高等数学为解决中学数学问题提供简便方法

高等数学为解决中学数学问题提供简便方法高等数学为解决中学数学问题提供简便方法 摘要摘要 把微积分的知识应用于解决中学数学问题上 能起 到以简驭繁的作用 尤其是在不等式与恒等式的证明 求函 数极值与切线及单调区间 方程根的讨论 研究函数的性 态与作图以及解决实际问题等方面 不仅可使解法简便 而 且能使问题的研究更为深入 全面 本文举例说明了微积 分在这几个方面的具体运用 初等数学是高等数学的基础 二者有着本质的联系 将高 等数学的理论应用于初等数学 使其内在的本质联系得以体 现 进而去指导初等数学的教学工作 是一个值得研究的课 题 把微积分的知识应用于解决中学数学问题上 能起到以 简驭繁的作用 尤其是在不等式与恒等式的证明 求函数极 值与切线及单调区间 方程根的讨论 研究函数的性态与 作图以及解决实际问题等方面 不仅可以简化解法 而且能 使问题的研究更为深入 全面 如果将整个数学比作一棵大树 那么初等数学是根 名目繁多的数学分支是树枝 而树干的主要部分就是微积 分 不论是高等数学还是初等数学 其基本方法都是相通 的 那么 高等数学微积分方法在中学数学中有着怎样的 应用 关键词关键词 微积分 中学数学 应用 一 微积分方法在求函数的极值 最值中的应用一 微积分方法在求函数的极值 最值中的应用 利用导数求函数的极大 小 值 求函数在连续区间 a b 上的最大最小值 或利用求导法解决一些实际应用问题是 函数内容的继续与延伸 这种解决问题的方法使复杂问题 变得简单化 因而已逐渐成为新高考的又一热点 本节内 容主要是指导学生对这种方法的应用 例 1 已知 f x ax3 bx2 cx a 0 在 x 1 时取得极值 且 f 1 1 1 试求常数 a b c 的值 2 试判断 x 1 是函数的极小值还是极大值 并说明理由 解 1 f x 3ax2 2bx c x 1 是函数 f x 的极值点 x 1 是方程 f x 0 即 3ax2 2bx c 0 的两根 f 1 0 即 3a 2b c 0 f 1 0 即 3a 2b c 0 由根与系数的关系 得 又 f 1 1 a b c 1 由 解得 a 1 b 0 c 1 23 2 f x x3 x f x x2 1 x 1 x 1 当 x 1 或 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 函数 f x 在 1 和 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 当 x 1 时 函数取得极大值 f 1 1 当 x 1 时 函数取得极小值 f 1 1 这样 我们就很容易地解决了这个一元三次函数的极值 问题 例 3 已知函数 f x ax 3 bx 2 3 x 当 x 1 处取 得极值 1 讨论f 1 和f 1 是函数f x 的极大 值还是极小值 2 过点A 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线方程 解解 1 f x 3 ax 2 2bx 3 依题意 f 1 f 1 0 即3 a 2b 3 0 3 a 2b 3 0 解得a 1 b 0 所以f x x3 3 x f x 3 x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 x 1 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 1 上是减函 数 所以f 1 2 是极大值 f 1 2 是极小值 2 曲线方程为y x3 3 x 点A 0 16 不在曲线上 设切点为M x0 y0 则点M 的坐标满足y0 x30 3 x0 由于f x0 3 x20 1 故切线的方程为 y y0 3 x20 1 x x0 注意到点A 0 16 在切线上 有16 x30 3 x0 3 x20 1 0 x0 化简得x30 8 解得x0 2 因此 切点为M 2 2 切线方程为9 x y 16 0 二 微积分方法在求函数单调区间中的应用二 微积分方法在求函数单调区间中的应用 在高中阶段 运用单调性的定义 以及复合函数单调区 间的求解方法 可以解决一些比较简单基本函数经过几次 基本运算后所得函数的单调性 但是对于一元三次 或更 高次 函数的单调区间问题 用单调性的定义就显得力不 从心 甚至不能求解 想反 用导数这一工具 却显得得 心应手 例 2 2006 年江西卷 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 