导数进阶2双参数

第 1 页 共 5 页 导数进阶导数进阶 2 2 双参数双参数 三 双参数中知道其中一个参数的范围型 三 双参数中知道其中一个参数的范围型 例题 5 17 天津理 已知函数 其中 0 a f xxb x x abR 1 讨论函数的单调性 f x 2 若对于任意的 不等式在上恒成立 求的取值范围 1 2 2 a 10f x 1 1 4 b 解 1 2 1 a fx x 当时 显然 这时在 上内是增函数 0a 0 0 fxx f x 0 0 当时 令 解得 0a 0fx xa 当变化时 的变化情况如下表 x fx f x 在 内是增函数 在 内是减函数 f x a a 0 a 0 2 法一 化归为最值 由 2 知 在上的最大值为与的较大者 对于任意的 不等 f x 1 1 4 1 4 f 1 f 1 2 2 a 式 在上恒成立 当且仅当 即 对成立 0 1 f x 1 1 4 10 1 1 4 10 f f 39 4 4 9 a ba b 1 2 2 a 从而得 满足条件的的取值范围是 7 4 b b 7 4 法二 变量分离 即 10f x 10 a bx x min 10 a bx x 令 10 a g xx x 2 22 10 axa g x xx 在上递减 最小值为 g x 1 1 4 g x 139397 44 2 4444 ga 从而得 满足条件的的取值范围是 7 4 b b 7 4 或用 即 进一步分离变量得 2 10 axb x 2 10 2xb x 2 10 bx x 利用导数可以得到在时取得最小值 2 10 x x 1 4 x 7 4 从而得 满足条件的的取值范围是 7 4 b b 7 4 x a a 0 a 0 a a a fx 0 0 f x 极大值 极小值 第 2 页 共 5 页 法三 变更主元 在上恒成立 即 10f x 1 1 4 10 a xb x 100 a axb x 在递增 即的最大值为 1 1 4 x a 1 2 2 a 2 2 100 xb x 以下同上法 说明 本题是在对于任意的 在上恒成立相当于两次恒成立 这样的题 往往 2 2 a 1f x 1 1 先保证一个恒成立 在此基础上 再保证另一个恒成立 例题 6 设函数 若对于任意的 不等式 432 216ln f xxaxxxb a bR 2 2 a 在上恒成立 求实数的取值范围 4 f xx 0 1 x b 解 在上恒成立 即在上恒成立 4 f xx 0 1 x 2 3 216lnxxb a x 0 1 x 由条件得 2 2 a 2 min 3 216ln 2 xxb a x 又 即 0 1 x 23 216ln2xxbx 32 min 2216ln bxxx 设 32 2216lng xxxx 则 3232 2 1664162 328 64 xxxx g xxx xxx 令 32 328xxx 2 94 94 xxxxx 当 当 4 0 9 x 0 x 4 1 9 x 0 x 时 于是 0 1 x 432 80 9243 x 极小值 0g x 在递减 的最小值为 32 2216lng xxxx 0 1 x g x 1 0g 因此满足条件的的取值范围是 0b b 0 针对练习 7 设函数 其中 若对于任意的 432 2 f xxaxxb xR abR 2 2 a 不等式在上恒成立 求的取值范围 1f x 1 1 b 四 双参数中的范围均未知型 四 双参数中的范围均未知型 例题 7 17 湖南理 已知函数 对任意的 恒有 2 f xxbxc b cR xR fxf x 1 证明 当时 0 x 2 f xxc 2 若对满足题设条件的任意 不等式恒成立 求的最小值 bc 22 f cf bM cb M 解 1 易知 由题设 对任意的 即 2fxxb xR 2 2xbxbxc 恒成立 从而 2 2 0 xbxcb 2 2 4 0bcb 2 1 4 b c 于是 且 因此 1c 2 21 4 b c b2 0cbccb 故当时 有 即当时 0 x 2 2 1 0 xcf xcb xc c 0 x 2 f xxc 2 由 1 知 c b 当时 有 c b 222 2222 2f cf bcbbcbcb M cbcbbc 第 3 页 共 5 页 令 则 而函数的值域是 b t c 11t 21 2 1 cb bct 1 2 11 1 g tt t 3 2 