市场经济中的蛛网模型 (2)

1 目录目录目录 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型 2 摘要 2 一 问题重述 3 二 模型条件假设 3 三 符号约定 3 四 问题分析 3 五 模型建立和求解 3 5 1 蛛网模型建立和求解 3 5 2 差分方程模型建立和求解 5 六 模型分析 6 七 模型推广 8 八 参考文献 9 2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型 摘要 在市场经济中商品的价格是由消费者的需求关系决定 商品数量越多 价 格越低 而下一生产周期商品的数量是由生产者的供应关系决定 商品价格越 低 生产的数量就越少 这样的需求和供应关系就决定了市场经济中商品的价格 和数量是存在震荡的 本文首先用图形方法建立蛛网模型 对市场经济中商品的价格和数量存在 的震荡现象进行分析 给出市场经济趋于稳定的条件为需求曲线在点斜率f 0 P 的绝对值小于供应曲线在点斜率的绝对值 然后用差分方程建立模 f Kg 0 P g K 型 得到当或时 市场经济趋于稳定 并对模型结果进行分析解1 1 释 讨论当市场经济不稳定时政府可以采取控制物价和宏观调控的干预措施 最后对模型作适当评价和推广 3 一 问题重述 根据某种商品市场需求和供应关系求解以下问题 1 描述商品数量与价格的变化规律 2 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 二 模型条件假设 针对本问题可做以下假设 1 假设在同一生产周期内不会严重的自然灾害 2 假设在同一生产周期内消费者生活习惯不会有大的改变 三 符号约定 表 1 符号约定 第 k 时段商品数量 k x 曲线在点斜率的绝对值 f Kf 0 P 第 k 时段商品价格 k y 曲线在点斜率的绝对值 g Kg 0 P 四 问题分析 商品的价格是由消费者的需求关系决定 商品数量越多 价格越低 而下 一时期商品的数量由生产者的供应关系决定 商品价格越低 生产的数量就越 少 这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的 本题先用图形方法建立蛛网模型 对上述现象进行分析 给出市场经济趋 于稳定的条件 然后用差分方程建立模型 对模型结果进行解释 并讨论当市 场经济不稳定时政府采取的干预措施 最后对上述模型作适当评价和推广 五 模型建立和求解 5 1 蛛网模型建立和求解 在商品的一个生产周期内 其价格取决于数量 设存在消费者需求关 k y k x 4 系为 1 kk yf x 因为商品的数量越多价格越低 所以该需求曲线是一条下降曲线 f 下一生产周期商品的数量由上一生产周期商品的价格决定 设存在 1k x k y 生产者供应关系 或 2 1 kk xh y 1 kk yg x 因为价格越高生产产量才越大 所以该供应曲线是一条上升曲线 g 将两条曲线分别画在同一坐标内 可以发现两条曲线相交于点 000 P xy 则该点即为平衡点 因为在某个生产周期内有 则由需求关系和供应关 0k xx 系可知 即商品的数量和价格将永远保持在 01010 kkk yyxxyy 点 但在实际情况下 不可能停在点 故将点偏离点分析问 000 P xy x y 0 P 1 x 0 x 题如图 1 所示 图 1 数量价格关系图 在图 1 中 价格由曲线上的点决定 下一生产周期的由曲线上 1 yf 1 P 2 xg 的点决定 由曲线上的点决定 依次下去可得到点列 2 P 2 yf 3 P 111 P x y 5 即 这表明 221 P xy 322 P xy 432 P xy 1230 PPPP 点为平衡点 即市场经济将趋于稳定 000 P xy 当曲线和曲线的斜率发生改变时 存在另外一种情况如图 2 所示 fg 图 2 数量价格关系图 在图 2 中 按类似方法分析可得点列关系为 这表明 1230 PPPP 点不是平衡点 即市场经济将趋于不稳定 000 P xy 