（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编锐角三角函数

1 锐角三角函数锐角三角函数 1 2013 天津 tan60 的值等于 A 1B C D 2 考点 特殊角的三角函数值 分析 根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案 解答 解 tan60 故选 C 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的 内容 2 2013 温州 如图 在 ABC 中 C 90 AB 5 BC 3 则 sinA 的值是 A B C D 考点 锐角三角函数的定义 分析 利用正弦函数的定义即可直接求解 解答 解 sinA 故选 C 点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用 在直角三角形中 锐角的正弦为对边比斜边 余弦为邻边比斜边 正切为对边比邻边 3 2013 雅安 如图 AB 是 O 的直径 C D 是 O 上的点 CDB 30 过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于 E 则 sin E 的值为 A B C D 2 考点 切线的性质 圆周角定理 特殊角的三角函数值 分析 首先连接 OC 由 CE 是 O 切线 可得 OC CE 由圆周角定理 可得 BOC 60 继 而求得 E 的度数 则可求得 sin E 的值 解答 解 连接 OC CE 是 O 切线 OC CE 即 OCE 90 CDB 30 COB 2 CDB 60 E 90 COB 30 sin E 故选 A 点评 此题考查了切线的性质 圆周角定理以及特殊角的三角函数值 此题难度不大 注 意掌握辅助线的作法 注意数形结合思想的应用 4 2013 包头 3tan30 的值等于 A B 3C D 考点 特殊角的三角函数值 分析 直接把 tan30 代入进行计算即可 解答 解 原式 3 故选 A 点评 本题考查的是特殊角的三角函数值 熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关 键 5 2013 孝感 式子的值是 A B 0C D 2 考点 特殊角的三角函数值 3 分析 将特殊角的三角函数值代入后 化简即可得出答案 解答 解 原式 2 1 1 1 1 0 故选 B 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的 内容 6 2013 荆门 如图 在半径为 1 的 O 中 AOB 45 则 sinC 的值为 A B C D 考点 圆周角定理 勾股定理 锐角三角函数的定义 3718684 分析 首先过点 A 作 AD OB 于点 D 由在 Rt AOD 中 AOB 45 可求得 AD 与 OD 的长 继而可得 BD 的长 然后由勾股定理求得 AB 的长 继而可求得 sinC 的值 解答 解 过点 A 作 AD OB 于点 D 在 Rt AOD 中 AOB 45 OD AD OA cos45 1 BD OB OD 1 AB AC 是 O 的直径 ABC 90 AC 2 sinC 故选 B 4 点评 此题考查了圆周角定理 三角函数以及勾股定理 此题难度适中 注意掌握辅助线 的作法 注意数形结合思想的应用 7 2013 白银 如图 O 的圆心在定角 0 180 的角平分线上运动 且 O 与 的两边相切 图中阴影部分的面积 S 关于 O 的半径 r r 0 变化的函数图象 大致是 A B C D 考点 动点问题的函数图象 多边形内角与外角 切线的性质 切线长定理 扇形面积的 计算 锐角三角函数的定义 专题 计算题 分析 连接 OB OC OA 求出 BOC 的度数 求出 AB AC 的长 求出四边形 OBAC 和扇形 OBC 的面积 即可求出答案 解答 解 连接 OB OC OA 圆 O 切 AM 于 B 切 AN 于 C OBA OCA 90 OB OC r AB AC BOC 360 90 90 180 AO 平分 MAN BAO CAO AB AC 阴影部分的面积是 S四边形 BACO S扇形 OBC 2 r r2 r 0 5 S 与 r 之间是二次函数关系 故选 C 点评 本题主要考查对切线的性质 切线长定理 三角形和扇形的面积 锐角三角函数的 定义 四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握 能综合运用性质进行计算是解 此题的关键 8 2013 鄂州 如图 Rt ABC 中 A 90 