因此 当时 的取值集合为 c bM 3 2 当时 由 1 知 此时或 c b2b 2c 8f cf b 0 22 0cb 从而恒成立 综上所述 的最小值为 22 3 2 f cf bcb M 3 2 针对练习 8 若图象上斜率为 3 的两切线间的距离为 设 3 2 x f x a 2 10 5 2 2 3 3 bx g xf x a 1 若函数在处有极值 求的解析式 xg1 x g x 2 若函数在区间上为增函数 且在区间上都成立 求实数 xg 1 1 2 4 bmbg x 1 1 的取值范围 m 五 双参数中的线性规划型 五 双参数中的线性规划型 例题 8 17 浙江理 已知 函数 0a bR 3 42f xaxbxab 1 证明 当时 函数的最大值为 01x f x 2 aba 2 0f xaba 2 若对恒成立 求的取值范围 1 1f x 0 1 x ab 解 1 22 12212 6 b fxaxba x a 当时 在上恒成立 0b 2 1220fxaxb 01x 在上递增 此时的最大值为 f x 0 1 f x 1 423fababab 2 aba 当时 0b 2 12212 66 bb fxaxba xx aa 此时在上递减 在上递增 在上的最大值为 f x 0 6 b a 6 b a f x 0 1 max 2 max 0 1 max 3 3 2 ba ba f xffbaab ab ba 2 aba 综上所述 函数在上的最大值为 f x01x 2 aba 当时 01x 2ba 3 2 3422f xabaf xabaxbxa 33 4422 221 axaxaaxx 当时 2ba 3 2 42 1 2f xabaf xabaxbxa 33 44 1 22 221 axaxaaxx 设 列表可得 3 221g xxx 2 33 622 33 g xxxx 当时 min 34 3 10 39 g xg 01x 3 2210 xx 3 2 2 221 0f xabaaxx 第 4 页 共 5 页 2 由 知 函数在上的最大值为 f x01x 2 aba 2 aba 1 由 知 于是对恒成立的充要条件为 2 1f xaba 1 1f x 0 1 x 或 在坐标系中 20 31 0 ab ab a 20 1 0 ab ba a aOb 不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 作一组平行线 BC abt tR 得 的取值范围为 13ab ab 1 3 针对练习 9 已知函数 2 1 2 ln1 0 2 f xxaxbxx 1 若 求的单调区间 1ab f x 2 若的两个极值点 恒满足 求的取值范围 f x 1 x 2 x 12 012xx 2ab 六 双参数中的绝对值存在型 六 双参数中的绝对值存在型 例题 9 16 湖北理 设是函数的一个极值点 3x 23 x f xxaxb exR 1 求与的关系式 用表示 并求的单调区间 abab f x 2 设 若存在 使得成立 求的0a 2 25 4 x g xae 1 2 0 4 12 fg 1 a 取值范围 解 1 由 得 23 2 x fxxaxba e 3 0 f 23 3 3 2 3 0aba e 即得 则 32ba 233 2 33 3 1 xx fxxaxa exxae 令 得或 由于是极值点 即 0fx 1 3x 2 1xa 3x 12 xx 4a 当时 则在区间上 为减函数 4a 21 3xx 3 0fx f x 在区间上 为增函数 3 1 a 0fx f x 在区间上 为减函数 1 a 0fx f x 当时 则在区间上 为减函数 4a 21 3xx 1 a 0fx f x 在区间上 为增函数 1 3 a 0fx f x 在区间上 为减函数 3 0fx f x 2 由 1 知 当时 在区间上的单调递增 在区间上单调递0a 10a f x 0 3 3 4 减 那么在区间上的值域是 f x 0 4 min 0 4 3 fff 而 3 0 23 0fae 1 4 213 0fae 3 6fa 那么在区间上的值域是 f x 0 4 3 23 6 ae a 又在区间上是增函数 且它在区间上的值域是 2 25 4 x g xae 0 4 0 4 由于 224 2525 44 aae 222 2511 6 0 442 aaaaa