2 3 与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x 1 x 和 ex 1 x x2 2 x 0 证明证明 设 f x ex 1 x 则 f x ex 1 0 x 0 所以 f x 递增 又 f 0 0 故 f x ex 1 x 0 即 ex 1 x 设 g x ex 1 x x2 2 则 g x ex 1 x 由上面已证得的结果 ex 1 x 知 g x 0 x 0 所 以 g x 递增 且因 g 0 0 即知 g x 0 即 ex 1 x x2 2 例例 2 2 试证当 x 1 时 有 2arctan x arcsin 2 x1 x2 证明证明 当 x 1 时 等式显然成立 当 x 0 则f x 0 从而f x 在 0 上单调递增 若x 0 则f x 0 从而f x 在 0 上单调递减 当a 0 时 令f x 0 得x ax 2 0 故x 0 或x 2 a 若x 0 则f x 0 从而f x 在 0 上单调递减 若0 x 0 从而f x 在 0 2 a 上单调递增 若x 2 a 则f x 0 从而f x 在 2 a 上 单调递减 2 当a 0 时 f x 在区间 0 1 上的最大值f 1 1 当 2 a 0 时 f x 在区间 0 1 上的最大值f 1 ea 当a 2 时 f x 在区间 0 1 上的最大值f 2 a 4 a2 e2 五 方程根的讨论五 方程根的讨论 例例 5 试证 当 0 a 1 时 方程 ax x 有唯一解 0 1 证明证明 设 f x ax x 则当 0 a 0 f 1 a 1 0 所以由连续函数介值定理知 f x 0 在 0 1 上有解 即 0 1 使 a 此外 因为 f x ax ln a 1 0 所 以 f x 在 上单调递减 故方程 ax x 在 上只有一个根 由结论 可知 当 0 a 1 时 y ax 的图像与直线 y x 有且只有 一个交点 关于函数 y ax 的图象与直线 y x 是否有交点 的问题 可通过对方程 ax x 根的讨论得到完满的解答 六 六 函数的变化性态及作图函数的变化性态及作图 函数的图象以其直观性有着别的工具不可替代的作用 特别 是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候 其作用尤为 明显 这就要求我们能正确地作出函数的图象 中学教材在 介绍二次函数 指数函数及三角函数等函数时 通常用描点 法 作出函数的图像 这种图像一般是粗糙的 不一定能准 确地反映曲线在一些点和区间上的性态 利用导数作为工 具 可有效地对函数的增减性 极值点 凹凸性等重要性态 和关键点作出准确的判断 从而比较准确地作出函数的图象 一般来说 描绘 函数的图像可以按以下步骤进行 1 求出函数 f x 的定义域 确定图想范围 2 判别函数 f x 是否具有奇偶性或周期性 缩小描绘图的 范围 3 求函数 f x 的不连续点 并讨论函数在不连续点的左 右变化情况 可能存在极限 也可能趋向无穷 此时有垂直渐 近线 如果函数定义域是无限区间 则要讨论当 x 无限 增加时 f x 的变化趋势 若存在极限 则有水平渐近线 若趋 于无穷 应考虑是否有斜渐近线 4 计算函数 f x 的一 二阶导数 并求解 f x 0 f x 0 讨论 f x 的单调性 局部极值 凹凸性与拐点 列表 5 计算曲线的稳定点 局部极值点 拐点的坐标以及曲县 与坐标轴交点的坐标 6 在直角坐标系中 标出关键点的坐标 画出渐近线 再按讨 论的性态逐段描绘 例例 6 作函数 y x3 3 x2 2 的图形 解解 定义域为 曲线与 y 轴的交点为 0 2 利用连续函数的零值定理可知 在区间 2 1 内曲线与 x 轴有交点 y x2 2 x x x 2 y 2 x 2 令 y 0 得驻点 x 0 x 2 令 y 0 得 x 1 列表如下 x 0 0 0 1 1 1 2 2 2 f x 0 0 f x 0 极小值f 2 2 3 f x 极大值f 0 2 拐点 极小值f 2 2 3 凹凸性 凹 凸 七 七 实际应用问题实际应用问题 例例 7 如图 221 平地上有一条水沟 沟沿是两条长 100m 的平行线段 沟宽为 2m 与沟沿垂直的平面与沟的交线是一 段抛物线 抛物线的顶点为 O 对称轴与地面垂直 沟深 1 5m 沟 中水深 1m 1 求水面宽 2 现在要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟 沟的底面 