高中数学第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图教案新人教A版必修220170914221

1 1 2 31 2 3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图 教学 目标 通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图 提高 学生识图和画图的能力 培养探究精神和意识 以及转化与化归的数学 思想方法 教学重 难点 教学重点 用斜二测画法画空间几何体的直观图 教学难点 直观图和三视图的互化 教学 准备 多媒体课件 教学过 程 一 一 导入新课导入新课 正投影主要用于绘制三视图 在工程制图中被广泛采用 但三视 图的直观性较差 因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象 但作图方法比较复杂 又 不易度量 因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直 观图 把空间图形画在纸上 是用一个平面图形来表示空间图形 这样 表达的不是空间图形的真实形状 而是它的直观图 二 讲授新课 二 讲授新课 提出问题提出问题 如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 上述画直观图的方法称为斜二测画法 请总结其步骤 探求空间几何体的直观图的画法 用斜二测画法画长 宽 高分 别是 4 cm 3 cm 2 cm 的长方体 ABCD A B C D 的直观图 用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不 同 并总结画几何体的直观图的步骤 活动 活动 和 教师首先示范画法 并让学生思考斜二测画法的关键步骤 让学生发表自己的见解 教师及时给予点评 根据上述画法来归纳 让学生比较两种画法的步骤 讨论结果 讨论结果 画法 1 如图 1 1 在正六边形 ABCDEF 中 取 AD 所在 2 直线为 x 轴 对称轴 MN 所在直线为 y 轴 两轴相交于点 O 在图 1 2 中 画相应的 x 轴与 y 轴 两轴相交于点 O 使 x O y 45 2 在图 1 2 中 以 O 为中点 在 x 轴上取 A D AD 在 y 轴上取 M N 2 1 MN 以点 N 为中点画 B C 平行于 x 轴 并且等于 BC 再以 M 为中点画 E F 平行于 x 轴 并且等于 EF 3 连接 A B C D D E F A 并擦去辅助线 x 轴 和 y 轴 便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A B C D E F 图 1 3 图 1 步骤是 1 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴 两轴相交于点 O 画直观图时 把它们画成对应的 x 轴与 y 轴 两轴交于点 O 且 使 x O y 45 或 135 它们确定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段 在直观图中分别画成平行于 x 轴或 y 轴的 线段 3 已知图形中平行于 x 轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行 于 y 轴的线段 长度为原来的一半 画法 1 画轴 如图 2 画 x 轴 y 轴 z 轴 三轴相交于点 O 使 xOy 45 xOz 90 图 2 2 画底面 以点 O 为中点 在 x 轴上取线段 MN 使 MN 4 cm 在 y 轴上 取线段 PQ 使 PQ 2 3 cm 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线 设它们的交点分别为 A B C D 四边形 ABCD 就是 3 长方体的底面 ABCD 3 画侧棱 过 A B C D 各点分别作 z 轴的平行线 并在这些平行线 上分别截取 2 cm 长的线段 AA BB CC DD 4 成图 顺次连接 A B C D 并加以整理 去掉辅助线 将 被遮挡的部分改为虚线 就得到长方体的直观图 点评 点评 画几何体的直观图时 如果不作严格要求 图形尺寸可以适当选 取 用斜二测画法画图的角度也可以自定 但是要求图形具有一定的立 体感 画几何体的直观图时还要建立三条轴 实际是建立了空间直角坐 标系 而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系 画几何体的直观图的步骤是 1 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴 Ox Oy 再作 Oz 轴 使 xOy 90 yOz 90 2 画出与 Ox Oy Oz 对应的轴 O x O y O z 使 x O y 45 y O z 90 x O y 所 确定的平面表示 水平平面 3 已知图形中 平行于 x 轴 y 轴和 z 轴的线段 在直观图中分别 画成平行于 x 轴 y 轴和 z 轴的线段 并使它们在所画坐标轴中的 位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 4 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持长度不 变 平行于 y 轴的线段 长度为原来的一半 5 擦除作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图 斜二测画法的作图技巧 1 在已知图中建立直角坐标系 理论上在任何位置建立坐标系都 行 但实际作图时 一般建立特殊的直角坐标系 尽量运用原有直线为 坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂 直正交的直线为坐标轴等 2 在原图中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中依然与 x 轴或 y 轴平行 原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连 4 线 画端点时作坐标轴的平行线为辅助线 原图中的曲线段可以通过取 一些关键点 利用上述方法作出直观图中的相应点后 用平滑的曲线连 接而画出 3 在画一个水平放置的平面时 由于平面是无限延展的 通常我 们只画出它的一部分表示平面 一般地 用平行四边形表示空间一个水 平平面的直观图 应用示例应用示例 例 1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 活动 活动 学生回顾讨论斜二测画法的步骤 自己画出来后再互相交流 教 师适当点评 解 解 1 如图 3 1 在 O 上取互相垂直的直径 AB CD 分别以它们 所在的直线为 x 轴与 y 轴 将线段 AB n 等分 过各分点分别作 y 轴的平 行线 交 O 于 E F G H 画对应的 x 轴和 y 轴 使 x O y 45 图 3 2 如图 3 2 以 O 为中点 在 x 轴上取 A B AB 在 y 轴上取 C D 2 1 CD 将 A B n 等分 分别以这些分点为中点 画与 y 轴 平行的线段 E F G H 使 E F EF 2 1 G H GH 2 1 3 用光滑曲线顺次连接 A D F H B G E C A 并擦去辅助线 得到圆的水平放置的直观图 图 3 3 点评 点评 本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 变式训练变式训练 1 画水平放置的等边三角形的直观图 5 答案 答案 略 2 关于 斜二测画法 下列说法不正确的是 A 原图形中平行于 x 轴的线段 其对应线段平行于 x 轴 长度不变 B 原图形中平行于 y 轴的线段 其对应线段平行于 y 轴 长度变为原 来的 2 1 C 在画与直角坐标系 xOy 对应的 x O y 时 x O y 必须是 45 D 在画直观图时 由于选轴的不同 所得的直观图可能不同 分析 分析 在画与直角坐标系 xOy 对应的 x O y 时 x O y 也可以 是 135 所以 C 不正确 答案 答案 C 例 2 如图 4 已知几何体的三视图 用斜二测画法画出它的直观图 图 4 活动 活动 让学生由三视图还原为实物图 并判断该几何体的结构特征 教 师分析 由几何体的三视图知道 这个几何体是一个简单组合体 它的下部 是一个圆柱 上部是一个圆锥 并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合 我们可以先画出下部的圆柱 再画出上部的圆锥 解 解 画法 1 画轴 如图 5 1 画 x 轴 y 轴 z 轴 使 xOy 45 xOz 90 6 1 2 图 5 2 画圆柱的两底面 仿照例 2 画法 画出底面 O 在 z 轴上截取 O 使 OO 等于三视图中相应高度 过 O 作 Ox 的平行线 O x Oy 的平行线 O y 利用 O x 与 O y 画出底面 O 与画 O 一样 3 画圆锥的顶点 在 Oz 上截取点 P 使 PO 等于三视图中相应的高 度 4 成图 连接 PA PB A A B B 整理得到三视图表示的几何 体的直观图 图 5 2 点评 点评 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系 我们能够由空 间几何体的三视图得到它的直观图 同时 也能够由空间几何体的直观 图得到它的三视图 变式训练变式训练 图 6 所示是一个奖