空间几何体教师版(1).doc

空间几何体的结构【学习目标】1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构【要点梳理】要点一、棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、；用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱要点二、棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ；SSDDCCBBAAECBAS3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可要点三、圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴要点四、圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥旋转轴叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线要点五、棱台和圆台的结构特征、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方要点六、球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有要点七、特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八、简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：由简单几何体拼接而成的简单组合体；由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合. 多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体 多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的 旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的 要点九、几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1判断下列说法是否正确 （1）棱柱的各个侧面都是平行四边形； （2）一个n（n3）棱柱共有2n个顶点； （3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确 【解析】 （1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形 故（1）（2）（3）正确，（4）不正确【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（ ） A1 B2个 C3个 D4个【答案】C【高清课堂：空间几何体的结构394899 同步练习】【变式2】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2有下面五个命题： （1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； （2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥； （3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥； （4）正四面体就是正四棱锥； （5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】 A 【解析】 本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件 命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，EF=1，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义 举一反三：【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例【答案】不正确【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥例3判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？ 【解析】三个图都不是台体（1）AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3）中应O与O1不平行，故也不是台体 【总结升华】 判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直举一反三：【变式1】 判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？ 【答案】 都不是台体【解析】因为和都不是由棱锥所截得的，故都不是台体；虽然是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO底面的平面截圆锥SO而得的类型二：几何体中的基本计算 例4一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4cm2和25cm2求（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长【答案】（1）（2）20 【解析】画出轴截面，依据勾股定理及相似三角形知识即可求解 （1）如右图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A=2 cm，下底面半径OB=5 cm，又腰长AB=12 cm，所以圆台的高为 （cm） （2）设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由SAO1SBO，可得， =20（cm） 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可举一反三：【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高【解析】设圆锥的高为，上、下底半径为则，解得类型三、简单几何体的组合体例5指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的 【解析】 分割原图，使它们的每一部分构成简单几何体 （1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的； （2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的 【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力举一反三：【变式1】如下图，观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出它们的主要结构特征 【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征 图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征 图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征【变式2】 如下图（1）是由图（2）中的平面图形（ ）旋转得到的 【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各顶点（如果是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）关于这条直线的对称点，再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来，也就得出相应的几何体，进而便可判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体 类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6请画出下图所示的几何体的表面展开图 【解析】 将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上 表面展开图如下图所示 【总结升华】要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题例7根据下图所给的平面图形，画出立体图形 【解析】 将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示 【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系举一反三：【变式1】 如下图所示的两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这些立体图形的名称吗？ 【答案】（1）正方体（2）正四棱锥【巩固练习】1一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（ ）A棱锥 B四棱柱 C正四棱柱 D长方体2从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点（不与顶点重合），过此三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上都有可能3.下列命题中，正确的是（ ） A有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的侧面 C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4.下列图形不是正方体表面展开图的是（ ） 5下列命题： 圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；用任意一个平面去截球体得到的截嘶一定是一个圆面；用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面其中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D36一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（ ）A一个圆台 B一个圆锥 C由两个圆锥组成的组合体 D由一个圆锥一个圆柱组成的组合体7一个棱台至少有 个面；面数最少的一个棱锥有 个顶点；顶点最少的一个棱台有 条侧棱8正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm，它的斜高为 9为球面上相异两点，则通过两点可作的球大圆有 个10长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.11已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，求过各侧棱中点的截面面积12一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为、，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高). 【答案与解析】1【答案】B 【解析】由棱柱定义可知，选B2【答案】A 【解析】 连结三点，用余弦定理证明知，这个三角形是锐角三角形3【答案】D 【解析】 紧扣棱柱的定义可知选D4【答案】C 【解析】 由展开图折回去形不成正方体可知选C5【答案】C 【解析】 正确，中截面也可以是一个三角形或椭圆等6【答案】D 【解析】由圆柱和圆锥的定义可知，该图形是一个圆锥和圆柱7【答案】5 4 3 【解析】面数最少的棱台是三棱台；面数最少的棱锥是三棱锥；顶点最少的棱台是三棱台8【答案】 【解析】在正六棱台中，连结，作，垂足为，解得斜高为cm9【答案】一个或无穷多个 10【答案】5【解析】设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则，而对角线长.11【答案】【解析】如右图，ABC为所求的截面图形，由三角形中位线性质定理，得ABCABC，且对应边长之比为12【答案】又， 12【答案】 【解析】上、下底面正方形的边长为、，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为；斜高为.