高中竞赛平面几何题

高中数学竞赛高中数学竞赛 平面几何证明方法选讲平面几何证明方法选讲 第一题 证明角平分第一题 证明角平分 4 4 第二题 证明四点共圆第二题 证明四点共圆 5 5 第三题 证明角的倍数关系第三题 证明角的倍数关系 6 6 第四题 证明线与圆相切第四题 证明线与圆相切 7 7 第五题 证明垂直第五题 证明垂直 8 8 第六题 证明线段相等第六题 证明线段相等 9 9 第七题 证明线段为比例中项第七题 证明线段为比例中项 1010 第八题 证明垂直第八题 证明垂直 1111 第九题 证明线段相等第九题 证明线段相等 1212 第十题 证明角平分第十题 证明角平分 1313 第十一题 证明垂直第十一题 证明垂直 1414 第十二题 证明线段相等第十二题 证明线段相等 1515 第十三题 证明角相等第十三题 证明角相等 1616 第十四题 证明中点第十四题 证明中点 1717 第十五题 证明线段的二次等式第十五题 证明线段的二次等式 1818 第十六题 证明角平分第十六题 证明角平分 1919 第十七题 证明中点第十七题 证明中点 2020 第十八题 证明角相等第十八题 证明角相等 2121 第十九题 证明中点第十九题 证明中点 2222 第二十题 证明线段相等第二十题 证明线段相等 2323 第二十一题 证明垂直第二十一题 证明垂直 2424 第二十二题 证明角相等第二十二题 证明角相等 2525 第二十三题 证明四点共圆第二十三题 证明四点共圆 2626 第二十四题 证明两圆相切第二十四题 证明两圆相切 2727 第二十五题 证明线段相等第二十五题 证明线段相等 2828 第二十六题 证明四条线段相等第二十六题 证明四条线段相等 2929 第二十七题 证明线段比例等式第二十七题 证明线段比例等式 3030 第二十八题 证明角的倍数关系第二十八题 证明角的倍数关系 3131 第二十九题 证明三线共点第二十九题 证明三线共点 3232 第三十题 证明平行第三十题 证明平行 3333 第三十一题 证明线段相等第三十一题 证明线段相等 3434 第三十二题 证明四点共圆第三十二题 证明四点共圆 3535 第三十三题 证明三角形相似第三十三题 证明三角形相似 3636 第三十四题 证明角相等第三十四题 证明角相等 3737 第三十五题 证明内心第三十五题 证明内心 3838 第三十六题 证明角平分第三十六题 证明角平分 3939 第三十七题 证明垂直第三十七题 证明垂直 4040 第三十八题 证明面积等式第三十八题 证明面积等式 4141 第三十九题 证明角平分第三十九题 证明角平分 4242 第四十题 证明角相等第四十题 证明角相等 4343 第四十一题 证明中点第四十一题 证明中点 4444 第四十二题 证明中点第四十二题 证明中点 4545 第四十三题 证明角相等第四十三题 证明角相等 4646 第四十四题 证明垂直第四十四题 证明垂直 4747 第四十五题 证明角相等第四十五题 证明角相等 4848 第四十六题 证明垂直第四十六题 证明垂直 4949 第四十七题 证明四点共圆第四十七题 证明四点共圆 5050 第四十八题 证明四点共圆第四十八题 证明四点共圆 5151 第四十九题 证明四点共圆第四十九题 证明四点共圆 5252 第五十题 证明角平分第五十题 证明角平分 5353 第五十一题 证明线段相等第五十一题 证明线段相等 5454 第五十二题 证明两圆外切第五十二题 证明两圆外切 5555 第五十三题 证明垂直第五十三题 证明垂直 5656 第五十四题 证明垂直第五十四题 证明垂直 5757 第五十五题 证明垂直第五十五题 证明垂直 5858 第五十六题 证明垂直第五十六题 证明垂直 5959 第五十七题 证中点第五十七题 证中点 6060 第五十八题 证明角相等第五十八题 证明角相等 6161 第五十九题 证明角相等第五十九题 证明角相等 6262 第六十题 证明四点共圆第六十题 证明四点共圆 6363 第六十一题 证明四点共圆第六十一题 证明四点共圆 6464 第六十二题 证明四点共圆第六十二题 证明四点共圆 6565 第六十三题 证明角相等第六十三题 证明角相等 6666 第六十四题 证明角的倍数关系第六十四题 证明角的倍数关系 6767 