高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析

1 高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析 一 考试内容 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 二 考试要求 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 了解椭圆的参数方程 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 注意 圆锥曲线是解析几何的重点 也是高中数学的重点内容 高考中主要出现三种类 型的试题 考查圆锥曲线的概念与性质 求曲线方程和轨迹 关于直线与圆锥曲 线的位置关系的问题 三 基础知识 一 椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 椭圆的定义中 平面内动点与两定点 的距离的和大于 1 F 2 F 1 F 这个条件不可忽视 若这个距离之和小于 则这样的点不存在 若距离之和等 2 F 1 F 2 F 于 则动点的轨迹是线段 1 F 2 F 1 F 2 F 2 椭圆的标准方程 0 0 1 2 2 2 2 b y a x ab1 2 2 2 2 b x a y ab 3 椭圆的标准方程判别方法 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小 如果项的分母大于 2 x 项的分母 则椭圆的焦点在 x 轴上 反之 焦点在 y 轴上 2 y 4 求椭圆的标准方程的方法 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待定系 数法求解 二 椭圆的简单几何性质 1 椭圆的几何性质 设椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 b y a x ab 范围 a x a b x b 所以椭圆位于直线 x 和 y 所围成的矩形里 a b 对称性 分别关于 x 轴 y 轴成轴对称 关于原点中心对称 椭圆的对称中心叫做椭圆的中 心 顶点 有四个 a 0 a 0 0 b 0 b 1 A 2 A 1 B 2 B 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 2b a 和 b 分 1 A 2 A 1 B 2 B 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 所以椭圆和它的对称轴有四个交点 称为椭圆的顶点 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 它的值表示椭圆的扁 a c e 平程度 0 e 1 e 越接近于 1 时 椭圆越扁 反之 e 越接近于 0 时 椭圆就越接近于圆 2 椭圆的第二定义 定义 平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e 1 时 这个动点的轨迹是椭圆 a c e 准线 根据椭圆的对称性 0 的准线有两条 它们的方1 2 2 2 2 b y a x ab 2 程为 对于椭圆 0 的准线方程 只要把 x 换成 y 就可以 c a x 2 1 2 2 2 2 b x a y ab 了 即 c a y 2 3 椭圆的焦半径 由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径 设 c 0 c 0 分别为椭圆 0 的左 右两焦点 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x ab M x y 是椭圆上任一点 则两条焦半径长分别为 exaMF 1 exaMF 2 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 椭圆的四个主要元素 a b c e 中有 两个关系 因此确定椭圆的标准 2 a 2 b 2 c a c e 方程只需两个独立条件 4 椭圆的参数方程 椭圆 0 的参数方程为 为参数 1 2 2 2 2 b y a x ab cos sin xa yb 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同 tantan a b 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较1 2 2 2 2 b y a x 1sincos 22 而得到 所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 92 椭圆的参数 22 22 1 0 xy ab ab 方程是 cos sin xa yb 5 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 6 椭圆的切线方程 1 椭圆上一点处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆与直线相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 