AD BC 于点 D 若 BD CD 3 2 则 tanB A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 锐角三角函数的定义 3718684 分析 首先证明 ABD ACD 然后根据 BD CD 3 2 设 BD 3x CD 2x 利用对应边成 比例表示出 AD 的值 继而可得出 tanB 的值 解答 解 在 Rt ABC 中 AD BC 于点 D ADB CDA B BAD 90 BAD DAC 90 B DAC ABD ACD BD CD 3 2 设 BD 3x CD 2x AD x 则 tanB 故选 D 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义 难度一般 解答本题 的关键是根据垂直证明三角形的相似 根据对应变成比例求边长 9 2013 年深圳市 如图 3 已知 321 lll 相邻两条平行 直线间的距离相等 若等腰直角 ABC 的三个项点分别在这 6 三条平行直线上 则 sin的值是 A 3 1 B 17 6 C 5 5 D 10 10 答案 D 解析 分别过点 A B 作 设平行线间距离为 d 1 CE BF 1 AE CF 2 AC BC 5 AB 10 则 10 2013 杭州 在 Rt ABC 中 C 90 AB 2BC 现给出下列结论 sinA cosB tanA tanB 其中正确的结论是 只需填 上正确结论的序号 考点 特殊角的三角函数值 含 30 度角的直角三角形 专题 探究型 分析 先根据题意画出图形 再由直角三角形的性质求出各角的度数 由特殊角的三角函 数值即可得出结论 解答 解 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 AB 2BC sinA 故 错误 A 30 B 60 cosB cos60 故 正确 A 30 tanA tan30 故 正确 B 60 tanB tan60 故 正确 故答案为 点评 本题考查的是特殊角的三角函数值 熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关 7 键 11 2013 攀枝花 如图 在菱形 ABCD 中 DE AB 于点 E cosA BE 4 则 tan DBE 的值是 2 考点 菱形的性质 解直角三角形 分析 求出 AD AB 设 AD AB 5x AE 3x 则 5x 3x 4 求出 x 得出 AD 10 AE 6 在 Rt ADE 中 由勾股定理求出 DE 8 在 Rt BDE 中得出 tan DBE 代入求出即 可 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AD AB cosA BE 4 DE AB 设 AD AB 5x AE 3x 则 5x 3x 4 x 2 即 AD 10 AE 6 在 Rt ADE 中 由勾股定理得 DE 8 在 Rt BDE 中 tan DBE 2 故答案为 2 点评 本题考查了菱形的性质 勾股定理 解直角三角形的应用 关键是求出 DE 的长 12 2013 鞍山 ABC 中 C 90 AB 8 cosA 则 BC 的长 考点 锐角三角函数的定义 勾股定理 分析 首先利用余弦函数的定义求得 AC 的长 然后利用勾股定理即可求得 BC 的长 解答 解 cosA AC AB cosA 8 6 BC 2 故答案是 2 8 点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用 在直角三角形中 锐角的正弦为对边比斜边 余弦为邻边比斜边 正切为对边比邻边 13 2013 陕西 比较大小 31cos8 35 填 14 2013 淮安 sin30 的值为 考点 特殊角的三角函数值 3718684 分析 根据特殊角的三角函数值计算即可 解答 解 sin30 故答案为 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 应用中要熟记特殊角的三角函数值 一是按值的 变化规律去记 正弦逐渐增大 余弦逐渐减小 正切逐渐增大 二是按特殊直角三 角形中各边特殊值规律去记 15 2013 自贡 如图 边长为 1 的小正方形网格中 O 的圆心在格点上 则 AED 的余 弦值是 考点 圆周角定理 勾股定理 锐角三角函数的定义 3718684 专题 网格型 分析 根据同弧所对的圆周角相等得到 ABC AED 在直角三角形 ABC 中 利用锐角三角 函数定义求出 cos ABC 的值 即为 cos AED 的值 解答 解 AED 与 ABC 都对 