注重构造模型培养直觉思维

1 注重构造模型 培养直觉思维 襄樊市二十中学 李继 在教学工作中 经常听到学生报怨 我最怕建模题了 那么多的数字和信息 组织起 来特别困难 简直都不知道如何下手 这是一个带有普遍性的问题 其实质是不能给予题 目中涉及的公式 概念及数学关系赋予恰当的实际意义 构造出数学模型 迷失了解决问 题的途径 这不管是对教还是对学 显然都没有达到目的 近年来 我带着这个问题 阅 读了不少教育学 心理学方面的书籍 认为重要原因之一在于学生直觉思维能力不强 不 能准确地构造出相关模型 沿纵向考察数学思维 它是一个由外感到内化的主客体间的交互作用的过程 避开思 维机制 思维活动过程与结果的关系 仅就思维材料 内容 看 一个完整的数学思维活 动都要经历经验材料的数学化 数学模型化 数学材料的逻辑组织化和数学理论的运用三 个阶段 三个阶段进程紧密相连 互相渗透 互为补充 这是数学学习的过程模式 从数 学思维的方式看有数学形象思维 数学逻辑思维和数学直觉思维之分 三种方式相互影响 相互渗透 相互为用 就其功能和主要倾向来说 数学形象思维是先导 直觉思维常常是 提出问题 发现问题和洞察问题的重要工具 为逻辑思维提供展开的方向 正如庞加莱所 说 逻辑是解题的工具 直觉是发现的工具 而发现这一环节之所以对学生而言较难 是因为初学者往往难以根据自己的经验建立起相应的模型和法则 也就是一个复杂的思维 过程缺少足够的中间环节做支撑 故而思路难通 因此 无论是从解决实际问题 还是从 思维发展的训练规律而言 教师在教学中训练构造基本解题模型 强化构造直觉 都具有 十分重要的意义 我认为教学中应从以下几个方面培养学生的构造模型的能力 一 把握关键语句 构造解法模型 丰富的联想是直觉思维的一个基本特点 其基本特点是由当前面临的事物回想起相关 事物并做出判断 在建模题中常有一些关键词句对解法有明显的提示作用 例 1 某自行车管理站 在某个星期日接受保管的自行车共 3500 辆次 其中变速车保 管费是每辆次 0 5 元 一般车保管费每辆次 0 3 元 若一般车停放的辆次为 X 总的保管 费收入为 Y 元 若需保管费收入不低于 1500 元 问保管一般车至多有多少辆次 分析 此题求的是最大值 而在初中阶段 主要是运用一次函数和二次函数的增减特 性求最值 而 不低于 就意味着列不等式 由这些关键词 解题者可迅速想到建立 Y 与 X 的函数关系式 解不等式或出自变量 X 的取值范围 利用函数的增减性求最值 类似的 关键词句在建模题中较为常见 例如在函数建模题中提到 有哪几种方案 常见解法是根 据题意得出自变量的取值范围 并在该范围内分析存在的各种情况即各种方案 教学建议 学生的直觉除了源于现实经验之处 更重要的是需要丰富的数学经验 而 2 数学经验观在教学中不断积累的结颗 教学中重视学生从教学知识中提炼本质的规律 在 学生头脑中形成 由定义 定理 党规常法网络化的知识模块 由特定环节 如关键词句 作引导 直接将思维导入相关模块 这也是我们训练直觉思维所要追求的效果之一 二 把握常用关系 构造结构类型 建模题必然涉及生活中多方面的数量关系 所以对各方面数量关系能熟记熟用 建立 相应的知识储备 才能为构造模型的直觉思维提供足够的原型启动 例 2 某工厂生产某种产品 每件产品的出厂价为 50 元 其成本价为 25 元 因为生 产过程中 平均每生产一件产品有 0 5 立方米的污水排出 所以为了净化环境 工厂设计 两种方案对污水进行处理 并准备实施 方案一 工厂污水先净化后处理 每处理 1 立方米污水所用原料费 2 元 并且每月排 污设备损耗费 3000 元 方案二 工厂半污水排到污水厂统一处理 每处理 1 立方米污水需 14 元的排污费 问 设工厂每月生产 X 件产品 每月利润 Y 元 分别求出依方案 1 和方案 2 处理污水 时 Y 与 X 的函数关系式 分析 本题涉及到生活中常用的关系 利润 收入 成本 根据题目要求 做题者只需 寻找与收入和成本有关的量即可 题目的各个数据也都在这两条线上 所以把握这两条线 就能有效地把题目中各个量间的关系理顺 达到快速解题的目的 类似的固定数量关系还 有很多 例如 路程 速度 时间 工作量 工作效率 工作时间等等 数学建议 构造性解法的关键是寻找一个促进问题解决的辅助模型 使原本隐晦不清 的关系 在新的构造中展现出来 因其更多地是凭借直觉 领悟问题的特征 而常用的数 量关系和位置关系 即是题目中条件的主脉 也是对解题者思维上的提示 是直觉思维启 动原型 三 把握矛盾关系 构造法则模型 对于有些建模题 在无章可循的情况下 我们可以根据题目特点自己设定一个法则 然后运用该法则去解决问题 如何建立法则 主要取决于题目中的矛盾双方是如何制约 如何联系 例 设一位村民当年 为加强社会主义新农村建设步伐 某市在农村实行合作医疗制度 该制度规定 1 每位村民年初缴纳合作医疗基金 a 元 2 村民个人当年治病花去的医疗费用 以医疗部门出示收据为准 年底按下列办 法处理 村民个人当年花去的医疗费医疗费用处理办法 不超过 b 元的部分全部由合作医疗部门承担 3 超过 b 元不超过 5000 元的部分个人承担 50 其余由合作医疗部门承担 超过 5000 元部分全部由合作医疗部门承担 设一位村民当年治病花去的医疗费为 x 元 他个人实际承担的医疗费用 包括医疗 费用中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金 为 y 元 下表是某村三位村民 2005 年治病 花费和个人实际承担的医疗费用 村民治病花去的医疗费 x 元 个人实际承担的费用 y 元 甲3060 乙4060 丙9085 1 当 b x 5000 时 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 政府给每位加入合作医疗的村民每年 20 元补贴 直接拨到合作医疗部门 用 于弥补经费之不足 若一位重病村民一年治病花去医疗费不少于 6000 元 则他一个人至少 要用多少位村民的合作医疗补贴 分析 此题需要根据第一个表格所提供信息得到医疗费处理方案与个人所药医疗费用 的关系 再结合第二个表格中三位村民的具体情况 制定切合实际的方案 本题数据多 涉及面广 处理方法隐蔽 需解题者有自主制定法则来解决问题 教学建议 直觉思维的一大特点在于其跳跃性和创新性 对于学习中遇到的难题 教 师要鼓励学生积极运用直觉思维去大胆地猜测 探究 跨跃题目设置的障碍 以期达到训 练思维的广度和深度的目的 构造法解决建模题 属于直觉思维的范畴 其展现的是思维的灵活性 直接性和跳跃 性 但知识的熟练运用和思维的创新必需要有经验的积累为基础 所以基本解题模型的构 造 不仅没有限制直觉