三 双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数 2a 小于 1 F 2 F 的动点的轨迹叫做双曲线 在这个定义中 要注意条件 2a 这一条 1 F 2 FM 1 F 2 F 件可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 若 2a 则动点的轨迹是两 1 F 2 F 条射线 若 2a 则无轨迹 1 F 2 F 3 若 时 动点的轨迹仅为双曲线的一个分支 又若 时 1 MF 2 MFM 1 MF 2 MF 轨迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中应为 差的绝对值 2 双曲线的标准方程 和 a 0 b 0 这里1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 其中 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 222 acb 1 F 2 F 3 双曲线的标准方程判别方法是 如果项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 如果 2 x 项的系数是正数 则焦点在 y 轴上 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样 2 y 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 4 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方 程后 运用待定系数法求解 四 双曲线的简单几何性质 1 双曲线的实轴长为 2a 虚轴长为 2b 离心率 1 离心率 e 越大 1 2 2 2 2 b y a x a c e 双曲线的开口越大 2 双曲线的渐近线方程为或表示为 若已知双曲线的1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程是 即 那么双曲线的方程具有以下形式 x n m y 0 nymx 其中 k 是一个不为零的常数 kynxm 2222 3 双曲线的第二定义 平面内到定点 焦点 与到定直线 准线 距离的比是一个大于 1 的常数 离心率 的点的轨迹叫做双曲线 对于双曲线 它的焦点坐标是 1 2 2 2 2 b y a x c 0 和 c 0 与它们对应的准线方程分别是和 双曲线 c a x 2 c a x 2 的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 4 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 5 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 y 轴上 0 6 双曲线的切线方程 4 1 双曲线上一点处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线与直线相切的条件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 五 抛物线的标准方程和几何性质 1 抛物线的定义 平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物 线 这个定点 F 叫抛物线的焦点 这条定直线 l 叫抛物线的准线 需强调的是 点 F 不在直线 l 上 否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线 而不是抛物线 2 抛物线的方程有四种类型 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 对于以上四种方程 应注意掌握它们的规律 曲线的对称轴是哪个轴 方程中的该项即为 一次项 一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向 一次项前面是负号 则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向 3 抛物线的几何性质 以标准方程 y2 2px 为例 1 范围 x 0 2 对称轴 对称轴为 y 0 由方程和图像均可以看出 3 顶点 O 0 0 注 抛物线亦叫无心圆锥曲线 因为无中心 4 离心率 e 1 由于 e 是常数 所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的 5 准线方程 2 p x 6 焦半径公式 抛物线上一点 P x1 y1 F 为抛物线的焦点 对于四种抛物线 的焦半径公式分别为 p 0 22 11 22 11 2 2 22 2 2 22 pp ypx PFxypx PFx pp xpyPFyxpyPFy 7 焦点弦长公式 对于过抛物线焦点的弦长 可以用焦半径公式推导出弦长公式 设过抛物线 y2 2px p O 的焦点 