山东省聊城市2018届高三一模考试-数学理

1 20182018 年聊城市高考模拟试题年聊城市高考模拟试题 理科数学 一 理科数学 一 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 2 1 Ax x lg 1 0 Bxx 则AB A 0 1 B 1 C 0 1 D 1 0 2 设复数 2 1 1 i z i 则z A 4 B 2 C 2 D 1 3 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 13 104S 6 5a 则数列 n a的公差为 A 2 B 3 C 4 D 5 4 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅 勾股圆方图 该图是由四个全等的 直角三角形组成 它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形 设直角三角形中一个 锐角的正切值为 3 在大正方形内随机取一点 则此点取自小正方形内的概率是 A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 5 设等比数列 n a的各项均为正数 其n前项和为 n S 则 192120 2SSS 是 数列 n a是递 增数列 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 6 已知直线l与抛物线C 2 4yx 相交于A B两点 若线段AB的中点为 2 1 则直线l的方 程为 A 1yx B 25yx C 3yx D 23yx 7 已知函数 1010 xx f xx 不等式 12 3 0fxf 的解集为 A 2 B 2 C 1 D 1 8 已知双曲线C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点 2 F到渐近线的距离为 4 且在双曲线C上到 2 F的距离为 2 的点有且仅有 1 个 则这个点到双曲线C的左焦点 1 F的距离为 A 2 B 4 C 6 D 8 9 执行如图所示的程序框图 若输出的结果为 1 5 则输入k的值应为 A 4 5 B 6 C 7 5 D 9 10 在ABC 中 BC边上的中线AD的长为 2 点P是ABC 所在平面上的任意一点 则 PA PBPA PC 的最小值为 A 1 B 2 C 2 D 1 11 如图是某几何体的三视图 其中俯视图为等边三角形 正视图为等腰直角三角形 若该几何体 的各个顶点都在同一个球面上 则这个球的体积与该几何体的体积的比为 3 A 7 3 B 28 9 C 14 7 9 D 4 3 12 已知函数 3 2 1 20 x x a x x f x a ex x 恰有 3 个零点 则实数a的取值范围为 A 11 3e B 2 11 ee C 2 21 3e D 21 33 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 设x y满足约束条件 10 20 20 xy xy xy 则 1 2 16 xy z 的最大值为 14 某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分 对这些产品的一项质量指标进行了检测 整理检 测结果得到如下频率分布表 质量指标分组 10 30 30 50 50 70 频率 0 10 60 3 据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为 15 29 2 2 yx x 的展开式中常数项为 16 若函数 sin 4 f xmx 2sin x 在开区间 7 0 6 内 既有最大值又有最小值 则正实数 m的取值范围为 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第第 1717 2121 题为必考题为必考 题 每个试题考生都必须作答题 每个试题考生都必须作答 第第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 4 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分分 17 已知数列 n a满足 1 2a 1 24 nn aa 证明 4 n a 是等比数列 求数列 n a的前n项和 n S 18 某教育培训中心共有 25 名教师 他们全部在校外住宿 为完全起见 学校派专车接送教师们上 下班 这个接送任务承包给了司机王师傅 正常情况下王师傅用 34 座的大客车接送教师 由于每次 乘车人数不尽相同 为了解教师们的乘车情况 王师傅连续记录了 100 次的乘车人数 统计结果如 下 乘车人 数 1516171819202122232425 频数 2441016201612862 以这 100 次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率 若随机抽查两次教师们的乘车情况 求这两次中至少有一次乘车人数超过 18 的概率 有一次 王师傅的大客车出现了故障 于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车 的教师 可供选择的小客车只有 20 座的A型车和 22 座的B型车两种 A型车一次租金为 80 元 B型车一次租金为 90 元 若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数 王师傅还要付给多出 的人每人 20 元钱供他们乘出租车 以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据 判断王师傅租哪种 车较合算 19 如图 四棱锥PABCD 中 PAD 为等边三角形 且平面PAD 平面ABCD 22ADBC ABAD ABBC 证明 PCBC 5 若直线PC与平面ABCD所成角为60 求二面角BPCD 的余弦值 20 已知圆 22 4xy 经过椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的两个焦点和两个顶点 点 0 4 A M N是椭圆C上的两点 它们在y轴两侧 且MAN 的平分线在y轴上 AMAN 求椭圆C的方程 证明 直线MN过定点 21 已知函数 22 x f xekx 讨论函数 f x在 0 内的单调性 若存在正数m 对于任意的 0 xm 不等式 2f xx 恒成立 求正实数k的取值范围 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分分 请考生在请考生在 2222 2323 