极坐标高考题的几种常见题型

极坐标高考题的几种常见题型极坐标高考题的几种常见题型 贵州省册亨民族中学 552200 韦万祥 和直角坐标系一样 极坐标系是常用的一种坐标系 极坐标是历年理工类高考 必考的内容 随着新课程改革的深入 在 2007 年 4 个省市新课标高考试题中有 3 个省市考查了极坐标 涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用 多以选 择题 填空题形式出现 以考查基本概念 基本知识 基本运算为主 一般属于容易 题 一 极坐标方程与直角坐标方程的互化一 极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件 极点与原点重合 极轴与 x 轴正半轴重合 长度单位相同 互化公式 或 sin cos y x 0 tan 222 x x y yx 的象限由点 x y 所在的象限确定 例例 1 2007 海南宁夏海南宁夏 O1和 O2的极坐标方程分别为 cos4 sin4 I 把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 II 求经过 O1 O2交点的直线的直角坐标方程 解 以极点为原点 极轴为 x 轴正半轴 建立平面直角坐标系 两坐标 系中取相同的长度单位 I 由得 所以 cos x sin y cos4 cos4 2 xyx4 22 即为 O1的直角坐标方程 04 22 xyx 同理为 O2的直角坐标方程 04 22 yyx II 解法一 由解得 04 04 22 22 yyx xyx 0 0 1 1 y x 2 2 2 2 y x 即 O1 O2交于点 0 0 和 2 2 过交点的直线的直角坐标方程为 y x 解法二 由 两式相减得 4x 4y 0 即过交点的直线的直角坐 04 04 22 22 yyx xyx 标方程为 y x 评述 本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所 在直线方程的求法 例例 2 2003 全国全国 圆锥曲线的准线方程是 2 cos sin8 A B C D 2cos 2cos 2sin 2sin 解 由去分母后两边同时乘以得 所以 x2 8y 其 2 cos sin8 sin8cos2 2 准线方程为 y 在极坐标系中方程为 故选 C 2 2sin 例例 3 1998 年上海年上海 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 若椭圆两焦点的极坐标分别是 1 1 长轴长是 4 则此 2 2 3 椭圆的直角坐标方程是 解 由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为 0 1 0 1 c 1 a 2 b2 a2 c2 3 故所求椭圆的直角坐标方程为 1 43 22 yx 评述 评述 点的直角坐标与极坐标的互化 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的 互化要熟练掌握 类题 1 1995 年上海 把直角坐标系的原点作为极点 x 轴的正半轴作为极轴 并且 在两种坐标系中取相同的长度单位 若曲线的极坐标方程是 则它 1cos4 1 2 2 的直角坐标方程是 答案 3x2 y2 1 2 1998 年全国 曲线的极坐标方程 4sin化成直角坐标方程为 A x2 y 2 2 4 B x2 y 2 2 4 C x 2 2 y2 4 D x 2 2 y2 4 答案 B 3 2002 北京 已知某曲线的参数方程是 为参数 若以原点为极点 x 轴 tan sec y x 的正半轴为极轴 长度单位不变 建立极坐标系 则该曲线的极坐标方程是 A B C D 答案 D 1 12cos 12sin 2 12cos 2 二 已知曲线的极坐标方程二 已知曲线的极坐标方程 判断曲线类型判断曲线类型 常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性 1 直线的极坐标方程 a 0 1 过极点 并且与极轴成 角的直线的极坐标方程 2 垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程 cos a 3 平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程 sin a 4 不过极点 和极轴成角 到极点距离为 a 的直线的极坐标方程 sin a 2 圆的极坐标方程 a 0 1 圆心在极点 半径为 a 的圆的极坐标方程 a 2 圆心在 a 0 半径为 a 的圆的极坐标方程 2acos 3 圆心在 a 半径为 a 的圆的极坐标方程 cos2a 4 圆心在 a 半径为 a 的圆的极坐标方程 2asin 2 5 圆心在 a 半径为 a 的圆的极坐标方程 2 3 sin2a 6 圆心在 a 0 半径为 a 的圆的极坐标方程 2acos 0 3 极坐标系中的旋转不变性 曲线 f 0 是将曲线 f 0 绕极点旋转 角 时 按顺 0 时针方向旋转 时 按逆时针方向旋转 而得到 0 例例 4 1990 年全国年全国 极坐标方程 4sin2 5 所表示的曲线是 2 A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 解 由已知极坐标方程及三角公式得 2 1 cos 5 2 2cos 5 由互化公式得 2 2x 5 平方整理得 22 yx y2 5 x 方程表示的曲线是抛物线 故选 D 4 5 评述 对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的 一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型 类题 1 1991 年三南 极坐标方程 4sin2 3 表示的曲线是 A 二条射线 B 二条相交直线 C 圆 D 抛物线 答案 B 2 1987 年全国 极坐标方程 sin 2cos所表示的曲线是 A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 3 2001 年广东 河南 极坐标方程 2cos2 1 所表示的曲线是 A 两条相交直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 答案 D 4 2003 北京 极坐标方程表示的曲线是1cos22cos 2 A 圆 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 D 例例 5 1994 年全国年全国 极坐标方程 cos 所表示的曲线是 4 A 双曲线 B 椭圆 C 抛物线 D 圆 解 曲线 cos cos 是把圆 