第六十五题 证明中点第六十五题 证明中点 6868 第六十六题 伪旁切圆第六十六题 伪旁切圆 6969 第六十七题 证明垂直第六十七题 证明垂直 7070 第六十八题 证明平行第六十八题 证明平行 7171 第六十九题 证明圆心在某线上第六十九题 证明圆心在某线上 7272 第七十题 证明三线共点第七十题 证明三线共点 7373 第七十一题 证明垂直第七十一题 证明垂直 7474 第七十二题 证明垂直第七十二题 证明垂直 7575 第七十三题 证明中点第七十三题 证明中点 7676 第七十四题 证明垂直第七十四题 证明垂直 7777 第七十五题 证明垂直第七十五题 证明垂直 7878 第七十六题 证明三线共点第七十六题 证明三线共点 7979 第七十七题 证明平行第七十七题 证明平行 8080 第七十八题 证明平行第七十八题 证明平行 8181 第七十九题 证明三线共点 证明垂直第七十九题 证明三线共点 证明垂直 8282 第八十题 证明三点共线 牛顿定理 第八十题 证明三点共线 牛顿定理 8383 第八十一题 证明角平分第八十一题 证明角平分 8484 第八十二题 证明角相等第八十二题 证明角相等 8585 第八十三题 证明三点共线第八十三题 证明三点共线 8686 第八十四题 证明四圆共点第八十四题 证明四圆共点 8787 第八十五题 证明角平分第八十五题 证明角平分 8888 第八十六题 证明线段相等第八十六题 证明线段相等 8989 第八十七题 证明角相等第八十七题 证明角相等 9090 第八十八题 证明线段相等第八十八题 证明线段相等 9191 第八十九题 证明线段相等第八十九题 证明线段相等 9292 第九十题 证明线段相等第九十题 证明线段相等 9393 第九十一题 证明中点第九十一题 证明中点 9494 第九十二题 证明四点共圆第九十二题 证明四点共圆 9595 第九十三题 证明西姆松定理及逆定理第九十三题 证明西姆松定理及逆定理 9696 第九十四题 证明线段的和差关系等式第九十四题 证明线段的和差关系等式 9797 第九十五题 证明角相等第九十五题 证明角相等 9898 第九十六题 证明托勒密定理及逆定理第九十六题 证明托勒密定理及逆定理 9999 第九十七题 证明线段的和差关系等式第九十七题 证明线段的和差关系等式 100100 第九十八题 证明角相等第九十八题 证明角相等 101101 第九十九题 证明四点共圆第九十九题 证明四点共圆 102102 第一百题 证明两三角形共内心第一百题 证明两三角形共内心 103103 第一题 证明角平分第一题 证明角平分 已知 是 的切线 是一组对径点 交 于另一点 直线 交于PEPFOABPBOCAFBE 点 求证 DPCEPCD C D A F E O P B 第二题 证明四点共圆第二题 证明四点共圆 如图 是 的直径 是圆上异于 且在同侧的两点 分别过 作 的切ABOCDABABCDO 线 它们交于点 线段与的交点为 线段与的交点为 求证 四点EADBCFABEFMECMD 共圆 M FD C A O E B 第三题 证明角的倍数关系第三题 证明角的倍数关系 如图 是以为直径圆的切线 是切点 交圆于点 交于点 PEPFABEFPBCAFBED 是直径 求证 ABACDDPE 2 C D FE A O P B 第四题 证明线与圆相切第四题 证明线与圆相切 已知 中 切 交延长线于 是关于的对称点 ABC 90AADABCADBCDEABC 于 是中点 延长交 于 求证 切外接圆 BEAY YXAYBXABCJBDAJD F J X Y E DB O C A 第五题 证明垂直第五题 证明垂直 已知四边形内接于以为直径的圆 设为关于为对称点 是关于对称点 ABCDBD AABD BBAC 直线交于 直线交于 求证 AC DBQDB CAPACPQ P Q B A D O B A C 第六题 证明线段相等第六题 证明线段相等 已知 是 切线 是切点 是割线 在圆上 离较近 BCBDOCDBJAAJJB 于 交于 交于 求证 AODE EABFACDEGFGDF G F E J D C O B A 第七题 证明线段为比例中项第七题 证明线段为比例中项 已知中 是的中点 经过点 且与有相同的内心 ABC BCAC