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做两题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题记分的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 圆C的普通方程为 22 46120 xyxy 在以坐标原点为极点 x轴 正半轴为极轴的极坐标系中 直线l的极坐标方程为sin 2 4 写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程 设直线l与x轴和y轴的交点分别为A B P为圆C上的任意一点 求PA PB 的取值范 围 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 22f xxaa aR 若对于任意xR f x都满足 3 f xfx 求a的值 若存在xR 使得 21f xxa 成立 求实数a的取值范围 6 20182018 年聊城市高考模拟年聊城市高考模拟 理科数学 一 答案理科数学 一 答案 一 选择题一 选择题 1 5 ACBDC 6 10 DADBC 11 12 CA 二 填空题二 填空题 13 4 14 144 15 672 16 233m 三 解答题三 解答题 17 解 1 2a 1 42a 1 24 nn aa 1 428 nn aa 2 4 n a 1 4 2 4 n n a a 4 n a 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 由 可知42n n a 24 n n a 12nn Saaa 2 24 24 24 n 2 222 4 n n 2 12 4 12 n n 1 224 n n 1 242 n n Sn 18 解 由题意得 在一次接送中 乘车人数超过 18 的概率为 0 8 记 抽查的两次中至少有一次乘车人数超过 18 为事件A 则 1 10 8 P A 10 8 0 96 即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过 18 的概率为 0 96 设X表示租用A型车的总费用 单位 元 则X的分布列为 X80100120140160180 P0 560 160 120 080 060 02 80 0 56 100 0 16EX 120 0 12 140 0 08 160 0 06 180 0 0299 6 设Y表示租用B型车的总费用 单位 元 则Y的分布列为 7 X90110130150 P0 840 080 060 02 90 0 84 110 0 08EX 130 0 06 150 0 0295 2 因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据 租B型车较合算 19 证明 取AD的中点为O 连接PO CO PAD 为等边三角形 POAD 底面ABCD中 可得四边形ABCO为矩形 COAD POCOO AD 平面POC PC 平面POC ADPC 又 ADBC 所以BCPC 由面PAD 面ABCD POAD PO 平面ABCD 可得OP OD OC两两垂直 又直线PC与平面ABCD所成角为60 即60PCO 由2AD 知3PO 得1CO 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 则 0 0 3 P 0 1 0 D 1 0 0 C 1 1 0 B 0 1 0 BC 1 0 3 PC 1 1 0 CD 设平面PBC的一个法向量为 nx y z 0 30 y xz 令1z 则 3 0 1 n 设平面PDC的一个法向量为 mx y z 0 3 0 xy xz 令 1z 则 3 3 1 m cos m n m n m n 42 7 72 7 二面角BPCD 为钝角 二面角BPCD 的余弦值为 2 7 7 8 20 解 圆 22 4xy 与x轴交点 2 0 即为椭圆的焦点 圆 22 4xy 与y轴交点 0 2 即为椭圆的上下两顶点 所以2c 2b 从而2 2a 因此椭圆C的方程为 22 1 84 xy 设直线MN的方程为ykxm 由 22 1 84 ykxm xy 消去y得 222 21 4280kxkmxm 设 11 M x y 22 N xy 则 12 2 4 21 km xx k 2 12 2 28 21 m x x k 直线AM的斜率 1 1 1 4y k x 1 4m k x 直线AN的斜率 2 2 2 4y k x 2 4m k x 12 kk 12 12 4 2 mxx k x x 2 4 4 2 28 mkm k m 2 16 1 28 k m m 由MAN 的平分线在y轴上 得 12 0kk 又因为AMAN 所以0k 所以1m 因此 直线MN过定点 0 1 21 解 2 x fxek 0 x 当2k 时 因为22 x e 所以 0fx 这时 f x在 0 内单调递增 9 当2k 时 令 0fx 得ln 2 k x 令 0fx 得0ln 2 k x 这时 f x在 0 ln 2 k 内单调递减 在 ln 2 k 内单调递增 综上 当2k 时 f x在 0 内单调递增 当2k 时 f x在 0 ln 2 k 内单调递减 在 ln 2 k 内单调递增 当02k 时 因为 f x在 0 内单调递增 且 0 0f 所以对于任意的 0 xm 0f x 这时 2f xx 可化为 2f xx 即2 2 20 x ekx 设 2 2 2 x g xekx 则 2 2 x g xek 令 0g x 得 2 ln 2 k x 因为 2 ln0 2 k 所以 g x在 2 0 ln 2 k 单调递减 又因为 0 0g 所以当 2 0 ln 2 k x 时 0g x 不符合题意 当2k 时 因为 f x在 0 ln 2 k 内单调递减 且 0 0f 所以存在 0 0 x 使得对于任意的 0 0 xx 都有 0f x 这时 2f xx 可化为 2f xx 即2 2 20 x ekx 设 2 2 2 x h xekx 则 2 2 x h xek i 若24k 则 0h x 在 0 上恒成立 这时 h x在 0 内单调递减 又因为 0 0h 所以对于任意的 0 0 xx 都有 0h x 不符合题意 ii 若4k 令 0h x 得 2 ln 2 k x 这时 h x在 2 0 ln 2 k 内单调递增 又因为 0 0h 所以对于任意的 2 0 ln 2 k x 都有 0h x 此时取 0 2 min ln 2 k mx 对于任意的 0 xm 不等式 2f xx 恒成立 综上 k的取值范围为 4 22 解 圆C的参数方程为 2cos 3sin x y 为参数 10 直线l的直角坐标方程为20 xy 由直线l的方程20 xy 可得点 2 0 A 点 0 2 B 设点 P x y 则PA PB 2 2 xyxy 22 22xyxy 2412xy 由 知 2cos 3sin x y 则PA PB 4sin2co