F 的弦为 AB A x1 y1 B x2 y2 AB 的倾斜 角为 则有 AB x x p 12 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法 对于其它的弦 只 能用 弦长公式 来求 8 直线与抛物线的关系 直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程 x bx c 0 当 a 0 时 两者的位置关系的判定和椭圆 双曲线相同 用判别式法即可 2 但如果 a 0 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线 此时 直线和抛物线相 交 但只有一个公共点 4 抛物线上的动点可设为 P或 P 其中 pxy2 2 2 2 y p y 或 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 5 5 二次函数的图象是抛物线 1 顶点坐 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 标为 2 焦点的坐标为 3 准线方程是 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 2 41 4 acb y a 6 抛物线的内外部 1 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 7 抛物线的切线方程 1 抛物线上一点处的切线方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 3 抛物线与直线相切的条件是 2 2 0 ypx p 0AxByC 2 2pBAC 六 两个常见的曲线系方程 1 过曲线 的交点的曲线系方程是 1 0f x y 2 0fx y 为参数 12 0f x yfx y 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 其中 当 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 时 表示椭圆 当时 表示双曲线 22 min ka b 2222 min max a bka b 七 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 弦端点 A 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 由方程 消去 y 得到 为直线 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 的倾斜角 为直线的斜率 ABk 八 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线关于点成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 四 基本方法和数学思想 1 椭圆焦半径公式 设 P x0 y0 为椭圆 a b 0 上任一点 焦点为 F1 c 0 1 2 2 2 2 b y a x F2 c 0 则 e 为离心率 0201 exaPFexaPF 6 2 双曲线焦半径公式 设 P x0 y0 为双曲线 a 0 b 0 上任一点 焦点为 1 2 2 2 2 b y a x F1 c 0 F2 c 0 则 1 当 P 点在右支上时 0201 exaPFexaPF 2 当 P 点在左支上时 e 为离心率 0201 exaPFexaPF 另 双曲线 a 0 b 0 的渐进线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 3 抛物线焦半径公式 设 P x0 y0 为抛物线 y2 2px p 0 上任意一点 F 为焦点 则 y2 2px p 0 上任意一点 F 为焦点 2 0 p xPF 2 0 p xPF 4 涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题 5 共渐进线的双曲线标准方程为为参数 0 x a b y 2 2 2 2 b y a x 6 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式 一般地 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB A B 两点分别为 A x1 y1 B x2 y2 则弦长 4 1 1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 这里体现了解析几何 设而不求 4 1 1 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k 的解题思想 7 椭圆 双曲线的通径 最短弦 为 焦准距为 p 抛物线的通径为 2p 焦准距 a b22 c b2 为 p 双曲线 a 0 b 0 的焦点到渐进线的距离为 b 1 2 2 2 2 b y a x 8 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 