高三下学期月考试卷（理）1

2018 届高三下学期月考试卷 理 一 选择题 1 若集合 则中元素的个数 2 60 Ax xxxN 4 xNxA x A 3 个 B 4 个 C 1 个 D 2 个 2 已知复数 则 1 iz 2 1z z A B C D 1 2 1 2 1 i 2 1 i 2 3 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此将他们随机编号为 1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到的 32 人中 编号落入区间 1 450的人做问卷A 其余的人做问卷B 则抽到的人中 做问卷B的人 数为 A 15 B 16 C 17 D 18 4 已知直线0 cbyax与圆相交于 两点 且 则 22 1O xy AB3AB OBOA 的值是 A 0 B 1 2 C 3 4 D 1 2 5 执行图中的程序框图 若输出的 则输入整数的最大值是 5n p A 15 B 14 C 7 D 6 6 一个几何体的三视图如图所示 其中主视图和左视图是腰长为 2 的两个全等的等腰直 角三角形 若该几何体的所有顶点在同一球面上 则该球的表面积是 A B C D 32 3 4 3 48 12 7 已知等比数列 n a的首项 公比为 1 2 q 记 123nn ba a aa 则 n b达到 1 2015a 最大值时 n的值为 A 10 B 11 C 12 D 13 8 设 m n是两条不同直线 是两个不同的平面 下列命题正确的是 A mnmn 且则 B mn 且 则mn C mnmn 则 D mnmn 则 9 若将函数表示为 其中 5 f xx 25 0125 1 1 1 f xaaxaxax 0 a 为实数 则 1 a 2 a 5 a 3 a A B C D 55 1010 10 已知 是双曲线的左 右焦点 点 2 F关于渐近线的 1 F 2 F 22 22 1 0 0 xy ab ab 对称点恰好落在以 1 F为圆心 1 OF为半径的圆上 则双曲线的离心率为 A 3 B 3 C 2 D 2 11 已知函数 2 21 20 3 0 axxx f x axx 有 3 个零点 则实数a的取值范围是 A 3 1 4 B C D 1 1 4 0 1 1 12 设数列 n a的前n项和为 n S 且 12 1aa 2 nn nSna 为等差数列 则 n a A 1 2n n B 1 1 21 n n C 21 21 n n D 1 1 2n n 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 13 已知向量 若 则实数 的值为 1 a 2 1 b abab 14 设等差数列 n a的前n项和为 n S 且满足 若 2 nn aSAnBnC 5A 则 1C B 15 已知 若 3 sincos 3 则cos2 2 16 已知函数 11 2 lnf xx g xx 对于任意 1 2 m 都存在 0 n 使 得 f mg n 则nm 的最小值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 如图所示 在四边形中 为边上一点 ABCDEADABDA 7CE 2 3 ADC 1DE 2EA 3 BEC 1 求 sin CED 的值 2 求 BE 的长 18 本小题满分 12 分 已知四棱锥PABCD 中 平面 底面ABCD是边长为a的菱形 PAABCD 120BAD PAb 1 求证 平面平面 PBD PAC 2 设AC与BD交于点O M为OC中点 若二面角OPMD 的正切值为2 6 求 a b的值 19 本小题满分 12 分 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了甲 乙两种抽奖方案 方案甲的中奖率为 中奖 2 3 可以获得 2 分 方案乙的中奖率为 中奖可以获得 3 分 未中奖则不得分 每人有且只有 2 5 一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为 X 求 X 3 的概 率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 分别求两种方案下小明 小红累计得分的分布列 并指出他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 20 本小题满分12分 已知为椭圆上的一个动点 弦 别过焦点 当A 0 1 2 2 2 2 ba b y a x ABAC 1 F 2 F 垂直于轴时 恰好有 ACx 1 2 3 AF AF 1 求椭圆离心率 2 设 试判断是否为定值 若是定值 求出该定值并证明 111222 AFFBAFF C 21 若不是定值 请说明理由 21 本小题满分共 12 分 已知函数 32 4f xxax a R 若函数 xfy 的图象在点处的切线的倾斜角为 4 求 f x在 1 1 上的 1 1Pf 最小值 若存在 0 0 x 使0 0 xf 求的取值范围 a 22 在直角坐标系中 以原点为极点 轴的正半轴为极轴建坐标系 已知曲线x 已知过点的直线 的参数方程为 2 sin2 cos 0 Caa 2 4 P l 为参数 直线 与曲线分别交于 两点 2 2 2 2 4 2 xt yt tlCMN 1 写出曲线和直线 的普通方程 Cl 2 若成等比数列 求的值 PMMNPNa 23 已知函数 21 23 f xxx 