cos绕极点按逆时针方向旋 4 4 转而得 曲线的形状仍然是一个圆 故选 D 4 评述 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦 利用旋转不变性则更容易 得出答案 方程cos 0 0 表示一条直线 方程 acos 0 表示半径为 2 a 圆心为 0 的圆 要注意两者的区别 2 a 例例 6 2001 年全国年全国 极坐标方程 2sin 的图形是 4 A B C D 解 圆 2sin 是把圆 2sin绕极点按顺时针方向旋转而得 圆心的极 4 4 坐标为 1 故选 C 4 1 x 0 1 x 0 1 x 0 x 0 1 0 x 0 x 0 x 0 x 类题 1 2002 江苏 极坐标方程与 的图形是 cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B C D 答案 B 2 2004 北京春 在极坐标系中 圆心在 且过极点的圆的方程为 2 A B C D cos22 cos22 sin22 sin22 答案 B 三 判断曲线位置关系三 判断曲线位置关系 例例 7 2000 年京皖春年京皖春 直线 和直线sin 1 的位置关系 A 垂直 B 平行 C 相交但不垂直 D 重合 解 直线sin 1 是把直线sin 1 绕极点按逆时针方向旋转角 而得 从而两直线平行 故选 B 评注 对直线sin 1 与直线sin 1 的关系要十分熟悉 四 根据条件求直线和圆的极坐标方程四 根据条件求直线和圆的极坐标方程 例例 8 2002 北京春北京春 在极坐标系中 如果一个圆的方程是 4cos 6sin 那么 过圆心且与极轴平行的直线方程是 A sin 3 B sin 3 C cos 2 D cos 2 解 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得 x2 y2 4x 6y 即 x 2 2 y 3 2 13 圆心为 2 3 所求直线方程为 y 3 即 sin 3 故选 A 评述 注意直线的直角坐标方程极易求出 类题 1 1992 年上海 在极坐标方程中 与圆 4sin相切的一条直线的方程是 A sin 2 B cos 2 C cos 4 D cos 4 答案 B 2 1993 年上海 在极坐标方程中 过点 M 2 且平行于极轴的直线的极坐 2 标方程是 答案 sin 2 3 1994 年上海 已知点 P 的极坐标为 1 那么过点 P 且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为 A 1 B cos C D 答案 C cos 1 cos 1 4 2000 年全国 以极坐标系中点 1 1 为圆心 1 为半径的圆的方程是 A 2cos B 2sin C 2cos 1 D 2sin 1 4 4 答案 C 五 求曲线中点的极坐标五 求曲线中点的极坐标 例例 9 2003 上海上海 在极坐标系中 定点 A 1 点 B 在直线 2 上运动 当线段 AB 最短时 点 B 的极坐标是 0sincos 解 在直角坐标系中 A 点坐标为 0 1 B 在直线 x y 0 上 AB 最短 则 B 为 化为极坐标为 2 1 2 1 4 3 2 2 例例 10 1999 年上海年上海 极坐标方程 5 2cos2 2 24 0 所表示的曲线焦点的极坐标 为 解 由 5 2cos2 2 24 0 得 52 cos2 sin2 2 24 0 化为直角坐标方 程得 该双曲线的焦点的直角坐标为 0 与 0 故所求 1 64 22 yx 1010 焦点的极坐标为 0 1010 评述 本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识 掌握点的直角坐标与极坐标 的对应关系极为有用 例例 11 2001 年京皖蒙春年京皖蒙春 极坐标系中 圆 4cos 3sin的圆心的坐标是 A arcsin B 5 arcsin C 5 arcsin D arcsin 2 5 5 3 5 4 5 3 2 5 5 4 解 由 4cos 3sin 5 cos sin 5cos 其中 sin 5 4 5 3 5 3 所以所求圆心坐标为 arcsin 故选 A 2 5 5 3 类题 2002 上海 若 A B 两点的极坐标为 A 4 B 6 0 则 AB 中点的极坐标 3 是 极角用反三角函数值表示 答案 4 3 arctan 19 六 求距离六 求距离 例例 12 2007 广东文广东文 在极坐标系中 直线 的方程为 sin 3 则点 2 到 6 直线 的距离为 解 将直线 的极坐标方程 sin 3 化为直角坐标系方程得 y 3 点 2 在直角坐标系中为 1 故点 2 到直线 的距离为 2 6 3 6 评注 本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化 例例 13 1992 年全国 年全国 1996 年上海年上海 极坐标方程分别是 cos和 sin的 两个圆的圆心距是 A 2 B C 1 D 2 2 2 解法一 两圆的圆心坐标分别为 0 与 由此求得圆心距为 选 D 2 1 2 1 2 2 2 解法二 将极坐标方程化成直角坐标方程得 x 2 y2 与 x2 y 2 2 1 4 1 2 1 4 1 由此求得圆心距为 选 D 2 2 评述 本题考查对极坐标的理解 理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解 一般理解者 化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案 例例 14 1997 年全国年全国 已知直线的极坐标方程为sin 则极点到该直线 4 2 2 的距离是 解法一 化直线方程为 根据极坐标的概念极点到该直线 4 sin 2 2 的距离等于这个函数 的最小值 当 sin 1 时 取最小值即为所求 4 2 2 解法二 对极坐标欠熟悉时 可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程 x y 1 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为 2 2 类题 1 2000 年上海 在极坐标系中 若过点 3 0 且与极轴垂直的直线交曲线 4cos于 A B 两点 则 AB 答案 2 3 2 2004 上海 在极坐标系中 点 M 4 到直线 的距离 3 4 sincos2 d 答案 5 152 七 判定曲线的对称性七 判定曲线的对称性 例例 15 1999 年全国年全国 在极坐标系中 曲线 4sin 关于 3 A 直线 轴对称 B 直线 轴对称 3 6 5 C 点 2 中心对称 D 极点中心对称 3 解 把圆 4sin绕极点按逆时针方向旋转便得到曲线 3 4sin