分类思想在初中教学中的渗透

分分类类思思想想在在初初中中教教学学中中的的渗渗透透 唐河县昝岗三初中唐河县昝岗三初中 吴建伟吴建伟 2015 年年 2 月月 分分类类思思想想在在初初中中教教学学中中的的渗渗透透 推行素质教育 培养面向新世纪的合格人才 使学生具有创新意识 在创造中 学会学习 教育应更多的的关注学生的学习方法和策略 数学家乔治 波利亚所说 完善的思想方法犹如北极星 许多人通过它而找到正确的道路 随着课程改革 的深入 应试教育 向 素质教育 转变的过程中 对学生的考察 不仅考查基 础知识 基本技能 更为重视考查能力的培养 如基本知识概念 法则 性质 公 式 公理 定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法 要求学生会观 察 比较 分析 综合 抽象和概括 会阐述自己的思想和观点 从而提高学生的 数学素养 对学生进行思想观念层次上的数学教育 数学学习离不开思维 数学探索需要通过思维来实现 在初中数学教学中逐步 渗透数学思想方法 培养思维能力 形成良好的数学思维习惯 既符合新的课程标 准 也是进行数学素质教育的一个切入点 数学分类思想 就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点 将其分成几个 不同种类的一种数学思想 它既是一种重要的数学思想 又是一种重要的数学逻辑 方法 所谓数学分类讨论方法 就是将数学对象分成几类 分别进行讨论来解决问题 的一种数学方法 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性 综合性 探索 性 能训练人的思维条理性和概括性 分类讨论思想 贯穿于整个中学数学的全部内容中 需要运用分类讨论的思想 解决的数学问题 就其引起分类的原因 可归结为 涉及的数学概念是分类定义 的 运用的数学定理 公式或运算性质 法则是分类给出的 求解的数学问题 的结论有多种情况或多种可能 数学问题中含有参变量 这些参变量的取值会导 致不同结果的 应用分类讨论 往往能使复杂的问题简单化 分类的过程 可培养 学生思考的周密性 条理性 而分类讨论 又促进学生研究问题 探索规律的能力 分类思想不象一般数学知识那样 通过几节课的教学就可掌握 它根据学生的 年龄特征 学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点 逐步渗透 螺旋上升 不 断的丰富自身的内涵 教学中可以从以下几个方面 让学生在数学学习过程中 通过类比 观察 分 析 综合 抽象和概括 形成对分类思想的主动应用 一 渗透分类思想 养成分类的意识 每个学生在日常中都具有一定的分类知识 如人群的分类 文具的分类等 我 们利用学生的这一认识基础 把生活中的分类迁移到数学中来 在教学中进行数学 分类思想的渗透 挖掘教材提供的机会 把握渗透的契机 如数的分类 绝对值的 意义 不等式的性质等 都是渗透分类思想的很好机会 整数 分数 正有理数 零 负有理数 教授完负数 有理数的概念后 及时引导学生对有理数进行分类 让学生了解 到对不同的标准 有理数有不同的分类方法 如分为 有理数 有理数 为下一步分类讨论奠定基础 认识数 a 可表示任意数后 让学生对数 a 进行分类 得出正数 零 负数三类 讲解绝对值的意义时 引导学生得到如下分类 通过对正数 零 负数的绝对值的认识 了解如何用分类讨论的方法学习理解 数学概念 又如 两个有理数的比较大小 可分为 正数和正数 正数和零 正数和负数 负数和零 负数和负数几类情况来比较 而负数和负数的大小比较是新的知识点 这就突出了学习的重点 结合 有理数 这一章的教学 反复渗透 强化数学分类思想 使学生逐步形 成数学学习中的分类的意识 并能在分类讨论的时候注意一些基本原则 如分类的 对象是确定的 标准是统一的 如若不然 对象混杂 标准不一 就会出现遗漏 重复等错误 如把有理数分为 正数 负数 整数 就是犯分类标准不一的错误 在确定对象和标准之后 还要注意分清层次 不越级讨论 二 学习分类方法 增强思维的缜密性 在教学中渗透分类思想时 应让学生了解 所谓分类就是选取适当的标准 根 据对象的属性 不重复 不遗漏地划分为若干类 而后对每一子类的问题加以解答 掌握合理的分类方法 就成为解决问题的关键所在 分类的方法常有以下几种 1 根据数学的概念进行分类 有些数学概念是分类给出的 解答此类题 一般按概念的分类形式进行分类 例 1 化简解 这是按绝对值的意义进行分类 例 2 比较 与 易得 的错误 导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数 而对数 进行分类讨论 既可得到正确的解答 0 时 0 时 a 3 的形式 然后根据不等式的性质可分 