高中数学解析几何解题方法

高考专题 解析几何常规题型及方法高考专题 解析几何常规题型及方法 本章节处理方法建议 本章节处理方法建议 纵观 2006 年全国各省市 18 套文 理高考试卷 普遍有一个规律 占解几分值接近一 半的填空 选择题难度不大 中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中 而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想 其原因主要体现在以下几个方面 1 解析几何是代数与 几何的完美结合 解析几何的问题可以涉及函数 方程 不等式 三角 几何 数列 向 量等知识 形成了轨迹 最值 对称 范围 参系数等多种问题 因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一 2 解析几何的计算量相对偏大 3 在大家的 拿可拿之分 的理念下 大题的前三道成了兵家必争之地 而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题 有 时 20 题 就成了很多人遗忘的角落 加之时间的限制 此题留白的现象比较普遍 鉴于解几的特点 建议在复习中做好以下几个方面 1 由于高考中解几内容弹性很 大 有容易题 有中难题 因此在复习中基调为狠抓基础 不能因为高考中的解几解答题 较难 就拼命地去搞难题 套新题 这样往往得不偿失 端正心态 不指望将所有的题攻 下 将时间用在巩固基础 对付 跳一跳便可够得到 的常规题上 这样复习 高考时就 能保证首先将选择 填空题拿下 然后对于大题的第一个小问争取得分 第二小题能拿几 分算几分 三 高考核心考点三 高考核心考点 1 准确理解基本概念 如直线的倾斜角 斜率 距离 截距等 2 熟练掌握基本公式 如两点间距离公式 点到直线的距离公式 斜率公式 定比分点的坐标公式 到角公式 夹 角公式等 3 熟练掌握求直线方程的方法 如根据条件灵活选用各种形式 讨论斜率存在和不存在的各种情况 截距是否为 0 等等 4 在解决直线与圆的位置关系问题中 要善于运用圆的几何性质以减少运算 5 了解线性规划的意义及简单应用 6 熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法 如 定义法 直接法 相关点法 参数法 交轨法 几何法 待定 系数法等 8 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法 能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四 常规题型及解题的技巧方法四 常规题型及解题的技巧方法 A 常规题型方面常规题型方面 1 中点弦问题 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题 常用设而不求法 点差法 设曲线上两点为 代入方程 然 xy 11 xy 22 后两方程相减 再应用中点关系及斜率公式 消去四个参数 典型例题典型例题 给定双曲线 过 A 2 1 的直线与双曲线交于两点 及 求线段的中点 Px y 2 2 2 1 P1P2P1P2 的轨迹方程 分析 设 代入方程得 P xy 111 P xy 222 x y 1 21 2 2 1 x y 2 22 2 2 1 两式相减得 xxxxyyyy 12121212 1 2 0 又设中点 P x y 将 代入 当时得xxx 12 2 yyy 12 2 xx 12 2 2 2 0 12 12 x yyy xx 又 k yy xx y x 12 12 1 2 代入得 240 22 xyxy 当弦斜率不存在时 其中点 P 2 0 的坐标也满足上述方程 P P 12 因此所求轨迹方程是240 22 xyxy 说明 本题要注意思维的严密性 必须单独考虑斜率不存在时的情况 2 焦点三角形问题 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P 与两个焦点 构成的三角形问题 常用正 余弦定理搭桥 F1F2 典型例题典型例题 设 P x y 为椭圆上任一点 为焦点 x a y b 2 2 2 2 1 Fc 1 0 F c 2 0 PF F 12 PF F 21 1 求证离心率 sinsin sin e 2 求的最值 PFPF 1 3 2 3 分析 1 设 由正弦定理得 PFr 11 PFr 22 rrc 12 2 sinsinsin 得 rrc 12 2 sinsinsin sinsin sin a c e 2 aexaexaae x 33322 26 当时 最小值是 x 02 3 a 当时 最大值是 ax 26 323 ae a 3 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 进而转化为一元二次方程后利用判别式 应特别注意数形结 合的办法 典型例题典型例题 抛物线方程 直线与 轴的交点在抛物线准线的右边 yp xpxytx 2 10 1 求证 直线与抛物线总有两个不同交点 2 设直线与抛物线的交点为 