AED ABC 9 在 Rt ABC 中 AB 2 AC 1 根据勾股定理得 BC 则 cos AED cos ABC 故答案为 点评 此题考查了圆周角定理 锐角三角函数定义 以及勾股定理 熟练掌握圆周角定理 是解本题的关键 16 2013 年武汉 计算 45cos 答案 2 2 解析 直接由特殊角的余弦值 得到 17 2013 德州 cos30 的值是 考点 特殊角的三角函数值 分析 将特殊角的三角函数值代入计算即可 解答 解 cos30 故答案为 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 属于基础题 掌握几个特殊角的三角函数值是解 题的关键 18 2013 曲靖 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 C 45 AD 1 BC 4 则 CD 3 考点 直角梯形 分析 过点 D 作 DE BC 于 E 则易证四边形 ABED 是矩形 所以 AD BE 1 进而求出 CE 的 值 再解直角三角形 DEC 即可求出 CD 的长 解答 解 过点 D 作 DE BC 于 E AD BC B 90 四边形 ABED 是矩形 AD BE 1 10 BC 4 CE BC BE 3 C 45 cosC CD 3 故答案为 3 点评 此题考查了直角梯形的性质 矩形的判定和性质以及特殊角的锐角三角函数值 此 题难度不大 解题的关键是注意数形结合思想的应用 19 2013 湖州 如图 已知在 Rt ACB 中 C 90 AB 13 AC 12 则 cosB 的值为 考点 锐角三角函数的定义 勾股定理 分析 首先利用勾股定理求得 BC 的长 然后利用余弦函数的定义即可求解 解答 解 BC 5 则 cosB 点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用 在直角三角形中 锐角的正弦为对边比斜边 余弦为邻边比斜边 正切为对边比邻边 20 2013 年广东省 4 分 14 在 Rt ABC 中 ABC 90 AB 3 BC 4 则 sinA 答案 5 4 解析 由勾股定理 得 AB 5 所以 sinA 5 4 11 21 2013 甘肃兰州 4 分 9 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 如果 a2 b2 c2 那么下列结论正确的是 A csinA aB bcosB cC atanA bD ctanB b 考点 勾股定理的逆定理 锐角三角函数的定义 分析 由于 a2 b2 c2 根据勾股定理的逆定理得到 ABC 是直角三角形 且 C 90 再根 据锐角三角函数的定义即可得到正确选项 解答 解 a2 b2 c2 ABC 是直角三角形 且 C 90 A sinA 则 csinA a 故本选项正确 B cosB 则 cosBc a 故本选项错误 C tanA 则 b 故本选项错误 D tanB 则 atanB b 故本选项错误 故选 A 点评 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理 判断三角形是否为直角三角 形 已知三角形三边的长 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 22 2013 哈尔滨 先化简 再求代数式 2 12 2121 aa aaaa 的值 其中 6tan602a 考点 知识点考察 分式的通分 分式的约分 除法变乘法的法则 完全平方公 式 特殊角的三角函数值 分析 利用除式的分子利用完全平方公式分解因式 除法变乘法的法则 同分母分式的减 法法则计算 再利用特殊角的三角函数值求出 a 的值代入进行计算即可 考查的是分式的 化简求值 熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 解答 原式 2 1 1 212 aa aaa 1 22 aa aa 1 2a 6tan302a 3 62 3 a 2 32 原式 1 2a 1 2 322 3 6 23 13 年北京 5 分 20 如图 AB 是 O 的直径 PA PC 分别与 O 相切于点 A C PC 交 AB 的延长线于点 D DE PO 交 PO 的延长线于点 E 12 1 求证 EPD EDO 2 若 PC 6 tan PDA 4 3 求 OE 的长 中国教育出 版 网 解析 考点 圆中的证明与计算 三角形相似 三角函数 切线的性质 24 13 年北京 8 分 25 对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和 