为 a 2 0 a 2 0 和 a 2 0 三种情况分别解不等式 当 a 2 0 即 a 2 时 不等式的解是 x 当 a 2 0 即 a 2 时 不等式的左边 0 不等式的右边 1 因为 01 1 所以不等式的解是一切实数 当 a 2 0 即 a 2 时 不等式的解是 x 3 根据图形的特征或相互间的关系进行分类 如三角形按角分类 有锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 直线和圆根据 直线与圆的交点个数可分为 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 底边长为 a 则其腰上 的高是 2002 年河南中考题 分析 本题根据图形的特征 把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类 作高 CD 如图 可得腰上的高是 或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类 在证明圆周角定理时 由于圆心的位置有在角的边上 角的内部 角的外部三 种不同的情况 因此分三种不同情况分别讨论证明 先证明圆心在圆周角的一条边 上 这种最容易解决的情况 然后通过作过圆周角顶点的直径 利用先证明 圆心 在圆周角的一条边上 的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角 的外部这两种情况 这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方 法 它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法 教材中在证明 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 也是如此分圆心在弦切角的一 条边上 弦切角的内部 弦切角的外部三种不同情况解决的 三 引导分类讨论 提高合理解题的能力 初中课本中有不少定理 法则 公式 习题 都需要分类讨论 在教授这些内 容时 应不断强化学生分类讨论的意识 让学生认识到这些问题 只有通过分类讨 论后 得到的结论才是完整的 正确的 如不分类讨论 就很容易出现错误 在解 题教学中 通过分类讨论还有利于帮助学生概括 总结出规律性的东西 从而加强 学生思维的条理性 缜密性 一般来讲 利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类 其一是涉及代数 式或函数或方程中 根据字母不同的取值情况 分别在不同的取值范围内讨论解决 问题 其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况 逐一讨论解决问题 例 4 已知函救 y m 1 x2 m 2 x 1 m 是实数 如果函数的图象和 x 轴只有一个交点 求 m 的值 分析 这里从函数分类的角度讨论 分 m 1 0 和 m 110 两种情况来研究 解决问题 解 当 m l 时函数就是一个一次函数 y x 1 它与 x 轴只有一个交点 1 0 当 m11 时 函数就是一个二次函数 y m 1 x2 m 2 x 1 当 m 2 2 4 m 1 0 得 m 0 抛物线 y x2 2x 1 的顶点 1 0 在 x 轴上 例 5 函数 y x6 x5 x4 x3 x2 x 1 求证 y 的值恒为正数 分析 将 y 的表达式分解因式 虽可证得结论但较难 分析可发现 若将变量 x 在实数范围内适当分类 则问题容易解决 证明 当 x 0 时 x5 x3 x 0 y 1 恒成立 当 0 x x5 x2 x3 1 x y 0 成立 当 x 1 时 y 1 0 成立 当 x 1 时 y x6 x5 x4 x3 x2 x 1 x6 x5 x4 x3 x2 x y 1 成立 综上可知 y 0 成立 例 6 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形 ACD 是含 30 角的直角三角形 ABC 和 ACD 拼成一个凸四边形 ABCD 1 画出四边形 ABCD 2 求四边 形 ABCD 的面积 分析含 30 角的直角三角形 ACD 中我们可以把 AC 作为斜边 AC 作为直角 边二类情况来研究 如图 1 是以 AC 为斜边和等边三角形 ABC 拼成的四边形 ABCD DDAC 30 和 DDAC 60 这两种图形算出的四边形 ABCD 面积相同的 故归纳为同一类 AC 为直角边又可分为二种不同情况如图 2 和 3 从图 1 S 四边 形 ABCD 从图 2 可算得 S 四边形 ABCD 可算得 S 四边形 ABCD 3 由以上的几个例子 我们可以