A B 且 OA OB 求 p 关于 t 的函数 f t 的表达式 1 证明 抛物线的准线为11 4 x p 由直线 x y t 与 x 轴的交点 t 0 在准线右边 得 t p tp 1 4 440 而 由消去 得 xyt yp x y 2 1 xtp xtp 22 20 24 22 tptp ptp 440 故直线与抛物线总有两个交点 2 解 设点 A x1 y1 点 B x2 y2 xxtpx xtp 1212 2 2 OA OBkk OAOB 1 则 x xy y 1212 0 又 y ytxtx 1212 x xy yttp 1212 2 20 pf t t t 2 2 又 得函数的定义域是ptpf t 0440 200 4 圆锥曲线的有关最值 范围 问题圆锥曲线的有关最值 范围 问题 圆锥曲线中的有关最值 范围 问题 常用代数法和几何法解决 若命题的条件和结论具有明显的几何意义 一般可用图形性质来解决 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 则可建立目标函数 通常利用二次函数 三角函数 均值不等 式 求最值 典型例题典型例题 已知抛物线 y2 2px p 0 过 M a 0 且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A B AB 2p 1 求 a 的取值范围 2 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N 求 NAB 面积的最大值 分析 这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题 对于 1 可以设法得到关于 a 的不等式 通过解不等式求出 a 的范围 即 求范围 找不等式求范围 找不等式 或者将 a 表示为另一个变量的函数 利用求函数的值域求出 a 的范围 对于 2 首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数 然后再求它的最大值 即 最值问题 函数思想最值问题 函数思想 解 1 直线 L 的方程为 y x a 将 y x a 代入抛物线方程 y2 2px 得 设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A x1 y1 B x2 y2 则 又 y1 x1 a y2 x2 a 2 21 21 2 2 04 4 axx paxx apa 2 2 80 0 2 8 2 0 2 8 4 2 21 2 21 2 21 2 21 pappapppAB appxxxxyyxxAB 解得 42 p a p 2 设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q 令其坐标为 x3 y3 则由中点坐标公式得 pa xx x 2 21 3 2 2 2121 3 p axaxyy y 所以 QM 2 a p a 2 p 0 2 2p2 又 MNQ 为等腰直角三角形 所以 QM QN 所以 S NAB P2 即 NAB 面积的最大值为 2 2 22 2 2 2 2 2 1 pppABpQNAB P2 5 求曲线的方程问题 求曲线的方程问题 1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决 典型例题典型例题 已知直线 L 过原点 抛物线 C 的顶点在原点 焦点在 x 轴正半轴上 若点 A 1 0 和点 B 0 8 关于 L 的对 称点都在 C 上 求直线 L 和抛物线 C 的方程 分析 曲线的形状已知 可以用待定系数法 设出它们的方程 L y kx k 0 C y2 2px p 0 设 A B 关于 L 的对称点分别为 A B 则利用对称性可求得它们的坐标分别为 A B 因为 A B 均在抛物线上 代入 消去 p 得 k2 k 1 0 解得 k 1 2 1 1 22 2 k k k k 1 1 8 1 16 2 2 2 k k k k p 2 51 5 52 所以直线 L 的方程为 y x 抛物线 C 的方程为 y2 x 2 51 5 54 2 曲线的形状未知 求轨迹方程 典型例题典型例题 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 0 求动点 M 的轨迹方程 并说明它是什么曲线 分析 如图 设 MN 切圆 C 于点 N 则动点 M 组成的集合是 P M MN MQ 由平面几何知识可知 MN 2 MO 2 ON 2 MO 2 1 将 M 点 坐标代入 可得 2 1 x2 y2 42x 1 42 0 M N QO 当 1 时它表示一条直线 当 1 时 它表示圆 这种方法叫做直接法 6 存在两点关于直线对称问题存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题 可以按如下方式分三步解决 求两点所在的直线 求这两直线的交点 使这 交点在圆锥曲线形内 当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决 