MABFGMCFG ABC 求证 GMFMAM 2 G M B A C F 第八题 证明垂直第八题 证明垂直 已知 为非直角三角形 平分 在上 于 于 ABC ADBAC DBCACDF FABDE E 交于 求证 CEBFPBCAP H P F E D A B C 第九题 证明线段相等第九题 证明线段相等 过圆外一点作圆的两条切线 切点分别为 过劣弧上一点作圆的另一OPOPCPDCDCDEO 条切线分别交 于 连结交于点 连结交于点 PCPDABOECDNPNABM 求证 MBMA MN B A C D O P E 第十题 证明角平分第十题 证明角平分 已知 是 切线 是过的切线 分别在 上 于 连接PAPBODECDEAPPBABCF F 求证 DFEFEFCDFC F E D BA O P C 第十一题 证明垂直第十一题 证明垂直 设是圆的割线 是切线 是圆的直径 相交于 求证 PABOPCCDODBOPECEAC E A D O B C P 第十二题 证明线段相等第十二题 证明线段相等 设 是以为圆心为直径的半圆上两点 过做圆的切线交于 直线交直线 CDOABBOCDPPOCA 分别于 求证 ADEFOFOE E F P AO B D C 第十三题 证明角相等第十三题 证明角相等 如图 中 分别为 上一点 且 交于点 的外ABC DEABACBCDE BECDFBDF 接圆 与的外接圆 交于点 求证 OCEF PGCAGBAF G P O F E A B C D 第十四题 证明中点第十四题 证明中点 如图 交于 两点 延长线交于点 分别切 于 OPABBOPACCDCEOPD 连接交于 求证 为中点 EDEABFFDE F E D C B A O P 第十五题 证明线段的二次等式第十五题 证明线段的二次等式 如图 半径不相等的两圆 交于 两点 过的直线分别交 于 OPABACDOPCD 延长线交 于 延长线交 于 过作垂线交中垂线于 求证 CBPFDBOEACDEFG ADACEGAG 22 G E F D B A O P C 第十六题 证明角平分第十六题 证明角平分 如图 内接于 为中点 交 于 过作 交 于 过作ABC ODBCADOEEBCEF OFC 交于 求证 ACCG AEGFGCAGC G FE D O A BC 第十七题 证明中点第十七题 证明中点 如图 内切圆 切于 过作交于 过作 切线 分别交 ABC IBCDIADIE BCEEIAB 于 求证 为中点 ACFGEFG G F E C A B I D 第十八题 证明角相等第十八题 证明角相等 如图 如图 交于 两点 它们的外公切线分别切 Q 于 为PQABCDPCDE 延长线上一点 交 于 交 于 平分交于 求证 BAECPFEDQGAHFAG FGH GDHFCH H G F B A Q DC P E 第十九题 证明中点第十九题 证明中点 如图 为外接圆 分别为的内心和一个旁心 的外角平分线交延OABC IEABC BAC BC 长线于 于 交 于 求证 为中点 DDEIF FOGGIF G F E I D O B C A 第二十题 证明线段相等第二十题 证明线段相等 如图 在锐角中 是的中点 是高 分别是 的ABC CB FBCBECDGHFDFE 中点 若过且平行于的直线交于 求证 ABCGHIIFIA I H G D E F B A C 第二十一题 证明垂直第二十一题 证明垂直 如图 是边上一点 过点 分别交 于 直DABC BCABDDAC OBDABADEF 线交于 是中点 求证 BFDEGMAGAOCM M G F O A B C D E 第二十二题 证明角相等第二十二题 证明角相等 如图 如图 为 直径 分别切 于 割线交 于 CDOPCPEOCEPBAOABAC 交于点 交于 求证 BDFDEABGADEGFE G F B E D O C P A 第二十三题 证明四点共圆第二十三题 证明四点共圆 如图 为外心 分别为 上一点 于 分别为 OABC DEABACDEOF FLMNDE 中点 求证 四点共圆 BECDFLMN F N M L O A BC D E 第二十四题 证明两圆相切第二十四题 证明两圆相切 如图 内切圆 切于 于 为中点 交 于 作的ABC IBCDBCAE