Ax2 Bx2 1 9 抛物线 y2 2px p 0 的焦点弦 过焦点的弦 为 AB A x1 y1 B x2 y2 则有如下结论 1 x1 x2 p 2 y1y2 p2 x1x2 AB 4 2 p 10 过椭圆 a b 0 左焦点的焦点弦为 AB 则 过右 1 2 2 2 2 b y a x 2 21 xxeaAB 焦点的弦 2 21 xxeaAB 11 对于 y2 2px p 0 抛物线上的点的坐标可设为 y0 以简化计算 p y 2 2 0 12 处理椭圆 双曲线 抛物线的弦中点问题常用代点相减法 设 A x1 y1 B x2 y2 为椭 圆 a b 0 上不同的两点 M x0 y0 是 AB 的中点 则 KABKOM 对于双 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 曲线 a 0 b 0 类似可得 KAB KOM 对于 y2 2px p 0 抛物线有 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b KAB 21 2 yy p 7 13 求轨迹的常用方法 1 直接法 直接通过建立 x y 之间的关系 构成 F x y 0 是求轨迹的最基本的方法 2 待定系数法 所求曲线是所学过的曲线 如直线 圆锥曲线等 可先根据条件 列出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回所列的方程即可 3 代入法 相关点法或转移法 若动点 P x y 依赖于另一动点 Q x1 y1 的变化而变化 并且 Q x1 y1 又在某已知曲线上 则可先用 x y 的代数式表示 x1 y1 再将 x1 y1带入已 知曲线得要求的轨迹方程 4 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义 则可由曲线的定义直接 写出方程 5 参数法 当动点 P x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将 x y 均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 例题 1 求过点 2 1 且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程 错解 错解 设所求直线方程为 1 b y a x 2 1 在直线上 1 12 ba 又 即 ab 8 4ab 2 1 由 得 a 4 b 2 故所求直线方程为 x 2 y 4 剖析 剖析 本题的 陷阱 是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示 上述解法中 由于 对截距概念模糊不清 误将直线在 x 轴和 y 轴上的截距作距离使用而掉入 陷阱 事实上 直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 而不是ab 2 1 ba 2 1 故所求直线方程应为 x 2 y 4 或 1 x 2 1 y 4 0 或 1 x 2 1 y 4 2222 0 例题 2 已知三角形的三个顶点为 A 6 3 B 9 3 C 3 6 求A 错解 错解 kAB 0 k AC 1 tanA 1 63 36 ABAC AC kk kk 1 AB 1 01 1 0 又 0 A 1800 A 450 剖析 剖析 本题的 陷阱 是公式的选取 上述解法中把 到角 与 夹角 的概念混为一谈 错误地选用了夹角公式 事实上 所求角应是直线 AB 到 AC 注意 不是 AC 到 AB 的角 因此 tanA 1 A 1350 ABAC ABAC kk kk 1 例题 3 求过点 A 4 2 且与 x 轴的交点到 1 0 的距离是 5 的直线方程 错解 错解 设直线斜率为 k 其方程为 y 2 k x 4 则与 x 轴的交点为 4 0 k 2 解得 k 故所求直线的方程为 x 5y 6 0 51 2 4 k5 1 8 剖析 剖析 题中仅考虑了斜率存在的情况 忽视了斜率不存在的情况 即经过 A 且垂直于 x 轴 的直线 落入 陷阱 其实 x 4 也符合题意 例题 4 求过点 1 1 且横 纵截距相等的直线方程 错解 错解 设所求方程为 将 1 1 代入得 a 2 1 a y a x 从而得所求直线方程为 x y 2 0 剖析 剖析 上述错解所设方程为 其中不含横 纵截距为 0 的特殊情形 事实上 1 a y a x 横 纵截距为 0 且过点 1 1 的直线 y x 也符合条件 例题 5 已知圆的方程为 x2 y2 ax 2y a2 0 一定点为 A 1 2 要使过 A 点作圆 的切线有两条 求 a 的取值范围 错解 错解 将圆的方程配方得 x 2 y 1 2 2 a 4 34 2 a 其圆心坐标为 C 1 半径 r 2 a 4 34 2 a 当点 A 在圆外时 过点 A 可作圆的两条切线 则 r AC 即 即 a2 a 9 0 解得 a R 22 12 2 1 a 4 34 2 a 剖析 剖析 本题的 陷阱 是方程 x2 y2 ax 2y a 2 0 表示圆的充要条件 上述解法仅由 条件得出 r 即 a2 a 9 0 却忽视了 a 的另一制约条件 4 3 a2 