数值分析试卷及其答案5

1 5 分 测量一物体的长度为 945cm 问测量数据的相对误差限多大 实际问题所截 取的近似数 其绝对误差限一般不超过最小刻度的半个单位 解 x 945cm 1 分 cmx5 0 3 分 053 0 00053 0 0005341 0 945 5 0 xer 1 分 053 0 xer 2 5 分 已知 求 T x2 1 0 x 1 x 2 x 解 2 1 5 分 x 3 1 5 分 1 x 2 分 2 x 2 2 21 5 3 5 分 写出求解下列方程组的 Jacobi 迭代格式 89 3 92 0 01 2 21 0 97 2 72 1 37 2 52 1 21 5 3 2 1 x x x 76 7 68 1 21 6 解 5 分 89 3 92 0 01 2 76 7 97 2 21 0 72 1 68 1 21 5 37 2 52 1 21 6 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 1 kk k kk k kk k xx x xx x xx x 4 5 分 给定线性方程组 122 111 221 3 2 1 x x x 1 1 1 讨论用 Gauss Seidel 迭代法求解时的收敛性 解 A L D U 2 分 122 111 221 022 001 000 100 010 001 000 100 220 2 分 ULDBG 1 000 100 120 Gauss Seidel 迭代发散 1 分 1 G B 5 5 分 设 求 13 47 xxxxf 710 2 2 2 f 解 5 分 1 7 2 2 2 7 710 f f 6 10 分 用平方根法解方程组 2248 454 8416 3 2 1 x x x 10 3 4 解 T LLA 2 分 2248 454 8416 333231 2221 11 0 00 lll ll l 33 3222 312111 00 0 l ll lll L 2 分 332 021 004 Ly b 2 分 2 分 yxLT 2 分 2 4 4 9 x 6 2 1 y 7 10 分 设 写出的牛顿迭代格式 并证明此迭代格式是线 2 3 axxf 0 xf 性收敛的 解 2 分 axxxf 32 6 牛顿迭代格式 4 分 232 2 3 1 66 5 6 k k kk k k k k kk x a x axx ax x xf xf xx 迭代函数 2 分 2 66 5 x a xx 的精确解为 故 2 分 0 xf 3 ax 1 2 1 3 1 6 5 x 所以该迭代格式的线性收敛的 8 10 分 用列主元 Gauss 消去法解下列方程组 10 3 3 4102 043 121 3 2 1 x x x 解 104102 3043 3121 A 2 分 r r 21 104102 3121 3043 2 分 84 3 22 0 21 3 2 0 3043 13 12 3 2 3 1 rr rr 2 分 r r 32 21 3 2 0 84 3 22 0 3043 2 分 rr 23 11 1 11 14 11 7 00 84 3 22 0 3043 等价方程组 11 14 311 7 323 22 21 84 343 x xx xx 2 分 1 1 x0 2 x2 3 x 9 10 分 设有函数值表 x 1 34 67 9 y97 64 31 试求各阶差商 并写出 Newton 插值多项式 解 1 9 37 1 4 6 1 0 6 4 1 0 0 7 3 1 0 0 0 9 1 1 0 0 0 0 6 分 4 分 119 5 xxN 10 10 分 试用最小二乘法 求解下列超定方程组 43 22 622 52 42 21 21 21 21 21 xx xx xx xx xx 解 将该方程组两边同时左乘以 得 T A 2 分 T A 12212 31221 2 分 12212 31221 13 21 22 12 21 12212 31221 4 2 6 5 4 4 分 143 319 2 1 x x 25 36 解得 2 分 42802 1 66926 1 2 1 x x 11 10 分 已知的函数值如下 xf x2 02 22 42 62 8 xf 7 3899 02511 02 3 13 46416 445 用复合梯形公式和复合 Simpson 公式求的近似值 8 2 0 2 dxxf 解 复合梯形公式 h 2 8 2 0 4 0 2 9 0858 5 分 4 3 1 08 2 2 xfxfxf h T i i 复合 Simpson 公式 h 2 8 2 0 2 0 4 9 0557 5 分 445 16464 13025 9 4023 112389 7 6 4 0 2 S 12 15 分 确定下列公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 并指出代数精度的次数 fffdxxf321 1 1 3 1 解 当 1 时 左 2 右 2 左 右 2 分 xf 3 321 当 x 时 左 0 右 2 分 xf 3 321 当 时 左 右 2 分 xf 2 x 3 2 3 321 22 要使所给求积公式至少具有 2 次代数精度当且仅当 满足 2 分 3 2 3 321 0 3 321 22 2 分 5 61 2 1 15 623 2 1 1 1