EFAEDFIGBCG 外接圆 求证 相切于点 OOIG O G F E D I A B C 第二十五题 证明线段相等第二十五题 证明线段相等 如图 内接于 内切圆 分别切 于 交 于 连接 延长ABC OIABACJKAOODDI 到 使得 过作的垂线交延长线于 求证 CAFBJAF FDIBAGCKAG G D O J K I A B C F 第二十六题 证明四条线段相等第二十六题 证明四条线段相等 如图 为外接圆 平分交 于 交于 交OABC ADBAC ODBDOE ABECDOF 于 为垂心 交于 求证 ACFHABC ADHG BCGCFGFGEBE G H F E D O A B C 第二十七题 证明线段比例等式第二十七题 证明线段比例等式 如图 四边形中 外接圆 交于 外接圆 交于 ABCDACAB ABD 1 OACFACD 2 OABE 交于点 求证 BFCEG CD BD CG BG G E O2 F O1 A D B C 第二十八题 证明角的倍数关系第二十八题 证明角的倍数关系 如图 为外心 为内一点 使得 为中OABC DABC DCBDAB DCBDAC EAD 点 过作交延长线于 连接 求证 EADEF CBFFAFDFOOFCAFD 2 O E F A C D B 第二十九题 证明三线共点第二十九题 证明三线共点 如图 的内接四边形 交于点 交于点 的外接圆 OABCDABDCEADBCFEFC 交 于 交于 交 于 求证 三线共点 POGAGEFHHCOIAIGCFE N I H G P E C D B O F A 第三十题 证明平行第三十题 证明平行 如图 中 为中点 为外心 为垂心 分别为 上一点 使得ABC DBCOHEFABAC 且 三点共线 为外心 求证 AFAE DHEPAEF HDOP P E F H O D A B C 第三十一题 证明线段相等第三十一题 证明线段相等 如图 四边形内接于 为四边形内一点 使得 过ABCDOEECOEAB EDCEBA 点的直线平分 交 于 两点 求证 EFGBEC OFGEGEF G F O A B C D E 第三十二题 证明四点共圆第三十二题 证明四点共圆 如图 在中 是三条高线 点为内部一点 关于 ABC ADBECFPABC PBCCA 的对称点分别为 线段的中点为 求证 四点共圆的充要条件ABLMNAPGDEGF 为 四点共圆 AMLN GM L N D F E A B C P 第三十三题 证明三角形相似第三十三题 证明三角形相似 如图 半径分别为 交于 两点 为平面上一点 切 1 O 2 O 1 r 2 r 1 O 2 OABPPC 于 切 于 且 求证 1 OCPD 2 OD 2 1 r r PD PC PCA PBD C D B A O1 O2 P 第三十四题 证明角相等第三十四题 证明角相等 如图 平行四边形中 为上一点 使得 交外接圆 于 ABCDEBDACDECB ACABD OF 连接 求证 EFAFDBFE E C A O F D B 第三十五题 证明内心第三十五题 证明内心 如图 是内心 为中点 为弧中点 中点为 中点为 交IABC EBCFBCEFNBIMMN 于 连接 求证 为内心 BCDADMABD D N M E F I O A BC 第三十六题 证明角平分第三十六题 证明角平分 如图 为的外接圆 平分交 于 为的垂心 于 OABC AFBAC OFHABC ABCE E 于 的外接圆 交 于 交于 求证 平分 ACBD DADE POGGFBCIIHBHC I G P D E H F O A B C 第三十七题 证明垂直第三十七题 证明垂直 在中 为外心 三条高 交于点 直线和交于点 直线和ABC OADBECFHEDABMFD 交于点 求证 1 2 3 ACNDFOB DEOC MNOH H N F M D E O C B A 第三十八题 证明面积等式第三十八题 证明面积等式 如图 和均为等腰直角三角形 连接 取的中点ABC ADE 90AEDBACBDCECE 连接 求证 FDFBF BDF S ACEADEABC SSS 3 2 1 F D C A B E 第三十九题 证明角平分第三十九题 证明角平分 如图 中 旁切圆 分别切 延长线于 旁切圆 分别切 