C 给出如下定义 若 C 上存在两个点 A B 使得 APB 60 则称 P 为 C 的关联点 已知点 D 2 1 2 1 E 0 2 F 32 0 1 当 O 的半径为 1 时 在点 D E F 中 O 的关联点是 过点 F 作直线交y轴正半轴于点 G 使 GFO 30 若直线上的点 P m n 是 O 的关联点 求m的取值范围 2 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点 求这个圆的半径r的取值范围 13 解析 解析 1 ED 由题意可知 若P点要刚好是圆C的关联点 需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹 的角度为 60 由图1可知 60APB 则 30CPB 连接BC 则rBC CPB BC PC22 sin 若P点为圆C的关联点 则需点P到圆心的距离d满足rd20 由上述证明可知 考虑临界位置的P点 如图 2 点P到原点的距离212 OP 过O作x轴的垂线OH 垂足为H 3 2 32 tan OG OF OGF 60OGF 360sin OGOH 2 3 sin OP OH OPH 60OPH 易得点 1 P与点G重合 过 2 P作xMP 2 轴于点M 易得 30 2OM P 330cos 2 OPOM 从而若点P为圆O的关联点 则P点必在线段 21P P上 30 m 2 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点 欲使这个圆的半径最小 则这个圆的圆心应在线段EF的中点 图 1 C B A P x y M P2 G P1 图 2 H OF 14 考虑临界情况 如图 3 即恰好FE 点为圆K的关联时 则2 2 1 2 EFKNKF 此时1 r 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点 这个圆的半径r的取值范围为1 r 点评 新定义 问题最关键的是要能够把 新定义 转化为自己熟悉的知识 通过第 2 问开 头部分的解析 可以看出本题的 关联点 本质就是到圆心的距离小于或等于 2倍半 径的点 了解了这一点 在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了 考点 代几综合 新定义 特殊直角三角形的性质 圆 特殊角三角形函数 数形结 合 25 2013 年广东湛江 阅读下面的材料 先完成阅读填空 再将要求答题 13 sin30 cos30 22 则 22 sin 30cos 30 22 sin45 cos45 22 则 22 sin 45cos 45 22 sin60 cos60 22 则 22 sin 60cos 60 观察上述等式 猜想 对任意锐角A 都有 22 sincosAA 1 如图 在锐角三角形ABC中 利用三角函数的定义及勾股定理 对A 证明你的猜想 已知 A 为锐角 cos0A 且 3 sin 5 A 求cos A 证明 过点B作BDAC 于D 在Rt ADB中 sin cos BDAD AA ABAB 由勾股定理得 22 222 1 BDAD BDADAB ABAB 22 sincos1AA x y 图 3 N K E F 15 解 A 为锐角 cos0A 3 sin 5 A 22 sincos1AA 2 4 cos1 sin 5 AA 26 2013 郴州 如图 ABC 中 AB BC AC 8 tanA k P 为 AC 边上一动点 设 PC x 作 PE AB 交 BC 于 E PF BC 交 AB 于 F 1 证明 PCE 是等腰三角形 2 EM FN BH 分别是 PEC AFP ABC 的高 用含 x 和 k 的代数式表示 EM FN 并探究 EM FN BH 之间的数量关系 3 当 k 4 时 求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式 x 为何值时 S 有最大值 并 求出 S 的最大值 考点 等腰三角形的判定与性质 二次函数的最值 解直角三角形 3718684 分析 1 根据等边对等角可得 A C 然后根据两直线平行 同位角相等求出 CPE A 从而得到 CPE C 即可得证 2 根据等腰三角形三线合一的性质求出 CM CP 然后求出 EM 同理求出 FN BH 的长 再根据结果整理可得 EM FN BH 3 分别求出 EM FN BH 然后根据 S PCE S APF S ABC 再根据 S S ABC S PCE S APF 整理即可得到 S 与 x 的关系式 