AC 0 事实上 由 a2 a 9 0 及 4 3 a2 0 可得 a 的取值范围是 3 3 2 3 3 2 例题 6 已知直线 L y x b 与曲线 C y 有两个公共点 求实线 b 的取值范围 2 1x 错解 错解 由消去 x 得 2y2 2by b2 1 0 2 1 xy bxy L 与曲线 C 有两个公共点 4b2 8 b2 1 0 解得 b 22 剖析 剖析 上述解法忽视了方程 y 中 y 0 1 x 1 这一限制条件 得出了 2 1x 错误的结论 事实上 曲线 C 和直线 L 有两个公共点等价于方程 有两个不等的非负实根 9 解得 1 b 0 2 1 0 2 2b yy 0 1 8 b 4b 2 21 2 22 1 b yy 2 例题 7 等腰三角形顶点是 A 4 2 底边的一个端点是 B 3 5 求另一个端点 C 的 轨迹方程 错解 错解 设另一个端点的坐标为 x y 依题意有 即 ACAB 22 2 4 yx 22 52 34 x 4 2 y 2 2 10 即为 C 点的轨迹方程 这是以 A 4 2 为圆心 以为半径的圆 剖析 剖析 因为 A B C 三点为三角形三个顶点 所以 A B C 三点不共线 即 B C 不能 重合 且不能为圆 A 一直径的两个端点 这正是解题后没有对轨迹进行检验 出现 增解 造成的解题错误 事实上 C 点的坐标须满足 且 5 3 y x 2 2 5 4 2 3 y x 故端点 C 的轨迹方程应为 x 4 2 y 2 2 10 x3 y5 x5 y 1 它表示以 4 2 为圆心 以为半径的圆 除去 3 5 5 1 两点 10 例题 8 求 z 3 x 5 y 的最大值和最小值 使式中的 x y 满足约束条件 35 1y 153y5x yx x 错解 错解 作出可行域如图 1 所示 过原点作直线 L0 3 x 5 y 0 由于经过 B 点且与 L0平行的直线与原点的距离最近 故 z 3 x 5 y 在 B 点取得最小值 解方程组 得 B 点坐标为 1535 35 yx yx 3 0 z最小 33 50 9 由于经过 A 点且与 L0平行的直线与原点的距离最大 故 z 3x 5y 在 A 点取得最大值 解方程组 得 A 点坐标为 1535 1 yx xy 2 3 2 5 10 z最大 3 5 17 2 3 2 5 剖析 剖析 上述解法中 受课本例题的影响 误 认为在对过原点的直线 L0的平行移动中 与原点距离最大的直线所经过的可行域上的 点 即为目标函数 Z 取得最大值的点 反之 即为 Z 取得最小值的点 并把这一认识移到 不同情况中加以应用 由此造成了解题失误 事实上 过原点作直线 L0 3x 5y 0 由于使 z 3x 5y 0 的区域为直线 L0的 右上方 而使 z 3x 5y 0 的区域 为 L0的 左下方 由图知 z 3x 5y 应在 A 点取得最大值 在 C 点取得最小值 解方程组 得 C 2 1 35 1 yx xy z最小 3 2 5 1 11 例题 9 已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为 抛物线xy 过 B D 两点 cbxxxf 2 1 若正方形中心 M 为 2 2 时 求点 N b c 的轨迹方程 2 求证方程的两实根 满足xxf 1 x 2 x2 21 xx 解答 1 设 2 2 2 2 0Bss Dss s 因为 B D 在抛物线上 所以两式相减得 2 2 2 2 2 2 2 2 sSbSc SSbSc 则代入 1 282sssb 5b 得 2 244 105ssssc 2 88cs 故点的方程是一条射线 N b c5 8 xy 2 设 0B ts ts D ts ts s 同上 2 2 1 2 tstsb tsc tstsb tsc 1 2 得 1 2 b t 3 1 2 得 22 1 0 4 sbttc 11 3 代入 4 消去 得t 22 2 1 1 0 24 bb sc 得 又即的两根满足 2 1 44bc f xx 2 1 0 xbxc 12 x x 12 1xxb 12 xxc 222 121212 4 1 44xxxxx xbc 故 12 2xx 易错原因 审题不清 忽略所求轨迹方程的范围 例题 10 已知双曲线两焦点 其中为的焦点 两点 A 3 2 12 F F 1 F 2 1 1 1 4 yx B 1 2 都在双曲线上 1 求点的坐标 2 求点的轨迹方程 并画出轨迹的草图 1 F 2 F 3 若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点 求实数 t 的取值范围 yxt 2 F 解答 1 由得 故 2 1 1 1 4 yx 2 1 4 1 xy 1 1 0 F 2 设点 则又双曲线的定义得 2 F x y 1212 0AFAFBFBF 又 21 2 2AFAF 或 22 AFBF 2211 4 2F AF BAFBF 点的轨迹是以为焦点的椭圆 2 F A B 除去点或除去点 10 x 1 0 1 4 22 1 2 1 84 xy 图略 1 0 1 4 3 联列 消去得 2 1 2 1 84 yxt xy y 整理得 22 1 2 2 8xxt 22 3 46 2810 xtxtt 当时 得 从图可知 0 A32 3t 32 3 32 3 t 