延长线ABC PCBCADEQBCBA 于 分别交于 交于点 求证 平分 FGDEFGPQMNBNCMLALBAC L N M G F Q E D P A BC 第四十题 证明角相等第四十题 证明角相等 如图 平行四边形中 分别为 上一点 交于点 的外接ABCDEFADCDAFCEGAEG 圆 与的外接圆 交于点 连接 求证 OCFG PHBGDHHDAGBA H P O G D A B C F E 第四十一题 证明中点第四十一题 证明中点 如图 分别切 于 为 一条割线 过作 交于 交PAPBOABPCDOCPBCF ABE 于 求证 为中点 BDFECF E F C B A O D P 第四十二题 证明中点第四十二题 证明中点 如图 为垂心 为中点 过作分别交 于 求证 为HABC DBCHDHEF ABACEFH 中点 EF F E D H A B C 第四十三题 证明角相等第四十三题 证明角相等 如图 锐角中 且 在边上 满足 若在内存在点满ABC ACAB DEBCCEBD ABC P 足 且 求证 AEPD EACPAB PCAPBA P A B C DE 第四十四题 证明垂直第四十四题 证明垂直 如图 为半圆的直径 在圆上 是延长线上一点 切 于 平ABOABOC CPBAPDODPE 分 分别交 于 求证 DPB ACBCEF 90EOF F E D C AO B P 第四十五题 证明角相等第四十五题 证明角相等 如图 为 的切线 为 的割线 于点 的外接圆与的另一个交PAOPBCOOPAD DADC BC 点为 求证 EACBBAE E I D P O A C B 第四十六题 证明垂直第四十六题 证明垂直 如图 平行四边形中 于 于 交于 求证 ABCDABCE EADCF FEFBDG ACGC G E F D A B C 第四十七题 证明四点共圆第四十七题 证明四点共圆 如图 内接于 于 交于 为中点 交于 ABC OBCAD DADCOEFAEFOBCH 于 求证 四点共圆 AOCG GBHOG G H F E D O C B A 第四十八题 证明四点共圆第四十八题 证明四点共圆 如图 是内心 关于的对称点是 为中点 为中点中点为 IABC ABIKEBCFBCEFN 中点为 交于 求证 四点共圆 BIMMNBCDAKDM D M N F E K I O A BC 第四十九题 证明四点共圆第四十九题 证明四点共圆 如图 为的垂心 为中点 于 证明 四点共圆 HABC DCHADBE EBCEH E D H A B C 第五十题 证明角平分第五十题 证明角平分 已知 内心为 圆与边 相切 圆过 且 外切与点 求证 ABC I 1 OABBC 2 OAC 1 O 2 OM 的平分线过点 AMC I I C A M O1 B O2 第五十一题 证明线段相等第五十一题 证明线段相等 如图 为外接圆 为弧中点 为弧中点 于 连接 过OABC DBACEBCABCF FEF 作交延长线于 求证 FEFFG DAGCDCG G F E D O A B C 第五十二题 证明两圆外切第五十二题 证明两圆外切 如图 如图 为 上三点 过作交延长线于 过作交ABCOCACDC ABDDAODE 于 交于 过 三点的圆为 过 三点的圆为 求证 OFACEBEFPCDFQ 与 外切于点 PQF Q P B F E O AC D 第五十三题 证明垂直第五十三题 证明垂直 如图 如图 中 分别为 中点 过作交于 ABC DEFBCCAABEACEM ADM 过作交于 交于点 交于点 求证 FABFN ADNEMFNOCMBNKAKOK K O N M D E F A B C 第五十四题 证明垂直第五十四题 证明垂直 如图 中 为中点 过 两点 且切于 延长交 于 延长ABC DBCOACDAABAOECE 线交于 求证 DAFBCFO F E O D A B C 第五十五题 证明垂直第五十五题 证明垂直 如图 为 直径 切 于 为弧上任一点 交 于 交于点ABOCBOBDABCDOFADOC 连接 证明 EEBFBFBEB E D A O B C F 第五十六题 证明垂直第五十六题 证明垂直 如图 正方形与正方莆 交于 交于 交于 交ABCDEFGHEFABJFGBCKGHCDLHE 