1 求不等式的解集 6 xf 2 若关于 x 的不等式的解集非空 求实数的取值范围 1 axfa 参考答案 一 选择题 题号1234567891011 12 答案ABCDADBBCCA A 二 填空题 13 1 14 16 15 5 3 16 1 三 解答题 17 解 证明 1 设 在中 由余弦定理 得CED CED 2 分 222 2cosCECDDECDDECDE 得 CD2 CD 6 0 解得 CD 2 CD 3 舍去 4 分 在中 由正弦定理 得 6 分CED 21 sin 7 CED 2 由题设知 所以 8 分 而 0 3 2 7 cos 7 2 3 AEB 所以 22213 coscos coscossinsin cossin 33322 AEB 10 分 在中 12 12 73217 272714 Rt EAB 2 4 7 cos BE AEB 分 18 解 1 因为 PA 平面 ABCD 所以 PA BD 1 分 又 ABCD 为菱形 所以 AC BD 2 分 又 3 分 所以 BD 平面PAACC PAC 4 分 又平面 PBD 5 分 从而平面 PBD 平面 PAC 6 分BD 2 方法 1 过 O 作 OH PM 交 PM 于 H 连 HD 因为 DO 平面 PAC 可以推出 DH PM 所以 OHD 为 O PM D 的平面角 8 分 又 33 244 aa ODa OMAM 且 OHAP OMPM 10 分 从而 2 2 2 2 4 1 9 16 69 ab OH b a a ab b 11 22 3 169 tan2 6 2 baOD OHD OHb 所以 22 916ab 即 4 3 a b M O D A C B P H 法二 如图 以A为原点 AD AP所在直线为y轴 z轴建立空间直角坐标系 0 0 0 0 Pb Da 3 33 0 88 Maa 31 0 44 Oaa 8 分 y z x M O D A C B P 从而 3 33 0 88 PDab PMaab 33 0 44 ODaa 9 分 因为 BD 平面 PAC 所以平面 PMO 的一个法向量为 33 0 44 ODaa 10 分 设平面 PMD 的法向量为 nx y z 由 PDn PMn 得 3 33 0 0 88 PD naybzPM naxaybz 取 5 3 3 xb yb za 即 5 3 3 nb b a 11 分 设OD 与n 的夹角为 则二面角OPMD 大小与 相等 从而tan2 6 得cos 1 5 22 53 1 124 cos 5 52 12 427 abab OD n ODna ba 从而43ba 即 4 3a b 19 解 1 由已知得 小明中奖的概率为 小红中奖的概率为 且两人中奖与否互不影 2 3 2 5 响 记 这 2 人的累计得分 X 3 的事件为 A 则事件 A 包含有 X 0 X 2 X 3 三个两两互斥的事件 因为 P X 0 1 1 P X 2 1 2 3 2 5 1 5 2 3 2 5 2 5 P X 3 1 所以 P A P X 0 P X 2 P X 3 2 3 2 5 2 15 11 15 即这 2 人的累计得分 X 3 的概率为 11 15 2 设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1 都选择方案乙所获得的累计得分为 X2 则 X1 X2的分布列如下 X1024 P 1 9 4 9 4 9 X2036 P 9 25 12 25 4 25 所以 E X1 0 2 4 1 9 4 9 4 9 8 3 E X2 0 3 6 因为 E X1 E X2 9 25 12 25 4 25 12 5 所以他们都选择方案甲进行投资时 累计得分的数学期望较大 20 解 1 当 AC 垂直于 x 轴时 a b AF 2 2 故13 21 AFAF a b AF 2 1 3 a a b 2 4 2 22 2ba 22 cb 2 2 e 2 由 1 得椭圆的方程为 焦点坐标为 222 22byx 0 0 21 bFbF 当弦 AC AB 的斜率都存在时 设 221100 yxCyxByxA 则 AC 所在的直线方程为 0 0 bx bx y y 代入椭圆方程得0 2 23 2 0 2 00 2 0 2 ybybxbyybxb 0 2 2 0 2 20 23bxb yb yy CFAF 222 b xb y y 0 2 0 2 23 同理 b xb 0 1 23 6 21 当 AC 垂直于 x 轴时 则 这时 21 32 1 5 bb b 6 21 当 AB 垂直于 x 轴时 则 这时 5 1 21 6 21 综上可知是定值 21 21 解 1 23 2 axxxf 根据题意 1 tan1 321 2 4 faa 即 此时 32 24f xxx 则 2 34fxxx 令 12 4 00 3 fxxx 得 x 1 1 0 0 0 1 1 fx 7 0 1 f x1 4 3 当 1 1x 时 f x最小值为 04f 2 3 2 3 a xxxf 若0 0 0 0 axfxf x 当时在 上单调递减 又 0 4 0 4 fxf x 则当时 00 0 0 0 axf x 当 时不存在使 若 22 0 0 0 0 33 aa axfxxfx 则当时当时 从而 xf在 0 2 3 a 上单调递增 在 2 3 a 上单调递减 4 27 4 4 9 4 27 8 3 2 0 333 max aaaa fxfx时当 根据题意 3 3 4 40 27 3 27 a aa 即 22 解 1 根据极坐标与