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一 1 0 1 4 1 0 1 4 个交点 即或 51t 12 32 3 32 3 1 5 t 易错原因 1 非标准方程求焦点坐标时计算易错 2 求点的轨迹时易少一种情况 2 F 3 对有且仅有一个交点误认为方程只有一解 例题 11 已知圆1 22 1 yxO 圆 2 O0910 22 xyx都内切于动圆 试求动 圆圆心的轨迹方程 错解 圆 O2 0910 22 xyx 即为 16 5 22 yx 所以圆 O2的圆心为 0 5 2 O 半径4 2 r 而圆1 22 1 yxO的圆心为 0 0 1 O 半径1 1 r 设所求动圆圆心 M 的坐标为 x y 半径为 r 则1 1 MOr且4 2 MOr 所以 3 21 MOMO 即3 5 2222 yxyx 化简得 06498016 22 yxx 即1 4 4 9 2 5 2 2 y x 为所求动圆圆心的轨迹方程 剖析 上述解法将 21 MOMO 3 看成3 21 MOMO 误认为动圆圆心的轨迹 为双曲线 这是双曲线的概念不清所致 事实上 3 21 MOMO表示动点 M 到定点 1 O及 2 O的距离差为一常数 3 且35 21 OO 点 M 的轨迹为双曲线右支 方程为 4 1 4 4 9 2 5 2 2 x y x 例题 12 点 P 与定点 F 2 0 的距离和它到直线 x 8 的距离比是 1 3 求动点 P 与定点 3 4 5 1 P距离的最值 错解 设动点 P x y 到直线 x 8 的距离为 d 则 3 1 d PF 即 3 1 8 2 22 x yx 两边平方 整理得 2 9 4 9 4 5 2 2 2 y x 1 1 13 由此式可得 222 4 9 9 2 1 4 5 yx 因为 22 1 3 4 5 yxPP 222 3 4 9 9 2 1 yy 16 1377 24 8 1 2 y 所以 1 PP153 4 3 16 1377 max 剖析 由上述解题过程知 动点 P x y 在一椭圆上 由椭圆性质知 椭圆上点的横纵坐标都 是有限制的 上述错解在于忽视了2 2 3 2 2 3 y这一取值范围 由以上解题 过程知 1P P的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 即 当2 2 3 y时 2 2 3 3 max1 PP 例题 13 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率 e 3 3 2 过点 A b 0 和 B a 0 的直线与原点的距离为 2 3 直线 y kx m 0 0 mk与该双曲线交于不同 两点 C D 且 C D 两点都在以 A 为圆心的同一圆上 求 m 的取值范围 错解 由已知 有 解之得 1 3 22 ba 2 2 22 4 1 3 3 2 b e a ab ab 所以双曲线方程为1 3 2 2 y x 把直线 y kx m 代入双曲线方程 并整理得 0336 31 222 mkmxxk 所以031 22 km 1 设 CD 中点为 00 yxP 则 AP CD 且易知 2 0 2 0 31 31 3 k m y k km x 所以 k k km k m kAP 1 31 3 1 31 2 2 143 2 mk 2 14 将 2 式代入 1 式得04 2 mm 解得 m 4 或0 m 故所求 m 的范围是 4 0 m 剖析 上述错解 在于在减元过程中 忽视了元素之间的制约关系 将 3 14 2 m k代入 1 式时 m 受 k 的制约 因为0 2 k 所以 4 1 m故所求 m 的范围应为 m 4 或0 4 1 m 例题 14 椭圆中心是坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率 2 3 e 已知点 P 2 3 0 到椭圆 上的点最远距离是7 求这个椭圆的方程 错解 设所求椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 因为 2 22 a ca a b 2 1 1 2 e 所以 a 2b 于是椭圆方程为1 4 2 2 2 2 b y b x 设椭圆上点 M x y 到点 P 2 3 0 的距离为 d 则 222 2 3 yxd 4 9 3 1 4 2 2 2 2 yy b y b34 2 1 3 22 by 所以当 2 1 y时 有1 7 34 2 max 2 bbd 所以所求椭圆方程为1 4 2 2 y x 剖析 由椭圆方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 得byb 由 1 式知 2 d是 y 的二次函数 其对称轴为 2 1 y 上述错解在于没有就对称轴在区间 bb 内或外进行分类 其正解应对 f y 34 2 1 3 22 by的最值情况进行讨论 1 当 2 1 b 即 2 1 b时 15 34 2 1 2 max 2 bfd 71 b 方程为1 4 2 2 y x 2 当b 2 1 即 2 1 b时 7 max 2 bfd 7 b 2 1 2 3 与 2 1 b矛盾 综上所述 所求椭圆方程为1 4 2 2 y x 例题 15 已知双曲线1 2 