与地面平行 两腰分别与抛物线相切 图 222 改挖后的沟底 宽为多少米时 所挖的土最少 解解 1 如图 223 建立直角坐标系 设抛物线方程为 y ax 2 则由抛物线过点 1 3 2 可得 a 3 2 于是抛物线方程为 y 3 2x2 当 y 1 时 x 6 3 由此可以得到 水面宽为 2 6 3 m 2 设切点为 P t 3 2t2 0 t 1 是抛物线 弧 OB 上的一点 过点 P 作抛物线的切线 得如图 223 所 示的直角梯形 OCD E 由于 y 3 2x2 y x t 3 2 2 x x t 3 t 故 切线 CD 的方程为 y 3 t x t 3 2t2 即y 3tx 3 2t2 于是C 1 2t 0 D 1 2 t 1 t 3 2 设梯形OCD E 的面积为S 1 则 S1 1 2 1 2t 1 2 t 1 t 3 2 3 4 t 1 2t 由于0 0 时时 f x 1a ax by2 a 4 ac b22i ax by2 a 4 ac b22i 当当 4 ac b2 0 时时 f x 1a ax by2 a b2 4 ac2 ax by2 a b2 4 ac2 十一十一 确定方程中的未知参数确定方程中的未知参数 在含未定参数的方程中在含未定参数的方程中 若把未定参数看作未知数的函若把未定参数看作未知数的函 数数 则确定未知参数的取值就转化为在定义域内求函数值域则确定未知参数的取值就转化为在定义域内求函数值域 的问题的问题 高中数学曾介绍了求函数值域的几种方法高中数学曾介绍了求函数值域的几种方法 但这些但这些 方法使用起来都比较复杂方法使用起来都比较复杂 相比之下利用微积分的思想确定相比之下利用微积分的思想确定 函数值域函数值域 可简化计算过程可简化计算过程 例例 5 已知关于已知关于 x 的方程的方程 co s2x sin x a 0 有实根有实根 求实求实 数数 a 的取值范围的取值范围 解解 把参数把参数 a 看成变量看成变量 x 的函数的函数 考察这个函数的值域考察这个函数的值域 原方程变形为原方程变形为 a f x cos2x sin x x R 两边求导数得两边求导数得 Da dx 2cos x sin x cos x 令令da dx 0 得得x k 2 或或x k 6 k Z 显然连续函数显然连续函数 a f x x R 存在最大 最小值存在最大 最小值 且只可能在驻点处取且只可能在驻点处取 得得 又又a f f k 2 2 0 1 1 F F k 6 6 3 3 2 1 2 5 5 4 故函数最大值为故函数最大值为 a 5 5 4 最小值为最小值为 a 1 即即 a 的取值的取值 范围为范围为 1 a a 5 4 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材 中 学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外 还应善于 运用高等数学知识解决中学数学问题 总之 微积分它是一种数学思想 用它解决中学数学问 题有很多便捷之处 以上所总结的方法只是笔者的一孔之 见 希望能起到抛砖引玉的作用 微积分对中学数学相关内容提供理论依据微积分对中学数学相关内容提供理论依据 初等数学与高等数学 主要指微积分部分 知识过渡与方 法衔接的衔接点 极限论 极限理沦是微积分的基础 它从方法论上突出地表现了微 积分学不同于初等数学的持点 1 微积分学讨论问题时的一个基本观点 就是变化的观点 从变化中去认识事物 2 从变化的观点出发 势必引进变量的概念 3 在同一问题中同时出现几个变量 我们不是孤立地研 究每一变量而是着重研究变量之间的依赖关系 从变量的相 互联系中去研究问题 变量中的这种依赖关系就是函数 4 在研究变量中的依赖关系时 就会遇各种矛值 有的 表现为 曲 与 直 的矛值 有的表现为 变 与 不变 的矛值 解决这些矛值的方法 首先是局部 以直代曲 以不变代变 等等 从而求得问题的近似 值 最后归结到 近似 与 精确 的矛值 为了解决 这对矛值 就涉及到变化趋势 就要用到极限方法 因此 极限论是初等数学与高等数学知识过渡与方法衔接的衔接 点 研究函数 从量的方面研究事物运动变化是微积分的基 本方法 这种方法叫做数学分析 本来从广义上说 数学分析包含微积分 函数论等许多 分支学科 但是现在已习惯把数学分析和微积分等同起来 数学分析称了微积分的同义词 一体数学分析就知道指的 是微积分 微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学 