于 求证 DAIJLIK L K J I B D C F H EG A 第五十七题 证中点第五十七题 证中点 如图 分别切 于 两点 为劣弧上一点 交于 过点的切线分PAPBOABCABOCABDC 别交 于 交于 求证 为中点 PAPBEFPDEFGGEF G E F D BA O P C 第五十八题 证明角相等第五十八题 证明角相等 如图 交于 两点 它们的外公切线分别切 于 为延长PQABCDPQCDEBA 线上一点 交 于 交 于 分别交 于 求证 ECPFEDQGFGQPMN GDNFCM N M G F D C B A P Q E 第五十九题 证明角相等第五十九题 证明角相等 如图 等腰中 为中点 为上一点 使得 于ABC ACAB EACDBCCDBD2 BEDF 连结 求证 FCFABCEFC F D E C A B 第六十题 证明四点共圆第六十题 证明四点共圆 如图 中 分别为 上一点 且 交于点 ABC DEABACBCDE BECDF 分别为 外心 求证 四点共圆 OPQRADF AEF BDF CEF OPQR P O Q R F E A B C D 第六十一题 证明四点共圆第六十一题 证明四点共圆 如图 旁切圆 分别切 于 分别交于 ABC IBCABACDEFEDFDAIMN 为中点 为在上的垂足 求证 四点共圆 GBCHABCGNHM H G N M D F E I A BC 第六十二题 证明四点共圆第六十二题 证明四点共圆 如图 四边形内接于 交于点 交于点 点为中点 ABCDOABDCEADBCFGEF 交 于 求证 四点共圆 AGOKCKFE K G E C D B O F A 第六十三题 证明角相等第六十三题 证明角相等 如图 为半 直径 于 于 分别为半 的两条切线 ABOABCA AABDB BECEDO 于 连接 求证 CDOF FEFFOBEFD F E A O B C D 第六十四题 证明角的倍数关系第六十四题 证明角的倍数关系 如图 分别切 于 为延长线上一点 的外接圆 交 于 ABACOABDABADC POE 于 求证 CDBF FADCDEF 2 F E P C B O A D 第六十五题 证明中点第六十五题 证明中点 如图 在 中 直径垂直于弦 是的中点 的延长线交 于点 交OABCDEOCAEOFDF 于点 求证 是的中点 BCGGBC G F E B A O C D 第六十六题 伪旁切圆第六十六题 伪旁切圆 如图 外接圆为 内切圆 分别切三边于 与 外切于 且分别切ABC OIDEFPOJ 于 连接并延长交 于 求证 且 ABACGHADPKAKAJ CADBAJ K F E D I H G P O A B C J 第六十七题 证明垂直第六十七题 证明垂直 如图 为外接圆 分别为 中点 为垂心 延长线交 于OABC DEABACHABC DHO 延长线交 于 交于点 连接 求证 FEHOGDEGFIAIAOAI F G H I E D O A BC 第六十八题 证明平行第六十八题 证明平行 如图 内接于 平分线交 于 分别为 上ABC OBCAC ACB CHOHEFACBC 一点 交于 的外接圆 交 于 交 于 求证 ABEF EFCHKEFH POGGKOD ABCD D G P K F H O C AB E 第六十九题 证明圆心在某线上第六十九题 证明圆心在某线上 如图 交于 两点 过的直线依次交 于 过的直线信用证次交 于OPABOPCDPO 若 四点共圆 求证 1 四边形的外接圆圆心在直线上 2 EFCEDFCEDFAB 三线共点 ABCDEF C E B A O P D F 第七十题 证明三线共点第七十题 证明三线共点 如图 中 为上一点 分别为和内心 以为圆心 为半径作ABC DBCEFABD ACD EED 以为圆心 为半径作 与 交于点 分别交 于 EFFDFEFGEABBCJK 分别交 于 求证 三线共点 FACBCMNJKMNGD L J M NK G F E A B C D 第七十一题 证明垂直第七十一题 证明垂直 如图 中 是的三条高线 为的垂心 为的外心 ABC ADBECFABC HABC OABC 交于 交于 求证 EDABMFDACNMNOH O M N F H E D