2 2 y x 问过点 A 1 1 能否作直线l 使l与双曲线交于 P Q 两点 并且 A 为线段 PQ 的中点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明 理由 错解 设符合题意的直线l存在 并设 21 xxP 22 yxQ 则 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x 1 2 得 2121 xxxx 3 2 1 2121 yyyy 因为 A 1 1 为线段 PQ 的中点 所以 5 2 4 2 21 21 yy xx 将 4 5 代入 3 得 2 1 2121 yyxx 若 21 xx 则直线l的斜率2 21 21 xx yy k 所以符合题设条件的直线l存在 其方程为012 yx 剖析 在 3 式成立的前提下 由 4 5 两式可推出 6 式 但由 6 式不能推出 4 5 两式 故应对所求直线进行检验 上述错解没有做到这一点 故是错误的 应在上述解题的基础上 再由 1 2 12 2 2 y x xy 得0342 2 xx 根据08 说明所求直线不存在 例题 16 已知椭圆1 34 1 22 yx C F 为它的右焦点 直线l过原点交椭圆 C 于 16 A B 两点 求 FBFA 是否存在最大值或最小值 若不存在 说明理由 错解 设 A B 两点坐标分别为 AA yx BB yx 因为3 4 22 ba 所以 1 22 bac 4 2 1 2 c a a c e 又椭圆中心为 1 0 右准线方程为 x 5 所以 2 1 5 A x FA 即 5 2 1 A xFA 同理 5 2 1 B xFB 所以 FBFA 1 525 4 1 BABA xxxx 设直线 的方程为 y kx 代入椭圆方程得l096 43 22 xxk 所以 22 43 9 43 6 k xx k BA BA xx 代入 1 式得 FBFA 43 39 25 4 1 2 k 所以 所以FBFA 有最小值 3 无最大值 4 25 3 FBFA 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线 当l的斜率不存在时 有 FBFA 4 25 2 5 2 5 所以FBFA 有最小值为 3 最大值为 25 4 课后练习题 1 圆 x2 2x y2 4y 3 0 上到直线 x y 1 0 的距离等于的点共有 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析 分析 这里直线和圆相交 很多同学受思维定势的影响 错误地认为圆在此直线的两侧各 有两点到直线的距离为 导致错选 D 2 事实上 已知圆的方程为 x 1 2 y 2 2 8 这是一个 以 1 2 为圆心 以 2为2 半径的圆 圆的圆心到直线 x y 1 0 的距离 17 为 d 2 121 2 这样只需画出 x 1 2 y 2 2 8 和直线 x y 1 0 以及和 x y 1 0 的距离为的平行直线即可 2 如图 2 所示 图中三个点 A B C 为所求 故应选 C 2 过定点 1 2 作两直线与圆相切 则 k 的取值范围是 222 2150 xykxyk A k 2 B 3 k 2 C k2 D 以上皆不对 解 答 D 易错原因 忽略题中方程必须是圆的方程 有些学生不考虑 22 40DEF 3 设双曲线的半焦距为 C 直线 L 过两点 已知原点 22 22 1 0 xy ab ab 0 0 ab 到直线 L 的距离为 则双曲线的离心率为 3 4 C A 2 B 2 或 C D 2 3 3 2 2 3 3 解 答 D 易错原因 忽略条件对离心率范围的限制 0ab 4 已知二面角的平面角为 PA PB A B 为垂足 且 l PA 4 PB 5 设 A B 到二面角的棱 的距离为别为 当变化时 点的轨lyx yx 迹是下列图形中的 A B C D 解 答 D 易错原因 只注意寻找的关系式 而未考虑实际问题中的范围 x y x y 5 若曲线与直线 3 有两个不同的公共点 则实数 k 的取值范 2 4yx 2 yk x 围是 A B C D01k 3 0 4 k 3 1 4 k 10k 解 答 C 18 易错原因 将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围 另外没有看 2 4yx 22 4xy 清过点 2 3 且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系 yx 6 已知圆 y 4 和 直线 y mx 的交点分别为 P Q 两点 O 为坐标原点 3 x 22 则 OP OQ A 1 m B C 5 D 10 2 2 1 5 m 正确答案 C 错因 学生不能结合初中学过的切割线定 OP OQ 等于切线长 的平方来解题 7 双曲线 1 中 被点 P 2 1 平分的弦所在直线方程是 9 2 x 4 2 y A 8x 9y 7 B 8x 9y 25 C 4x 9y 16 D 不存在 正确答案 D 错因 学生用 点差法 求出直线方程没有用 验证直线的存在性 8 已知是三角形的一个内角 且 sin cos 则方程 x sin y cos 1 表示 5 1 2 2 A 焦点在 x 轴上的双曲线 