如何证明形如4n3的素数有无限多个

如何证明形如如何证明形如 4n34n3 的素数有无限多个的素数有无限多个 篇一 证明形如 4n 3 的素数有无限多个 四 证明题 每小题四 证明题 每小题 1010 分 分 3 3 题共题共 3030 分 分 1 1 证明 证明 形如 4n 3 n 为非负整数 的素数有无限多个 证明 用反证法 若形如 4n3 的素数为有限个 设为 p1 p2 pk 整个证明 的思想是用反正法 先设形如 4n 3 的素 数只有有限个 设为 p1 p2 pk 再找到 4n 3 形式 的数 p 并且这个 p 是不等于 p1 p2 pk 的 这样就与 我们假设的有限个就矛盾了 令 q4p1p2pk14 p1p2pk1 3 现在构造一个数 q 通过变 形我们知道 q 也是 4n 3 形式的数 显然 qpi i1 2 k 若相等则有 4p1p2pi1pi1pk1 pi1 这不可能 若 q 已经为 素数 就找到了不等于 p1 p2 pk 的素数 q 定理已 经得证 若 q 不是素数 我们考虑它的素因数 在 下面的步骤 显然 pi 都除不尽 q 反证法 若能除尽 即 piq 而由 上面可知 14p1p2pkq 则有 pi1 矛盾 若 q 为素数 而 qpi i1 2 k 定理已经得证 这个结论上面的注已经 说明 现在考察 q 不是素数 那么它必有素因数 一个数能分 解为若干素数的乘积 4l1 4m1 4 4lmlm 14u1 此式子说 明 4n 1 形式的乘积还是 4n 1 的形式 而 q 一定不能全是 4n1 形式素因数 一定还有 4n3 形式的素因数 p 因为 q 也是 4n 3 的形 式 若全是 4n 1 的形式 它们的乘积得不到 4n 3 的形式 故一定还有 4n3 形式素因数 p 由假设知 q 是奇数 它的因 数肯定都是奇数 所以它的因数要么是 4n 1 的形 式 要么是 4n 3 的形式 不可能是 4n 2 与 4n 4 的形式 因为这两个还是偶数 且不是 p1 p2 pk 中的一个 与假设矛盾 前面已经证 明 pi 都除不尽 q 而 p 是 q 的因数 因此 p 能整除 q 故 p 不是 p1 p2 pk 中的一个 故形如 4n3 的素数有无限多 一开始我们假设的是有限 个 k 个 而现在我们 找到了不等于 p1 p2 pk 的其它的 4n 3 形式的素 数 p 顺环往复 这说明有限个的假设不正确 故形如 4n 3 的素数有无限多个 注 主要步骤就是黑字的部分 后面的彩色的字是我做的 注解 做题目的时候可以不写 篇二 论文 关于素数有无穷多个的证明 摘要 有关于素数的个数是无穷多个的定理有许多的证明 方法 最早的证明要见于欧几里德的名著 几何原本 第九篇 的命题 20 中 素数的数目比以往任何指定的数目都要多 即 素数有无穷多个 本文在总结前人证明的基础上用数学归纳法 再次证明这一命题 关键字 最小正约数 Fermat 数列 合 数 调和级数 数学归纳法 1 引言 一个大于 1 的整数 除了 1 和它本身以外不能被其他正整 数整除 就称为素数 通常用字母 p q 表示 例如 1 2 3 5 7 11 13 17 都是素数 设 x1 我们以 x 表示不超过 x 的素数个数 不难算出 x0 x2 53 10 50 415 欧几里德的名著 几何原本 第九篇的命题 20 证明了 素数的数目比以往任何指定的数目都要多 即素数有无穷多个 lim 这样把全体素数按大小排列就得出一个无穷数列 2 p1p2p3pn 后来发现在全体正整数中素数仅占很少一部分 下面我们 就来证明一下这个命题 2 引理 定理及证明 引理 1 设整数 a1 他的大于 1 的最小正约数 d 必为素数 1 d 所以证明 若 d 不是素数 则由素数定义知 必有整数 d 使得 1d1 且 d Fn 则 d 不整除 n Fm 由此推出素数有无穷多个 证 设 2m 2n r 2n p 则 当 m n 时 必有 Fn 22 1 22 1 pr 1 pr 2 1 mn 2 1 1 k1prk 22 1 q Fm 2 2n k1 由条件可得 d Fm 2 又 d 1 且 d Fn 故 d 3 则 d 不整 除 Fm 当 m1 d 不整除 Am 由此推出素数有无穷多个 证 当 m n 时必有 An Am 1 方法同上 综上所述