高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 (2)

圆锥曲线圆锥曲线 1 1 圆锥曲线的两定义圆锥曲线的两定义 第一定义第一定义中要重视重视 括号括号 内的限制条件内的限制条件 椭圆椭圆 中中 与两个定点 F F 的距离的和等于常数 且 12 2a 此常数常数一定要大于一定要大于 当常数等于时 2a 21F F 21F F 轨迹是线段 F F 当常数小于时 无轨迹 双双 1221F F 曲线中曲线中 与两定点 F F 的距离的差的绝对值等于 12 常数 且此常数一定要小于 F F 定义中的2a2a 12 绝对值绝对值 与与 F F F F 不可忽视不可忽视 若2a 12 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两条射线 2a 1212 若 F F 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝2a 12 对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如如方程表示的 2222 6 6 8xyxy 曲线是 答 双曲线的左支 2 2 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程 1 椭圆椭圆 焦点在轴上时 x1 2 2 2 2 b y a x 焦点在轴上时 1 0ab y 2 2 2 2 b x a y 方程表示椭圆的充要条0ab 22 AxByC 件是什么 ABC 0 且 A B C 同号 A B 若 且 则的最大Ryx 623 22 yxyx 值是 的最小值是 答 22 yx 5 2 2 双曲线双曲线 焦点在轴上 1 焦x 2 2 2 2 b y a x 点在轴上 1 方程y 2 2 2 2 b x a y 0 0ab 表示双曲线的充要条件是什么 22 AxByC ABC 0 且 A B 异号 如如设中心在坐标原点 焦点 在坐标轴O 1 F 2 F 上 离心率的双曲线 C 过点 则 C2 e 10 4 P 的方程为 答 22 6xy 3 抛物线抛物线 开口向右时 开 2 2 0 ypx p 口向左时 开口向上时 2 2 0 ypx p 开口向下时 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 3 3 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然 后再判断 1 椭圆椭圆 由 分母的大小决定 焦点在x 2 y 2 分母大的坐标轴上 如如已知方程表示焦点在 y 轴1 21 22 m y m x 上的椭圆 则 m 的取值范围是 答 2 3 1 1 2 双曲线双曲线 由 项系数的正负决定 焦x 2 y 2 点在系数为正的坐标轴上 3 抛物线抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项 的符号决定开口方向 提醒提醒 在椭圆中 最大 在双曲a 222 abc 线中 最大 c 222 cab 4 4 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1 椭圆椭圆 以 为例 1 2 2 2 2 b y a x 0ab 范围范围 焦点焦点 两个焦 axabyb 点 对称性对称性 两条对称轴 一 0 c 0 0 xy 个对称中心 0 0 四个顶点 其中 0 0 ab 长轴长为 2 短轴长为 2 准线准线 两条准线ab 离心率离心率 椭圆 2 a x c c e a 01e 越小 椭圆越圆 越大 椭圆越扁 ee 如 如 1 1 若椭圆的离心率 则1 5 22 m yx 5 10 e 的值是 答 3 或 m 3 25 2 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为 1 时 则椭圆长轴的最小值为 答 22 2 2 双曲线双曲线 以 为 22 22 1 xy ab 0 0ab 例 范围范围 或 焦点焦点 两xa xa yR 个焦点 对称性对称性 两条对称轴 0 c 0 0 xy 一个对称中心 0 0 两个顶点 其中实轴长 0 a 为 2 虚轴长为 2 特别地 当实轴和虚轴的长相ab 等时 称为等轴双曲线 其方程可设为 准线准线 两条准线 22 0 xyk k 2 a x c 离心率 双曲线 等轴双曲线 c e a 1e 越小 开口越小 越大 开口越大 2e ee 两条渐近线两条渐近线 b yx a 3 抛物线抛物线 以为例 范围范围 2 2 0 ypx p 焦点 一个焦点 其中的0 xyR 0 2 p p 几何意义是 焦点到准线的距离 对称性对称性 一条对 称轴 没有对称中心 只有一个顶点 0 0 0y 准线准线 一条准线 离心率离心率 抛物 2 p x c e a 线 1e 如如设 则抛物线的焦点坐标Raa 0 2 4axy 为 答 16 1 0 a 5 5 点 点和椭圆和椭圆 的 的 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 关系关系 1 点在椭圆外 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆上 1 3 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 点在椭圆内 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 6 6 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 相交 直线与椭圆相交 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不0 一定有 当直线与双曲线的渐近线平行时 直0 线与双曲线相交且只有一个交点 故是直线与0 双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不0 一定有 当直线与抛物线的对称轴平行时 直0 线与抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直0 线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 2 相切 相切 直线与椭圆相切 直0 0 线与双曲线相切 直线与抛物线相切 0 3 相离相离 直线与椭圆相离 直0 0 线与双曲线相离 直线与抛物线相离 0 提醒提醒 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共直线与双曲线 抛物线只有一个公共 点时的位置关系有两种情形点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线 与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一 个交点 如果直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线 相交 也只有一个交点 2 2 过双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情 00 P xy 况如下 P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区 域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线 两支相切的两条切线 共四条 P 点在两条渐近线 之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行 的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与 另一渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点时 不存在这样的直线 3 3 过抛物线外一点总有三条直 线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平 行于对称轴的直线 7 7 焦点三角形 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点 所构成的三角形 问题问题 当 2 0 tan 2 Sbc y 即为短轴端点时 的最大值为 bc 对 0 yb P max S 于双曲线 如如 1 1 短轴长为 2 tan 2 b S 5 练习 点练习 点 P P 是双曲线上是双曲线上上一点 上一点 为为1 12 2 2 y x 21 F F 双曲线的两个焦点 且双曲线的两个焦点 且 24 24 求 求的的 21 PFPF 21F PF 