第六章梁的弯曲内力.ppt

单元一受弯构件的剪力与弯矩计算 单元二受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 单元三受弯构件的应力与强度计算 任务六受弯构件的内力与应力计算 一 平面弯曲的概念 1 弯曲当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时 杆轴由直线弯成曲线的变形 轴线是直线的称为直梁 轴线是曲线的称为曲梁 有对称平面的梁称为对称梁 没有对称平面的梁称为非对称梁 2 梁以弯曲变形为主的杆件称为梁 单元一受弯构件的剪力与弯矩计算 3 平面弯曲 对称弯曲 若梁上所有外力都作用在纵向对称面内 梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲 4 非对称弯曲 若梁不具有纵向对称面 或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲 一 平面弯曲的概念 单元一受弯构件的剪力与弯矩计算 一 平面弯曲的概念 M 弯曲后梁的轴线 挠曲线 平面弯曲 梁的挠曲线与载荷作用面共面 纵向对称面 通过梁轴线和截面对称轴的平面 一 平面弯曲的概念 单元一受弯构件的剪力与弯矩计算 工程中常见的梁 其横截面均有对称轴 例如 一 平面弯曲的概念 梁的截面形式 单元一受弯构件的剪力与弯矩计算 二 梁的荷载及计算简图 研究对象 等截面直梁 且外力作用在梁对称面内的平面力系 1 梁的计算简图 梁轴线代替梁 将荷载和支座加到轴线上 2 梁的支座简化 平面力系 a 滑动铰支座 b 固定铰支座 c 固定端 3 静定梁 仅用静力平衡方程即可求得反力的梁 a 悬臂梁 b 简支梁 c 外伸梁 4 作用在梁上的荷载可分为 a 集中荷载 b 分布荷载 二 梁的荷载及计算简图 三 平面弯曲工程实例 q 三 平面弯曲工程实例 三 平面弯曲工程实例 三 平面弯曲工程实例 四 截面法求内力 截开 代替 平衡 单元一受弯构件的剪力与弯矩计算 设有一简支梁AB 受集中力F作用 现分析距A端为x处的横截面m m上的内力 x 解 1 根据平衡条件求支座反力 2 截取m m截面左段 A x M 剪力 使截面不产生移动 弯矩M 使截面不产生转动 得 o 求弯曲内力 剪力和弯矩 的基本方法 截面法 如截取m m截面右段梁 l x B b M 由作用力与反作用力 得 3 根据变形规定内力符号 同一位置处左 右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号 内力正负号规则 得 得 剪力 平行于横截面的内力 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正 反之 为负 顺转剪力为正 逆转剪力为负 五 剪力和弯矩的正负号规定 弯矩 绕截面转动的内力偶 使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正 反之为负 梁上压下拉的弯矩为正 下凸弯矩为正 上凸弯矩为负 五 剪力和弯矩的正负号规定 弯矩 梁上压下拉弯矩为正 上凹下凸弯曲变形弯矩为正 例1求下图所示简支梁1 1与2 2截面的剪力和弯矩 解 1 求支反力 2 计算1 1截面的内力 3 计算2 2截面的内力 例2一简支梁受力如图所示 试求C截面 跨中截面 上的内力 解 1 根据平衡条件求支座反力 2 求C截面 跨中截面 上的内力 得到 剪力的实际方向与假设方向相反 为负剪力 得到 弯矩M的实际方向与假设方向相同 为正弯矩 如以右侧梁作为研究对象 则 取左段梁为研究对象 取右段梁为研究对象 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和 六 计算剪力和弯矩的简便方法 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力 力和力偶 对截面形心力矩的代数和 取左段梁为研究对象 取右段梁为研究对象 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力 力和力偶 对截面形心力矩的代数和 六 计算剪力和弯矩的简便方法 梁的截面左侧向上的外力或梁的截面右侧向下的外力引起的剪力为正 反之 则为负 可概括为 左上或右下 剪力为正 剪力 梁的截面左侧向上的外力或梁的截面右侧向下的外力引起的剪力为正 反之 则为负 可概括为 左上或右下 剪力为正 剪力 六 计算剪力和弯矩的简便方法 弯矩 左顺或右逆 弯矩为正 梁的截面左侧顺时针方向转动的力矩或梁的截面右侧逆时针方向转动的力矩引起的弯矩为正 反之 则为负 可概括为 外力向上 弯矩为正 左顺或右逆 弯矩为正 梁的截面左侧顺时针方向转动的力矩或梁的截面右侧逆时针方向转动的力矩引起的弯矩为正 反之 则为负 可概括为 外力向下 弯矩为负 弯矩 解 1 根据平衡条件求支座反力 例3一外伸梁受力如图所示 试求C截面 截面和上的内力 2 求指定横截面上的剪力和弯矩 C截面 例3 截面 例3 截面 与截面相比 该截面的内力只增加了约束反力 故有 例3 1 剪力和弯矩方程 2 剪力和弯矩图 剪力 弯矩方程的图形 横轴沿轴线方向表示截面的位置 纵轴为内力的大小 弯曲内力 单元二受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 例4作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图 解 单元二受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 例5图示简支梁受均布荷载q的作用 作该梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 建立剪力方程和弯矩方程 在均布荷载作用的梁段 剪力图为斜直线 