然后利用二次函数的最值问题解答 解答 1 证明 AB BC A C PE AB CPE A CPE C PCE 是等腰三角形 2 解 PCE 是等腰三角形 EM CP CM CP tanC tanA k EM CM tanC k 同理 FN AN tanA k 4k 由于 BH AH tanA 8 k 4k 16 而 EM FN 4k 4k EM FN BH 3 解 当 k 4 时 EM 2x FN 16 2x BH 16 所以 S PCE x 2x x2 S APF 8 x 16 2x 8 x 2 S ABC 8 16 64 S S ABC S PCE S APF 64 x2 8 x 2 2x2 16x 配方得 S 2 x 4 2 32 所以 当 x 4 时 S 有最大值 32 点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质 平行线的性质 锐角三角函数 二次函数的 最值问题 表示出各三角形的高线是解题的关键 也是本题的难点 27 2013 呼和浩特 如图 AD 是 ABC 的角平分线 以点 C 为圆心 CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点 E 交 AD 于点 F 交 AE 于点 M 且 B CAE EF FD 4 3 1 求证 点 F 是 AD 的中点 2 求 cos AED 的值 3 如果 BD 10 求半径 CD 的长 考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 圆周角定理 解直角三角形 3718684 分析 1 由 AD 是 ABC 的角平分线 B CAE 易证得 ADE DAE 即可得 ED EA 又由 ED 是直径 根据直径所对的圆周角是直角 可得 EF AD 由三线合一的知识 即可判定点 F 是 AD 的中点 2 首先连接 DM 设 EF 4k df 3k 然后由勾股定理求得 ED 的长 继而求得 DM 与 ME 的长 由余弦的定义 即可求得答案 3 易证得 AEC BEA 然后由相似三角形的对应边成比例 可得方程 5k 2 k 10 5k 解此方程即可求得答案 解答 1 证明 AD 是 ABC 的角平分线 1 2 ADE 1 B DAE 2 3 且 B 3 ADE DAE 17 ED EA ED 为 O 直径 DFE 90 EF AD 点 F 是 AD 的中点 2 解 连接 DM 设 EF 4k df 3k 则 ED 5k AD EF AE DM DM k ME k cos AED 3 解 B 3 AEC 为公共角 AEC BEA AE BE CE AE AE2 CE BE 5k 2 k 10 5k k 0 k 2 CD k 5 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 圆周角定理 等腰三角形的判定与性质 勾 股定理以及三角函数等知识 此题难度适中 注意掌握辅助线的作法 注意数形结 合思想与方程思想的应用 28 2013 滨州压轴题 根据要求 解答下列问题 1 已知直线 l1的函数表达式为 y x 请直接写出过原点且与 l1垂直的直线 l2的函数表 达式 2 如图 过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30 18 求直线 l3的函数表达式 把直线 l3绕原点 O 按逆时针方向旋转 90 得到的直线 l4 求直线 l4的函数表达式 3 分别观察 1 2 中的两个函数表达式 请猜想 当两直线垂直时 它们的函数表 达式中自变量的系数之间有何关系 请根据猜想结论直接写出过原点且与直线 y 垂 直的直线 l5的函数表达式 考点 一次函数综合题 分析 1 根据题意可直接得出 l2的函数表达式 2 先设直线 l3的函数表达式为 y k1x k1 0 根据过原点的直线 l3向上的方 向与 x 轴的正方向所成的角为 30 直线过一 三象限 求出 k1 tan30 从而求 出直线 l3的函数表达式 根据 l3与 l4的夹角是为 90 求出 l4与 x 轴的夹角是为 60 再设 l4的解析式 为 y k2x k2 0 根据直线 l4过二 四象限 求出 k2 tan60 从而求出直线 l4的函数表达式 3 通过观察 1 2 中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的 系数互为负倒数关系 再根据这一关系即可求出与直线 y 垂直的直线 l5的函 数表达式 解答 解 1 根据题意得 y x 2 设直线 l3的函数表达式为 y k1x k1 0 