带通抽样定理

信号与系统A 2 课程自学报告 实施报告 题 目 带通采样定理与软件无线电 2 带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号 这种信号的带宽往往远小于 信号中心频率 若带通信号的上截止频率为 H f 下截止频率为 L f 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率 H f 可按照带通抽样定 理确定抽样频率 定理定理 带通抽样定理带通抽样定理 一个频带限制在 HL ff内的时间连续信号 tx 信号带宽 LH ffB 令NBfM H 这里N为不大于 BfH 的最大正整数 如果抽样频率 s f满足条件 m f f m f L s H 2 1 2 10 Nm 3 1 9 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号 tx 对信号 tx以频率 s f抽样后 得到的采样信号 s nTx的频谱是 tx的频 谱经过周期延拓而成 延拓周期为 s f 如图 3 3 所示 为了能够由 抽样序列无失真的重建原始信号 tx 必须选择合适的延拓周期 也 就是选择采样频率 使得位于 HL ff和 LH ff 的频带分量不会和 延拓分量出现混叠 这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原 始信号 由于正负频率分量的对称性 我们仅考虑 HL ff的频带分量不会出 现混叠的条件 在抽样信号的频谱中 在 HL ff频带的两边 有着两个延拓频谱分 量 sLsH mffmff 和 1 1 sLsH fmffmf 为了避免混 叠 延拓后的频带分量应满足 LsL fmff 3 1 10 HsH ffmf 1 3 1 11 综合式 3 1 10 和式 3 1 11 并整理得到 m f f m f L s H 2 1 2 3 1 12 这里m是大于等于零的一个正数 如果m取零 则上述条件化 为 Hs ff2 3 1 13 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样 m取得越大 则符合式 3 1 12 的采样频率会越低 但是m有 一个上限 因为 m f f L s 2 而为了避免混叠 延拓周期要大于两倍的 信号带宽 即Bfs2 因此 3 B f B f f f m LL s L 2 22 3 1 14 由于N为不大于BfH 的最大正整数 因此不大于BfL 的最大正整数 为1 N 故有10 Nm 综上所述 要无失真的恢复原始信号 tx 采样频率 s f应满足 m f f m f L s H 2 1 2 10 Nm 3 1 15 f 0 0 f fX fXs L f H f H f L f L f H f H f L f sL mff sH fmf 1 sL mff sH fmf 1 s f s f 图图 3 3 带通采样信号的频谱带通采样信号的频谱 带通抽样定理在频分多路信号的编码 数字接收机的中频采样数字 化中有重要的应用 作为一个特例 我们考虑NBfH 1 N 的情况 即上截止频率为 带宽的整数倍 若按低通抽样定理 则要求抽样频率NBfs2 抽样 后信号各段频谱间不重叠 采用低通滤波器或带通滤波器均能无失 真的恢复原始信号 根据带通抽样 若将抽样频率取为Bfs2 m值 取为1 N 抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠 采用带通滤 波器仍可无失真地恢复原始信号 但此时抽样频率远低于低通抽样 定理NBfs2 的要求 图 3 4 所示为BfH3 Bfs2 时抽样信号的频 谱 4 2B3B 3B 2B f 0 4B5B0 B f f 0B 5B 4B f 0B B fX s ffX s ffX fXs 图图 3 4 BfH3 Bfs2 时的抽样频谱时的抽样频谱 在带通抽样定理中 由于 10 M 带通抽样信号的抽样频率在 B2 到 B4 之间变化 如图 3 5 所示 s f H f 1 NM 2 1 3 1 4 1 5 1 B2B3B4B5B6B B 2B 3B 5B 0 图图 3 5 带通抽样定理带通抽样定理 由以上讨论可知 低通信号的抽样和恢复比起带通信号来 要简单 通常 当带通信号的带宽当带通信号的带宽B大于信号的最低频率大于信号的最低频率 L f时 在抽样时把信号当作低通信号处理 使用低通抽样定时 在抽样时把信号当作低通信号处理 使用低通抽样定 理理 而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理 模拟电 话信号经限带后的频率范围为 300Hz 3400Hz 在抽样时按 5 低通抽样定理 抽样频率至少为 6800Hz 由于在实际实现 时滤波器均有一定宽度的过渡带 抽样前的限带滤波器不 能对 3400Hz 以上频率分量完全予以抑制 在恢复信号时也 不可能使用理想的低通滤波器 所以对语音信号的抽样频 率取为 8kHz 这样 在抽样信号的频谱之间便可形成一定 间隔的保护带 既防止频谱的混叠 又放松了对低通滤波 器的要求 这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法 在实际应用中是很常见的 软件无线电所覆盖的频率范围一般都比较宽 只有宽频段才能具有广泛的适应性 这样宽的频段号的频谱 Xs 可表示为 Xs 1 Ts n X n s 用 Nyquist 低通采样 1 是不现实的 而实际上软件无 线电中的各种无线电信号的瞬时信号带宽都比较 窄 这样采用带通采样将使采样速率大大降低 本 文重点是通过对带通采样定理进行严格的数学推导 和论证 利用一系列不等式组提出了带通采样理论 上能达到的最小采样速率 6 用用 matlab 对定理进行仿真对定理进行仿真 fs 100000 抽样频率 N 2 16 t 0 N 1 fs t 时间 W 0 N 1 fs N W 频率 y cos 1200 2 pi t cos 1250 2 pi t cos 1300 2 pi t y 原始信号 chyang zeros 1 N 抽样信号 T round fs 250 频率为 250HZ for i 1 N if mod i T 0 chyang i 1 end end y2 y chyang y2 为抽样后的信号 7 hw fft y N 快速傅里叶变换 HW abs hw 取幅度值 W 0 N 1 fs N 频率值 figure 1 subplot 2 1 1 plot t 1 8000 y 1 8000 grid on title 滤波前信号 y xlabel 时间 s 原始信号 subplot 2 1 2 plot W 1 N 64 HW 1 N 64 查看信号频谱 grid on title 滤波前信号频谱图 xlabel 频率 Hz ylabel 振幅 H e jw 8 hwch fft chyang N HWCH abs hwch 取幅度值 W 0 N 1 fs N 频率值 figure 2 subplot 2 1 1 stem t 1 10000 chyang 1 10000 grid on title 抽样信号 chyang xlabel 时间 s subplot 2 1 2 plot W 1 N 64 HWCH 1 N 64 agrid on title 抽样信号频谱图 xlabel 频率 Hz ylabel 振幅 H e jw 9 hw2 fft y2 N 快速傅里叶变换 HW2 abs hw2 取幅度值 W 0 N 1 fs N 频率值 figure 3 subplot 2 1 1 plot t 1 8000 y2 1 8000 grid on title 采样之后 xlabel 时间 s subplot 2 1 2 plot W 1 N 64 HW2 1 N 64 设置带通滤波器 ws 1130 fs 2 1370 fs 2 ws1 ws2 阻带截止频率 wp 1180 fs 2 1320 fs 2 wp1 wp2 通带截止频率 n wn buttord wp ws 3 15 求滤波器阶数 n 与截止频率 wn b a butter n wn 求滤波器 H s 的表达式的分子 分母系数 b a y3 filter b a y2 y2 为 y 经过滤波器之后的函数 hw3 fft y3 N HW3 abs hw3 10 figure 4 subplot 2 1 1