周长 周长 8 8 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 2 设 AB 为焦点弦 M 为准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 3 设 AB 为焦点弦 A B 在准线上 的射影分别为 A B 若 P 为 A B 的中点 则 1111 PA PB 4 4 若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行 于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点 则 A O C 三点共线 9 弦长公式弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两ykxb 点 A B 且分别为 A B 的横坐标 则 12 x xAB 若分别为 A B 的纵坐标 2 12 1kxx 12 y y 则 若弦 AB 所在直线方程AB 21 2 1 1yy k 设为 则 特别地 xkyb AB 2 12 1kyy 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般 不用弦长公式计算 而是将焦点弦转化为两条焦半径 之和后 利用第二定义求解 1010 圆锥曲线的中点弦问题 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆中 以为中点的弦所在1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 直线的斜率 k 0 2 0 2 ya xb 弦所在直线的方程 垂直平分线的 方程 在双曲线中 以为中点的弦所 22 22 1 xy ab 00 P xy 在直线的斜率 k 在抛物线 0 2 0 2 ya xb 中 以为中点的弦所在直 2 2 0 ypx p 00 P xy 线的斜率 k 0 p y 提醒提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必0 要条件 故在求解有关弦长 对称问题时 务必别忘 了检验 0 1111 了解下列结论 了解下列结论 1 双曲线的渐近线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 b y a x 2 以为渐近线 即与双曲线x a b y 共渐近线 的双曲线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 为参数 0 2 2 2 2 b y a x 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲 线方程可设为 22 1mxny 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称 轴的弦 为 焦准距 焦点到相应准线的距离 2 2b a 为 抛物线的通径为 焦准距为 2 b c 2pp 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的 弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 2 2 0 ypx p 则 1122 A x yB xy 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线顶 2 2 0 ypx p F A P H B Q 点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 恒经过定点 2 0 p 12 圆锥曲线中线段的最值问题 圆锥曲线中线段的最值问题 例例 1 1 抛物线 C y2 4x 上一点 P 到点 A 3 4 2 与到准线的距离和最小 则点 P 的坐标为 2 抛物线 C y2 4x 上一点 Q 到点 B 4 1 与到焦 点 F 的距离和最小 则点 Q 的坐标为 分析 分析 1 A 在抛物线外 如图 连 PF 则 因而易发现 当 A P F 三点共线时 PFPH 距离和最小 2 B 在抛物线内 如图 作 QR l 交于 R 则 当 B Q R 三点共线时 距离和最小 解 1 2 2 21 4 1 1 已知椭圆C1的方程为 双曲线C2的1 4 2 2 y x 左 右焦点分别为C1的左 右顶点 而C2的左 右顶 点分别是C1的左 右焦点 1 求双曲线C2的方程 2 若直线l 与椭圆C1及双曲线2 kxy C2恒有两个不同的交点 且l与C2的两个交点A和B 满足 其中O为原点 求k的取值范围 6 OBOA 解 设双曲线 C2的方程为 则 1 2 2 2 2 b y a x 1 314 22222 bcbaa得再由 故 C2的方程为 II 将 2 2 1 3 x y 0 428 41 1 4 2 222 2 kxxky x kxy得代入 由直线l与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 0 14 16 41 16 28 2222 1 kkk 即 2 1 4 k 由0926 31 1 3 2 222 2 kxxky x kxy得代入将 直线l与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A B 得 2 22 222 2 1 30 1 1 3 6 2 36 1 3 36 1 0 k kk kkk 即且 22 6 29 1 31 3 66 2 2 AABBABAB ABAB ABABABAB k A xyB xyxxxx kk OA OBx xy y x xy yx xkxkx 设则 由得而 2 2 22 2 2 1 2 2 96 2 1 22 1 31 3 37 31 ABAB kx xk xx k kk kk k k 解此不等式得 22 22 371513 6 0 3131 kk kk 于是即 22 131 153 kk 或 由 得 1 15 13 3 1 4 1 22 kk或 故 k 的取值范围为 13311313 1 1 15322315 2 在平面直角 坐标系 xOy 中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点满足 MB OA MA AB MB BA M 点的轨迹为曲线 C 求 C 的方程 P 为 C 上的动点 l 为 C 在 P 点处得切线 求 O 点到 l 距离的最小值 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x 2 再MA MB AB 由愿意得知 0 即 x 4 2y MA MB AB x 2 0 所以曲线 C 的方程式为 y x 2 设 P x y 1 4 2 0 为曲线 C y x 2 上一点 因为 y x 所以 0 1 4 2 1 2 的斜率为x 因此直线 的方程为l 1 2 0 l 即 000 1 2 yyx xx 2 00 220 x xyyx 则 O 点到 的距离 又 l 2 00 2 0 2 4 yx d x 2 00 1 2 4 yx 所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 0 时取等号 所以 O 点到 距离的最小值为 2 2 0 xl 3 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛 物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 4 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴 的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 5 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别 是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF 0 6 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k 7 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛 物线 2 4yx 上一动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之 和的最小值是 8 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 l 的方程为 9 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小 为 10 过抛物线