B 焦点在 y 轴上的双曲线 C 焦点在 x 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的椭圆 正确答案 D 错因 学生不能由 sin cos 判断角为钝角 5 1 9 过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线 分别交准线于 P Q 两点 又过 P Q 分别作 抛物线对称轴 OF 的平行线交抛物线于 M N 两点 则 M N F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案 B 错因 学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题 10 已知实数 x y 满足 3x2 2y2 6x 则 x2 y2的最大值是 A B 4 C 5 D 2 2 9 正确答案 B 错误原因 忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错 11 过点 0 1 作直线 使它与抛物线仅有一个公共点 这样的直线有 xy4 2 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 0 条 正确答案 C 错解 设直线的方程为 联立 得 1 kxy 1 4 2 kxy xy xkx41 2 即 再由 0 得 k 1 得答案 A 01 42 22 xkxk 剖析 本题的解法有两个问题 一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了 另外又将斜率 k 0 的情形丢掉了 故本题应有三解 即直线有三条 12 已知动点P x y 满足 则P点的轨迹是 22 5 1 2 3411 xyxy 19 A 直线 B 抛物线 C 双曲线 D 椭圆 正确答案 A 错因 利用圆锥曲线的定义解题 忽视了 1 2 点就在直线 3x 4y 11 0 上 13 在直角坐标系中 方程所表示的曲线为 0231 2 yxxyx A 一条直线和一个圆 B 一条线段和一个圆 C 一条直线和半个圆 D 一条线段和半个圆 正确答案 D 错因 忽视定义取值 14 设和为双曲线的两个焦点 点在双曲线上且满足 1 F 2 F1 4 2 2 y x 90 21 PFF 则 的面积是 21PF F A 1 B C 2 D 2 5 5 正解 正解 A 1 4 2 2 y x 5 2 Ca4 21 PFPF 16 2 2 221 2 1 PFPFPFPF 又 90 21 PFF 22 2 2 1 52 PFPF 联立 解得 2 21 PFPF 1 21 PFF S 误解 误解 未将两边平方 再与 联立 直接求出 4 21 PFPF 21 PFPF 15 已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 若双曲线上 0 0 bax a b y 有一点 M 使 那双曲线的交点 00 y x 00 xbya A 在轴上 B 在轴上 C 当时在轴上 D 当时在轴上xyba xba y 正解 正解 B 由得 可设 此时的斜率大于渐近线 00 a yb x 0 0 yb xa 00 0 0 xy OM 的斜率 由图像的性质 可知焦点在轴上 所以选 B y 误解 误解 设双曲线方程为 化简得 22 22 xy ab 222222 b xa ya b 代入 焦点在轴上 这个 00 xy 22222222 000 b xa ba yb x 0 x 20 方法没错 但确定有误 应 焦点在轴上 0 y 误解 误解 选 B 没有分组 16 与圆相切 且纵截距和横截距相等的直线共有 3 5 22 yx A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 6 条 答案 C 错解 A 错因 忽略过原点的圆 C 的两条切线 17 若双曲线的右支上一点 P a b 直线 y x 的距离为 则 a b 的值是1 22 yx2 A B C D 2 1 2 1 2 1 2 答案 B 错解 C 错因 没有挖掘出隐含条件ba 18 双曲线中 被点 P 2 1 平分的弦所在的直线方程为 1 49 22 yx A B C D 不存在798 yx2598 yx694 yx 答案 D 错解 A 错因 没有检验出与双曲线无交点 798 yx 19 过函数 y 的图象的对称中心 且和抛物线 y2 8x 有且只有一个公共点的直线 2 94 x x 的条数共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 不存在 正确答案 B 错误原因 解本题时极易忽视中心 2 4 在抛物线上 切线只有 1 条 又易忽视平行于 抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点 20 双曲线1 916 22 yx 上的点 P 到点 5 0 的距离为 8 5 则点 P 到点 0 5 的距离 错解 设双曲线的两个焦点分别为 0 5 1 F 0 5 2 F 由双曲线定义知8 21 PFPF 所以 5 16 1 PF或5 0 1 PF 21 剖析 由题意知 双曲线左支上的点到