两图中折线形似蛛网 故这种需求曲线和供应曲线分析市场经济 1234 PP PP 稳定性的图示法在经济学上称为蛛网模型 实际上 需求曲线和供应曲线的 fg 具体形式通常是根据各个阶段商品数量和价格的一些列统计资料得到的 取决 f 于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平 则与生产者的生产能力 g 经营水平等因素有关 对于蛛网模型中 需求曲线和供应曲线交点稳定性的判断 可根 000 P xy 据两条曲线在点的斜率关系来判断 000 P xy 当曲线在点斜率的绝对值小于曲线在点斜率的绝对值时 f 0 P f Kg 0 P g K 点是稳定点 0 P 当曲线在点斜率的绝对值大于曲线在点斜率的绝对值时 f 0 P f Kg 0 P g K 点是不稳定点 0 P 5 2 差分方程模型建立和求解 6 在点附近取函数和的线性近似分别为 0 Pfg 3 00 0 kk yyxx 4 100 0 kk xxyy 两式消去 合并可得 k y 5 1010 k k xxxx 因为 5 是一阶线性差分方程 对递推可得到 当时 则kk 0k xx 使得稳定的条件是 或 6 1 1 当时 则使得不稳定的条件是k 0k xx 或 7 1 1 分析可知方程模型与蛛网模型的一致 且和 f K 1 g K 六 模型分析 对于和的含义 需求函数的斜率的绝对值表示商品供应量减少 1 f 个单位时价格的上涨幅度 供应函数的斜率表示价格上涨 1 个单位时生产h 周期商品供应的增加量 所以的数值反映消费者对商品需求的敏感度 如果这 种商品是生活必需品 消费者处于持币待购状态 商品量少缺 人们立即蜂拥 购买 那么会比较大 反之 若这种商品非必需品 消费者购买心理稳定 或者消费水平低下 则值小 的数值反映生产经营者对商品价格的敏感度 如果他们目光短浅 热衷 于追逐于一时的高利润 价格稍有上涨立即大量增加生产 那么值会比较大 反之 若他们素质较高 有长远的计划 则较小 7 根据 的意义很容易对商场经济稳定与否的条件 6 7 做出解释 对 于供应函数 当固定时 越小 需求曲线越平 表明消费者对商品需求g 的敏感程度越小 越利于经济稳定 对于需求函数 当固定时 越小 供f 应曲线越陡 表明生产者对价格的敏感程度越小 越利于经济稳定 反之 当较大 表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都 很敏感 则会导致经济不稳定 从上述分析还可以看到 当市场经济趋向不稳定时政府有两种干预办法 一 种办法是使尽量小 极端情情况是 即需求曲线水平 如图 3 所示 这 0 时不论供应曲线如何 即不论 多大 总是稳定的 这相当于政府控制物价 无论商品数量多少 价格都不会改变 x y 0 y0 g f 图 3 数量价格关系图 另外一种办法是使尽量小 极端情况 即供应曲线竖直 如图 4 所 0 示 于是不论需求曲线如何变化 即不管多大 也总是稳定的 这相当于控 制市场上商品数量 当供应少于需求时 政府从外地购买或调拨 投入市场 当供过于求时 政府收购过剩部分 维持商品上市不变 8 x y 0 x0 g f 图 4 数量价格关系图 七 模型推广 如果生产者的管理水平更高一些 他们在决定商品生产数量时 不是 1k x 仅根据前一时期的价格 而是根据前两个时期的价格和 为了简单起见 k y k y 1k y 不妨设取二者的平均值 则供应函数为 1 1 2 kk k yy x 8 1 2 kk k yy yg 在点附近取线性近似时可表示为 0 P 9 1010 2 2 k kkk xxyyy 因为需求函数不改变 仍为原来的含义 则由 3 与 9 式得到 10 210 22 1 kkk xxxx 方程的通解为 由初始条件确定 11 1 122 kk k xcc 1 c 2 c 特征根和为特征方程的根 即为 1 2 2 20 12 2 1 2 8 4 9 当时有8 13 2 2 8 44 从而 则在单位圆外 2 2 2 当时有8 14 1 2 1