空间几何体的三视图和直观图编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面2中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影 3中心投影的性质 （1）中心投影的投影线交于一点； （2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大 4平行投影 我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影 5平行投影的性质 （1）平行投影的投影线互相平行 （2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同 6中心投影与平行投影的区别与联系 （1）平行投影包括斜二测画法和三视图中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体 （2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法要点二、空间几何体的三视图【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059 三视图】1三视图的概念 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小通常，我们总是选择三种投影 （1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图； （2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图； （3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 2三视图的画法规则 画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位 正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则： （1）正、俯视图都反映物体的长度“长对正”； （2）正、侧视图都反映物体的高度“高平齐”； （3）俯、侧视图都反映物体的宽度“宽相等”【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法 在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法 斜二测画法的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy=45（或135），它们确定的平面表示水平面 （2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 （3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段要点四、立体图形的直观图 （1）用斜二测画法画空间几何体的步骤 在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使xOz=90，且yOz=90； 画直观图时，把它们画成对应的轴x，y，z，使xOy=45（或135），xOz=90，xOy所确定的平面表示水平平面； 已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴，y轴或z轴的线段； 在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半； 擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图 （2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质 平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；平行于x，z轴的长度不变 （3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变 （4）三视图与直观图的联系与区别 三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别： 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图 直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状 要点五、已知三视图画直观图 三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换 由三视图画直观图，一般可分为两步： 第一步：想象空间几何体的形状 三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图 正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等俯视图反映出物体的长和宽对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体 第二步：利用斜二测画法画出直观图 当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分画完直观图后还应注意检验 【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1下列命题中正确的是（ ）A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C两条相交直线的投影可能平行D一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法例2一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是 线段 直线 圆 梯形 长方体 【答案】 【解析】线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点举一反三：【变式1】有下列说法： 从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式 其中正确的命题有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】D类型二、空间几何体的三视图例3螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图 【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合） 它的三视图如下图 【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图 （2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置 例4如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形 【解析】从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台它的上底面是边长为60 mm的正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面对角线分别与棱台的底面的两边平行，底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上，奖杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一个直径为28 mm的球根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如上图所示【总结升华】由三视图还原成实物图是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特点，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体举一反三：【变式1】 右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题，其中真命题的个数是（ ） 存在三棱柱其正（主）视图、俯视图如右图 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图 A3 B2 C1 D0 【答案】A【变式2】若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） 【答案】B类型三、空间几何体的直观图例5画出水平放置的等边三角形的直观图.【解析】画法，如图：(1)在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的轴和 轴，两轴交于点，且使；(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；(3)连接、，并擦去辅助线轴和 轴，便获得正ABC的直观图.【总结升华】斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变.举一反三：【变式1】 已知正角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】先根据题意，画出直观图，然后根据直观图ABC的边长及夹角求解 如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图由图（2）可知，AB=AB=a，在图（2）中作CDAB于D，则【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的例6画出底面为边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图 【解析】（1）画轴画x轴、y轴、z轴， xOy=45（或135），xOz=90，如下图（1） （2）画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB=1.2 cm，EF=0.6 cm （3）画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP=1.5 cm （4）成图顺次连接以、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图（2） 【总结升华】 本题主要考查空间几何体的直观图的画法解题的关键是先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图建系后观察哪些线段分别与x、y、z轴平行或重合，找到对应顶点即可【巩固练习】1下列实例中，不是中心投影的是（ ）A工程图纸 B小孔成像 C相片 D人的视觉2下列种说法：相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；线段的中点在直观图中仍然是线段的中点其中，说法正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个3一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( ).A球体 B圆锥 C圆柱 D长方体4一个建筑物的正视图、侧视图、俯视图如下图所示，则组成这个建筑物的组合体是（ ） A圆柱和圆锥 B立方体和圆锥 C正四棱柱和圆锥 D正方形和圆5以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）A16 B64 C16或64 D以上都不对6一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为7平行投影与中心投影之间的区别是_8一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为_9正视图为一个三角形的几何体可以是_(写出三种)10用斜二测画法作出两边边长分别为3cm和4cm的矩形的直观图11用斜二测画法画正六棱柱的直观图，使其底面边长为3cm，侧棱长为6cm12根据三视图（如下图），画出物体的直观图 【答案与解析】1【答案】A 【解析】 由中心投影的特点可知，B、C、D均是中心投影2【答案】B 【解析】 由直观图的画法可知、正确3【答案】D 【解析】4【答案】C 【解析】 由三视图可知，组合体上部分是圆锥，下部分为正四棱柱5【答案】C6【答案】C 【解析】 正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A，故选C7【答案】平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点8【答案】 【解析】如右图，由底边长AB=1，那么原来的高线为，则原三角形的面积 9【答案】三棱锥、三棱柱、圆锥 【解析】由三棱锥、三棱柱（侧放）、圆锥的特征可知这三种几何体的正视图均是三角形10【解析】采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴、轴，使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如右图）（1）在已知ABCD中取AB，AD所在边为x轴与y轴，相交于点O（O与A重合），画对应的x轴、y轴，使xOy=45 （2）在x轴上取A，B，使AB=AB=4，在y轴上取D，使AD=AD=，过D作DC平行x的直线，且等于AB长 （3）连CB，所得四边形ABCD就是矩形ABCD的直观图 11【解析】先作底面正六边形的直观图，再沿平行于z轴方向平移即可得 作法： （1）画轴：画z，y，z轴，使xOy=45（或135），xOz=90 （2）画底面：按x轴，y轴画正六边形的直观图ABCDEF （3）画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF （4）成图：顺次连结A，B，C，D，E，F，加以整理（去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线），图略12【解析】（1）画轴建立空间直角坐标系，使xOy=45，xOz=90，如右图（2）画圆柱的两底面和圆台的上底面画出底面圆O，在z轴上截取O，使OO等于三视图中相应高度过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出底面圆O（与画圆O一样），在z轴上截取O，使OO与三视图中OO等高过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，作圆O（3）成图连接AA，AA，BB，BB，整理得到三视图所表示的立体图的直观图，如右图所示空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底高棱锥平面多边形三角形面积=底高棱台平面多边形梯形面积=（上底+下底）高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积1圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2r，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2r （2）圆柱的表面：2圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=r，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是（2）圆锥的表面积：S圆锥表=r2+r 3圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为，那么这个扇环的面积为(r+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=(r+r)（2）圆台的表面积：要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 要点三、柱体、锥体、台体的体积1柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=r2h综上，柱体的体积公式为V=Sh2锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用r2表示S，则综上，锥体的体积公式为3台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S、S，高是h，那么它的体积是