弯矩图为二次抛物线 在剪力等于零的截面上弯矩有极值 结论 例5 例6在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F 作该梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 建立剪力方程和弯矩方程 结论 在集中力作用点 弯矩图发生转折 剪力图发生突变 其突变值等于集中力的大小 从左向右作图 突变方向沿集中力作用的方向 例6 结论 在集中力偶作用点 弯矩图发生突变 其突变值为集中力偶的大小 例7在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M 作该梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 建立剪力方程和弯矩方程 例8悬臂梁受力如图所示 试列出梁的剪力方程和弯矩方程 作出梁的剪力图和弯矩图 并求出梁的和及其所在截面位置 取参考坐标系Axy 解 1 列出梁的剪力方程和弯矩方程 AB段 BC段 2 作梁的剪力图和弯矩图 3 求和 在BC段的各截面 在AB段的各截面 例8 P Pa 外伸梁受力如图所示 试列出梁的剪力方程和弯矩方程 作出梁的剪力图和弯矩图 解 1 取参考坐标系Cxy 根据平衡条件求支座反力 例9 2 列出梁的剪力方程和弯矩方程 CA段 AB段 x 例9 3 作梁的剪力图和弯矩图 qa E 例6 9 一 剪力 弯矩和分布载荷间的微分关系 规定q x 向上为正 任取微段 认为其上q x 为常数 假设内力均为正向 单元二受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 O q x 微分关系推导 忽略 1 微分关系的几何意义 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小 2 各种荷载下剪力图与弯矩图的特征 二 讨论微分关系的几何意义 内力V M的变化规律 归纳如下 载荷 水平直线 or or 上斜直线 下凸抛物线 上凸抛物线 下斜直线 剪力图无突变 F处有尖角 斜直线 1 先利用计算法则计算分段点V M值 2 利用微分关系判断并画出分段点之间的V M图 3 其它规律 M max可能发生在剪力为零处 集中力作用处 集中力偶作用处 q突变反向 剪力图有尖点 弯矩图有凸凹性反转拐点 荷载图关于梁左右对称 则剪力图关于梁中点反对称 弯矩图左右对称 荷载图关于梁中点反对称 则剪力图左右对称 弯矩图关于梁中点反对称 三 利用微分关系作剪力弯矩图 单元二受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 8 V图 kN M图 kN m 16 例10试作梁的剪力图 弯矩图 8 12 8 解 12 24 例11试作梁的剪力图 弯矩图 x 12 24 例11试作梁的剪力图 弯矩图 x 27 解 1 绘剪力图 弯矩图 确定最大内力 Mmax 39kN m Vmax 17kN m 1 求支反力 2 绘M V图 练习 例12作图示外伸梁AB的V M图 解 1 根据平衡条件求支座反力 2 由微分关系判断各段的形状 荷载 CA DB AD 斜直线 斜直线 例12 A B 1m 1m 4m F 3kN C D 4 作M图 3 4 2 3 8 E x 3 作V图 3 3 8 2 2 1 41 例12 1 叠加原理 当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和 2 区段叠加法作弯矩图 设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA MB的作用 其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到 即 单元二受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 注意 这里所说的弯矩叠加 是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合 d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样 也是垂直于杆轴线AB 1 选定外力的不连续点 如集中力 集中力偶的作用点 分布力的起点和终点等 为控制截面 求出控制截面的弯矩值 2 分段画弯矩图 当控制截面之间无荷载时 该段弯矩图是直线图形 当控制截面之间有荷载时 用叠加法作该段的弯矩图 利用内力图的特性和弯矩图叠加法 将梁弯矩图的一般作法归纳如下 用叠加法画弯矩图 用叠加法画弯矩图 Fl M 例6 13试用叠加法作梁的弯矩图 4kN m 4kN m 4kN m 2kN m 4kN m 4kN m 6kN m 4kN m 2kN m 1 集中荷载作用下 2 集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 1 悬臂段分布荷载作用下 2 跨中集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 例14 例15 MB 例6 16作图示简支梁的弯矩图 用叠加法画弯矩图 例6 17 F 2 区段叠加法作弯矩图 ql2 2 ql2 4 ql2 8 qL qL M图 V图 ql2 4 例18 计算无误 2 选定外力变化处为控制截面 并求出它们的弯矩 求支座反力 校核 例19 12 4 8 10 4 2 例16 例19 12 4 8 10 4 2 重新播放 重新播放请点 D F 16kN m 1m 2m 2m 1m Q图 kN 7 H M图 kN m 1m 例20 M图 kN m 55 5 例21 例6 10作图示外伸梁AB的V M图 解 1 求支反力 CA和DB段 q 0 V图为水平线 M图为斜直线 AD段 q 0 V图为向下斜直