微积分 微分学的主要内容 极限理论 导数 微分等 积分学主要包括 定积分和不定积分等 积分有两种 定积分和不定积分 定积分是微分的逆运算 即知道了函数的导函数 反求 原函数 在应用上 定积分作用不仅如此 他被大量应用 与求和 通俗地说是求曲边三角形的面积 这巧妙的办法 是积分的性质决定的 一个函数的不定积分 亦称原函数 指另一组函数 这一组 函数的导函数恰为前一函数 定积分和不定积分的定义迥然不同 定积分是求图形的 面积 即使求微元元素的累加和 而不定积分则是求其原 函数 他们又为何统称为积分呢 这要靠牛顿和莱布尼茨 的贡献了 把本来毫不相关的事物联系起来了 函数概念的发展经历了一个漫长的过程 在现行教材中 分别在初中 高中 大学都介绍了函数 细心的老师可以发现定义是有一些 不同 主要是初中与高中或大学有差别 定义 1 初中 在某一变化过程中 有两个变量 yx和 如果对于x在某一范围内的每一个确定的值 按照某种对应 关系 y都有唯一确定的值和它对应 那么就把y称为x的 函数 y称为因变量 定义 2 高中或大学 设 BA和 是两个集合 如果按照某 种对应关系 使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和 它对应 这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数 定义 3 高中或大学 从集合A到集合B的映射 BAf 称为从集合A到集合B的函数 简称为函数 f 定义 4 大学 从集合A到集合B的函数 f 是满足以下条 件的从A到B的一个关系 1 AfD 2 如果 fzxfyx 那么 zy 极限思想 关于极限的定义 教师首先必须明确一点 即极限指的 是 一种变化 趋势 就是研究当自变量发生某种变化时函 数的变化趋势 至于能不能到达那个 位置 则没有作出 要求 极限是一个 过程 一个不断变化的无限过程 对 这个过程我们可以分两类来讨论 一类是 无限趋近于某 一点 的概念 另一类是 无穷大 的概念 包括正无穷 和负无穷 导数的定义 设函数 y f x 在 x 0 的某邻域 内有定义 若极限 lim x x0f x f x0 x x0 存在 则称函数 f x 在点 x0 可导 并称该极限为函数 f x 在 点 x0 处的导数 记作 f x0 设函数 f x 为定义在区间 I 上的函数 若有 f x lim x 0f x x f x x x I 则称 f x 为函数 f x 在区间 I 上的导函数 简称导数 极限是微积分的核心 极限思想至始至终贯穿于微积分之中 微积分中许多重 要的概念都是用极限来定义的 如连续 导数 积分 级 数等 可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量 间依赖关系和函数变化规律的数学分支 极限和极限思想 在微积分中 极限与积分 微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的 不定积 分是用导数的反运算来定义的 或者说是用极限间接定义的 而定积分 多重积分 各种曲线积分 曲面积分都是用极限 直接定义的 这儿试举两例 定积分定义 设 f 是定义在区间 a b 上的有界函数 用点 xi 将区间 a b 任意分成 n 个子区间 i xi 1 xi i 1 2 n 子区间及其长度记作 xi 在每个 子区间上任取一点 i i i 1 2 n 并作和式 ni 1 f i xi 如果当最大的子区间的长 度 T 时 和式 ni 1 f i xi 的极限存在 并且其极限值与 T 的 分法及 i 的取法无关 则称 f 在区间 a b 上可积 此 极限值 J 称为 f 在区间 a b 上的定积分 记作 J ba 乙 f x dx 即 J lim T 0 ni 1 f i xi ba 乙 f x dx 第一型曲线积分的定义 设 L 为平面上可求长度的曲线 段 f x y 为定义在 L 上的函数 对曲线 L 作分割 T 把 L 分成 n 个可求长度的小曲线段 Li i 1 2 n Li 的弧长记为 si 分割 T 的细度 T max 1 i n si 在 Li 上任取一点 i i i 1 2 n 若有极限 lim T 0ni 1 f i i si J 且 J 的值与分割 T 与点 i i 的取法无关 则称 此极限为 f x y 一元函数 f x 对应定积分 ba f x dx 二元函数 f x y 对应二重积分 f x y dxdy 三元函数 f x y z 对应三重积分 f