典型例题典型例题 已知椭圆 C 的方程 试确定 m 的取值范围 使得对于直线 椭圆 C 上有不同 xy 22 43 1 yxm 4 两点关于直线对称 分析 椭圆上两点 代入方程 相减得 xy 11 xy 22 3 1212 xxxx 4 12 yy yy 12 0 又 代入得 x xx 12 2 y yy 12 2 k yy xx 12 12 1 4 yx 3 又由解得交点 yx yxm 3 4 mm3 交点在椭圆内 则有 得 mm 22 4 3 3 1 2 13 13 2 13 13 m 7 两线段垂直问题 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题 常用来处理或用向量的坐标运算来处理 kk yy xx 12 12 12 1 典型例题典型例题 已知直线的斜率为 且过点 抛物线 直线与抛物线 C 有两个不同的交lkP 2 0C yx 2 41 l 点 如图 1 求的取值范围 k 2 直线的倾斜角为何值时 A B 与抛物线l C 的焦点连线互 相垂直 分析 1 直线代入抛物线方程得yk x 2k xkxk 2222 44440 由 得 0 110kk 2 由上面方程得 x x k k 12 2 2 44 焦点为 y ykxx 12 2 12 224 O 0 0 由 得 kk y y x x k k OAOB 12 12 2 2 1 1k 2 2 2 2 arctan 或 2 2 arctan y B A P 2 0 O x B 解题的技巧方面解题的技巧方面 在教学中 学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大 事实上 如果我们能够充分利用几何图形 韦达定理 曲 线系方程 以及运用 设而不求 的策略 往往能够减少计算量 下面举例说明 1 充分利用几何图形 充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质 所以在处理解析几何问题时 除了运用代数方程外 充分挖掘几何 条件 并结合平面几何知识 这往往能减少计算量 典型例题典型例题 设直线与圆相交于 P Q 两点 O 为坐标原点 若 340 xym xyxy 22 20 OP OQ 求的值 m 解 圆过原点 并且 xyxy 22 20 OP OQ 是圆的直径 圆心的坐标为 PQM 1 2 1 又在直线上 M 1 2 1 340 xym 即为所求 3 1 2 410 5 2 mm 评注 此题若不充分利用一系列几何条件 该圆过原点并且 PQ 是圆的直径 圆心在直线OP OQ 上 而是设再由和韦达定理求 将会增大运算量 340 xym P xyQ xy 1122 OP OQ m 评注 此题若不能挖掘利用几何条件 点 M 是在以 OP 为直径的圆周上 而利用参数方程等方法 OMP90 计算量将很大 并且比较麻烦 二二 充分利用韦达定理及充分利用韦达定理及 设而不求设而不求 的策略的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它 而是结合韦达定理求解 这种方法在有关斜率 中点等问题中常常用到 典型例题典型例题 已知中心在原点 O 焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P Q 两点 且 yyx 1OP OQ 求此椭圆方程 PQ 10 2 解 设椭圆方程为 直线与椭圆相交于 P 两点 axbyab 22 10 yx 1 xy 11 Q xy 22 由方程组消去后得 yx axby 1 1 22 y ab xbxb xx b ab x x b ab 2 1212 210 21 由 得 1 kk OPOQ 1y yx x 1212 又 P Q 在直线上 yx 1 yx yx y yxxx xxx 11 22 12121212 12 13 111 把 1 代入 得 210 1212 x xxx 即 212 10 b ab b ab 化简后 得 4 ab 2 由 得 PQ 10 2 xxyy 12 2 12 2 5 2 xxxxx x b ab b ab 12 2 12 2 12 2 5 4 4 5 4 2415 4 把 2 代入 得 解得或4830 2 bb b 1 2 b 3 2 代入 4 后 解得或a 3 2 a 1 2 由 得 ab 0ab 3 2 1 2 所求椭圆方程为 3 22 1 22 xy 评注 此题充分利用了韦达定理及 设而不求 的策略 简化了计算 三三 充分利用曲线系方程充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点 因此也可以减少计算 典型例题典型例题 求经过两已知圆和0 的交点 且圆心在直线 Cxyxy 1 22 420 Cxyy 2 22 24 l 上的圆的方程 2410 xy 解 设所求圆的方程为 xyxyxyy 2222 42240 即 1142 140 22 xyxy 其圆心为 C 2 1 1 1 又 C 在直线上 解得 代入所设圆的方程得为l 2 2 1 4 1 1 10