 分 ） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分 已知函数 2()1x xf x a x ， 其中 1a （ 1）证明：函数 () 1, ) 上为增函数 （ 2） 证明 ： 不存在负 实 数 0x 使得 0( ) 0 A （ 本题满分 18 分 ） 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ，第 3 小题满分 8 分 已知数列 ) ( )na n k n k ，其中 *nN ，1k、2k Z （ 1）试写出一组1k、2得数列 正数 （ 2） 若1 1k， *2k N， 数列 ab n， 且 对任意的 *mN （ 3m ） ，均有3 写出所有满足条件的2 （ 3）若12 数列 |n n nc a a，其前 n 项和为使 0（ i 、 *jN ，）的 i 和 j 有且仅有 4 组 ， 1S 、 2S 、 、 有至少 3 个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求 1k 、2 23 （ 本题满分 18 分 ） 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ， 第 3 小题满分 8 分 对于双曲线( , )221（ ,0），若点00( , )P x 2001，则称 P 在( , )若点00( , )P x 2001，则称 P 在( , ) （ 1）若直线 1y 上点都在(1,1) k 的取值范围 （ 2） 若( , )2,1) ， 圆 2 2 2x y r（ 0r ） 在( , )( , )点 构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求 b 、 r 满足的关系式 及 r 的取值范围 （ 3）若 曲线 2| | 1xy （ 0m ） 上的点都在( , ) m 的取值范围 黄浦区 2016 年高考模拟考 数学试卷 （ 文理 ） 参考答案 一、填空题 (本大题满分 56 分 ) 1 1 2 133 3( 1)x ， xR 4 5 25327 3328 3 9（理） 15（文） 123n 10（理） 10 3（文） 15 11（理） 114（文） 10 3 12 （理） 16（文） 2 13 （理） 2016 （文） 11414 （理） 128（文） 2016 二、选择题 (本大题满分 20 分 ) 15 B 16 D 17 C 18 C 三、解答 题 (本大题满分 74 分 ) 19 (本题满分 12 分 ) 解 联结 由题意， 平面 因为 凳面与地面平行， 所以 就是 平面 成的角，即 60 （ 2 分） 在等边三角形 ， 18， 得 63， （ 4 分） 在直角三角形 ， 3 1 8O P A O， （ 6 分） 由 0 8P ，解得 厘 米 （ 9 分） 三根细钢管的总长度 3 1 6 3 s 0h 厘米 （ 12 分） 20 (本题满分 13 分 )本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分 解 （ 1 ） 因为 22( ) s i n c o s s i n ( )f x a x b x a b x （其中22s ，22c o ）， 所以 ()2 由 22 10 ，（ 2 分） 及 22 24 2 2f a b ， （ 4 分） 解得 1a ， 3b 或 3a ， 1b （ 6 分） （ 2）易知，当6x 时，取得最大值 2 1b 或最小值 2 1b， 于是213 16 2 2f b b ，解得 3b （ 8 分） 于是 ( ) s i n 3 c o s 2 s i n ( )3f x x x x ， （ 10 分） 当 ( ) 3时，解得 2或 23 （ kZ ） （ 12 分） 因为0 0,2 x ，故所求0 ，3， 2 （ 13 分） 21 (本题满分 13 分 )本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分 证明 （ 1） 任取121 ，121212 22( ) ( ) 11x f x a a 1 2 1 21 2 1 21 2 1 22 2 3 ( )( ) ( )1 1 ( 1 ) ( 1 )x x x xx x x xa a a ax x x x （ 3 分） 因为 121 ， 1a ，所以 12， 1 10x ，2 10x ， 120， 于是 120，12123 ( ) 0( 1) ( 1)，得 12( ) ( ) 0f x f x，即 12( ) ( )f x f x 因此，函数 () 1, ) 上为增函数 （ 6 分） （ 2）（反证法）若存在负实数0x（0 1x ） ， 使得0( ) 0即方程 2 01x xa x有负实 数根（ 8 分） 对于 21x xa x ，当0 0x 且0 1x 时，因为 1a ，所以0 110 , , 1xa U，（ 10 分） 而0002 31 ( , 1 ) ( 2 , )11 U（ 13 分） 因此， 不存在负实数01x xa x ，得证 22 (本题满分 18 分 )本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 （理） 解 （ 1 ）1 1k 、2 2k （答案不唯一） （ 4 分） （ 2） 由题设，2 2(1 )nn a kb n （ 6 分） 