过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30 直线过一 三象限 k1 tan30 直线 l3的函数表达式为 y x l3与 l4的夹角是为 90 l4与 x 轴的夹角是为 60 设 l4的解析式为 y k2x k2 0 直线 l4过二 四象限 k2 tan60 直线 l4的函数表达式为 y x 3 通过观察 1 2 中的两个函数表达式可知 当两直线互相垂直时 它们的 19 函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系 过原点且与直线 y 垂直的直线 l5的函数表达式为 y 5x 点评 此题考查了一次函数的综合 用到的知识点是锐角三角函数 一次函数的解析式的 求法 关键是根据锐角三角函数求出 k 的值 做综合性的题要与几何图形相结合 更直观一些 29 2013 菏泽 如图 BC 是 O 的直径 A 是 O 上一点 过点 C 作 O 的切线 交 BA 的 延长线于点 D 取 CD 的中点 E AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P 1 求证 AP 是 O 的切线 2 OC CP AB 6 求 CD 的长 考点 切线的判定与性质 解直角三角形 分析 1 连接 AO AC 如图 欲证 AP 是 O 的切线 只需证明 OA AP 即可 2 利用 1 中切线的性质在 Rt OAP 中利用边角关系求得 ACO 60 然后在 Rt BAC Rt ACD 中利用余弦三角函数的定义知 AC 2 CD 4 解答 1 证明 连接 AO AC 如图 BC 是 O 的直径 BAC CAD 90 E 是 CD 的中点 CE DE AE ECA EAC OA OC OAC OCA CD 是 O 的切线 CD OC ECA OCA 90 EAC OAC 90 OA AP A 是 O 上一点 AP 是 O 的切线 2 解 由 1 知 OA AP 20 在 Rt OAP 中 OAP 90 OC CP OA 即 OP 2OA sinP P 30 AOP 60 OC OA ACO 60 在 Rt BAC 中 BAC 90 AB 6 ACO 60 AC 2 又 在 Rt ACD 中 CAD 90 ACD 90 ACO 30 CD 4 点评 本题考查了切线的判定与性质 解直角三角形 注意 切线的定义的运用 解题的 关键是熟记特殊角的锐角三角函数值 30 2013 内江 在 ABC 中 已知 C 90 sinA sinB 则 sinA sinB 考点 互余两角三角函数的关系 分析 根据互余两角的三角函数关系 将 sinA sinB 平方 把 sin2A cos2A 1 sinB cosA 代入求出 2sinAcosA 的值 代入即可求解 解答 解 sinA sinB 2 2 sinB cosA sin2A cos2A 2sinAcosA 2sinAcosA 1 则 sinA sinB 2 sin2A cos2A 2sinAcosA 1 sinA sinB 故答案为 点评 本题考查了互余两角的三角函数关系 属于基础题 掌握互余两角三角函数的关系 是解答本题的关键 21 31 2013 攀枝花 如图 PA 为 O 的切线 A 为切点 直线 PO 交 O 与点 E F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D 交 O 与点 B 延长 BO 与 O 交与点 C 连接 AC BF 1 求证 PB 与 O 相切 2 试探究线段 EF OD OP 之间的数量关系 并加以证明 3 若 AC 12 tan F 求 cos ACB 的值 考点 圆的综合题 分析 1 连接 OA 由 OP 垂直于 AB 利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点 即 OP 垂直平分 AB 可得出 AP BP 再由 OA OB OP OP 利用 SSS 得出三角形 AOP 与三角形 BOP 全 等 由 PA 为圆的切线 得到 OA 垂直于 AP 利用全等三角形的对应角相等及垂直的 定义得到 OB 垂直于 BP 即 PB 为圆 O 的切线 2 由一对直角相等 一对公共角 得出三角形 AOD 与三角形 OAP 相似 由相似得 比例 列出关系式 由 OA 为 EF 的一半 等量代换即可得证 3 连接 BE 构建直角 BEF 在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义 勾股 定理可设 BE x BF 2x 进而可得 EF x 然后由面积法求得 BD x 所