A B C 第七十二题 证明垂直第七十二题 证明垂直 如图 四边形中 交于点 分别为 中点 分别为ABCDACBDGEFABCDHI 和的垂心 求证 AGD BGC HIEF I H G E F D AB C 第七十三题 证明中点第七十三题 证明中点 如图 中 为外心 为垂心 于 于 交于 ABC OHACBD DABCE EOHAG DEF 交于 求证 为中点 BCGFAG F G E D H O A BC 第七十四题 证明垂直第七十四题 证明垂直 如图 平行四边形中 交于点 于 于 交延ABCDACBDOBDCE EACDF FFEBA 长线于 求证 GADGO G F E O DA B C 第七十五题 证明垂直第七十五题 证明垂直 如图 中 分别 上一点 交于点 的外ABCRt 90BACEDABACBDCEFABC 接圆 交的外接圆 于 求证 OAED PGGFAG F G P B O C A D E 第七十六题 证明三线共点第七十六题 证明三线共点 如图 中 分别为 上一点 且 交于一点 ABC DEFBCCAABADBECFPG 分别为 中点 分别为 中点 求证 HIBCCAABJKLDEEFFDGKHL 三线共点 IJ L K J G H I F P A B C D E 第七十七题 证明平行第七十七题 证明平行 如图 五边形中 交于点 分别为 中ABCDEDEAB BCAE BDCEPMNBECD 点 连接 求证 MNAPMN N M P A B C D E 第七十八题 证明平行第七十八题 证明平行 如图 四边形中 分别为 中点 为平面上一点 使得 ABCDEFADBCGCDBG 交于点 求证 ABCG ACBDHGHEF G H F E A BC D 第七十九题 证明三线共点 证明垂直第七十九题 证明三线共点 证明垂直 如图 中 平分交于 平分交于 平分交ABC ADBAC BCDDEADB ABEDFADC 于 交于 交于 交延长线于 1 求证 三点ACFEFADGCGDEHBGDFIHAI 共线 2 求证 HIAD I H G E F D A B C 第八十题 证明三点共线 牛顿定理 第八十题 证明三点共线 牛顿定理 如图 完全四边形中 分别为 中点 则 三点共线 ABCDEFLMNACBDEFLMN N M L C A E F B D 第八十一题 证明角平分第八十一题 证明角平分 如图 为外接圆 为内心 分别切 于 与 内切于 求证 OABC IJABACDEOF 平分 IFBFC F E D IO A BC J 第八十二题 证明角相等第八十二题 证明角相等 如图 为外心 过的直线分别交 于 分别为 中点 求证 OABC OABACDEFGBECD AFOG G F DO A BC E 第八十三题 证明三点共线第八十三题 证明三点共线 如图 内接于 为 上一点 交于 交于 求证 ABC OLOCLEL ABEBLFL ACF 三点共线 EOF F E O A BC L 第八十四题 证明四圆共点第八十四题 证明四圆共点 已知四边形中 分别为边 上的点 且 射线与 分别ABCDEFADBC FC BF ED AE FEBACD 交于点 的外接圆分别为 STSAE SBF TDE TCF 1 O 2 O 3 O 4 O 求证 1 四圆共点 1 O 2 O 3 O 4 O 2 四边形相似于四边形 4321 OOOOABCD O3 D E A X S B O4 O2 T FC O1 第八十五题 证明角平分第八十五题 证明角平分 如图 中 于 于 为中点 交延ABC ACAB ACBD DABCE EFBCAFAG DE 长线于 连接 求证 平分 GGFAFGFC G F E D A B C 第八十六题 证明线段相等第八十六题 证明线段相等 如图 内接于 为垂心 为中点 连接 过作 分别交ABC OHABC DBCDHHDHEF 于 连接 求证 ABACEFDEDFDFDE F E D H O A BC 第八十七题 证明角相等第八十七题 证明角相等 如图 为外心 为垂心 交于 交于 求证 OABC HABC CHABDODDE ACE AEHD E D H O A B C 第八十八题 证明线段相等第八十八题 证明线段相等 如图 为的高 为中点 过的一条直线分别交