当2 1k ， 2 时，2() kf n n n均 单调递增，不 合题意 ，因此，2 3k 当2 3k 时 ， 对于2() kf n n n，当2， ()2， () 由题设，有1 2 3b b b，34L （ 8 分） 于是由 23及 43，可解得 26 12k 因此， 2k 的值为 7， 8， 9， 10， 11 （ 10 分） （ 3） 2 , 0 ,| 0 , 0 n a 其中 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )na n k n k n k k n k k ，且 12 当 120 时， 项均为正 数，且单调递增 ， 2， 也 单调递增，不合题意； 当120时，222 , ,0 , n 不合题意； （ 12 分） 于是，有120 ，此时12122 , ,0 , n k o r n n k （ 14 分） 因为 0（ i 、 *jN ， ），所以 i 、12( , )j k k 于是由 21 2 1 2 1 22 2 ( ) ( ) 2 ( ) a n k n k n k k n k k ， 可得1222， 进一步得120 i k k j ， 此时， i 的四个值为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，因此，1 5 （ 16 分） 又1S、2S、 、 个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+ 1 + 2=m m S L，于是有+ 1 + 2= = 0L， 因为当 12k n k 时， 0 ，所以 125 1 2k m m k L ， 因此 ，2 6k ， 即2 （ 18 分） （文） 解 （ 1）设直线 3 1 0 上点的坐标为00( ,3 1)代入 22， 得 2 2 2 2 20 0 0 31( 3 1 ) 8 ( )88x y x x x ， （ 2 分） 对于 xR ， 221 18， 因此，直线 31上的点都在(1,1)（ 4 分） （ 2） 设 点 N 的坐标为00( , )题设 22001 （ 6 分） 2200| | ( 1 )M N x y 由 22001 ，得 2 2 20 0 013| | 1 ( 1 ) 2 ( )22M N y y y u u u ，（ 8分） 对于 0y R ， 有 201 3 62 ( )2 2 2y ，于是 6|2 ， （ 10 分） 因此 ， |最小值为 62 （ 3） 因为 圆 2 2 2x y r和 双曲线( , )以只 需 考虑 这两个曲线在 第一象限 及 x 、 y 轴正半轴 的情况 由题设，圆与双曲线的交点平分 该 圆在第一象限 内 的圆弧， 它们 交点的坐标为22, （ 12 分） 将 22 22入双曲线( , ) 221（ *） ， （ 13 分） 又 因为( , )2,1) ，所以22411， （ 15 分） 将 2224 1ba b 代入 （ *） 式，得 2228 3br b （ 17 分） 由 2223 08rb r ，解得 2 8r 因此， r 的取值范围 为 (2 2, ) （ 18 分） 23 (本题满分 18 分 )本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 （理） 解 （ 1）由题意，直线 1y 上点00( , 1)x 满足 221， 即求不等式2200( 1) 1x 的解为一切实数时 k 的取值范围 （ 1 分） 对于 不等式 2200(1 ) 2 2 0k x k x ， 当 1k 时，不等式的解集不为一切实数， （ 2 分） 于是有 2221 0 ,4 8 (1 ) 0 , 解得 | | 2k 故 k 的取值范围为 ( , 2 ) ( 2 , ) U （ 4 分） （ 2） 因为 圆 2 2 2x y r和 双曲线( , )称，所以只 需 考虑 这两个曲线在 第一象限 及 x 、 y 轴正半轴 的情况 由题设 ，圆与双曲线的交点平分 该 圆在第一象限 内 的圆弧， 它们 交点的坐标为 22, 将 22 22入双曲线( , ) 221（ *） ， （ 6 分） 又 因为( , )2,1) ，所以22411， （ 7 分） 将 2224 1ba b 代 入 （ *） 式，得 2228 3br b （ 9 分） 由 2223 08rb r ，解得 2 8r 因此， r 的取值范围为 (2 2, ) （ 10 分） （ 3） 由 2| | 1xy ，得 1| | | |y m x x 将 1| | | |y m x x代入 221， 由题设，不等式22221| 1mx 对任意非零实数 x 均成立 （ 12 分） 其中22 2 2 2 22 2 2 2 21| 1 ( ) 2 mx b a m x a ma b a b x 令 2， 设 22 2 2 2( ) ( ) 2af t b a m t a ，（ 0t ） 当 2 2 2 0b a m时，函数 () (0, ) 上 单调递增， ( ) 1不恒成立； （ 14 分） 当 2 2 2 0b a m时， 22 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )ab a m t a m b ， 函数 ()最大值为 2 2 2 2 22 ( ) 2a m b a a m ， 因为 0m ，所以 2 2 2 2 2222 ( ) 2 01a m b a a ； （ 1