初高中衔接之一元二次不等式的解法

1 第六讲第六讲 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 基础知识点基础知识点 知识点具体内容 一元二次方程的 根 方程的求根公式 2 0 0 axbxca b ca 为已知常数 2 2 4 40 2 bbac xbac a 其中 一元二次方程的 判别式 的判别式是 2 0 0 axbxca b ca 为已知常数 2 b4ac 当时 方程有两个不相等的实根 当时 方程有两个相0 0 等的实根 当时 方程没有实根 0 一元二次方程根 与系数的关系 设一元二次方程的两根 2 0 0 axbxca b ca 为已知常数 为和 那么 1 x 2 x 1212 bc xxx x aa 二次函数的图象 二次函数 其中 a b c 是常数 a 0 的图象是抛 2 yaxbxc 物线 其顶点坐标是对称轴是直线 用 4 4 2 2 a bac a b 2 b x a 描点法画函数 其中 a b c 是常数 a 0 的图象步 2 yaxbxc 骤是 配方法配成的形式确定图象开 a bac a b xay 4 4 2 2 2 口方向 对称轴和顶点坐标在对称轴两侧 利用对称性描点画图 二次函数的图象 二次函数 其中 a b c 是常数 a 0 中 2 yaxbxc 当时 开口向上 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大 在对0a 称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小 当 2 b x a 2 min 4 4 acb y a 当时 开口向下 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小 在对0a 称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 当 2 b x a 2 max 4 4 acb y a 基础题训练基础题训练 2 已知二次函数 则当 时 y 0 则82 2 xxxf24xx 或 当 时 y 0 24x 例题讲评例题讲评 例 1解不等式 1 x2 2x 3 0 2 x x2 6 0 3 4x2 4x 1 0 4 x2 6x 9 0 5 4 x x2 0 解 1 0 方程 x2 2x 3 0 的解是 x1 3 x2 1 不等式的解为 3 x 1 2 整理 得 x2 x 6 0 0 方程 x2 x 6 0 的解为 x1 2 x2 3 所以 原不等式的解为 x 2 或 x 3 3 整理 得 2x 1 2 0 由于上式对任意实数 x 都成立 原不等式的解为一切实数 4 整理 得 x 3 2 0 由于当 x 3 时 x 3 2 0 成立 而对任意的实数 x x 3 2 0 都不成 立 原不等式的解为 x 3 5 整理 得 x2 x 4 0 0 所以 原不等式的解为一切实数 例 2 已知不等式的解是求不等式 2 0 0 axbxca 2 3xx 或 的解 2 0bxaxc 解 由不等式的解为 可知 2 0 0 axbxca 2 3xx 或 且方程的两根分别为 2 和 3 0a 2 0axbxc 5 6 bc aa 即 5 6 bc aa 由于 所以不等式可变为0a 2 0bxaxc 2 0 bc xx aa 即 2 560 xx 整理 得 2 560 xx 所以 不等式的解是 2 0bxaxc 3 x 1 或 x 6 5 说明 本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题 链接高中链接高中 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 设 b2 4ac 它的解的情形按照 0 0 0 分别为下列三种情况 有两个不相等的实数解 有两个相等的实数解和没有 实数解 相应地 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴分别有两个公共点 一个公共点和 没有公共点 如图 2 3 2 所示 因此 我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2 bx c 0 a 0 与 ax2 bx c 0 a 0 的解 1 当 0 时 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴有两个公共点 x1 0 和 x2 0 方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根 x1和 x2 x1 x2 由图 2 3 2 可知 不等式 ax2 bx c 0 的解为 x x1 或 x x2 不等式 ax2 bx c 0 的解为 x1 x x2 2 当 0 时 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴有且仅有一个公共点 方程 ax2 bx c 0 有两个相等的实数根 x1 x2 由图 2 3 2 可知 b 2a 不等式 ax2 bx c 0 的解为 x b 2a 不等式 ax2 bx c 0 无解 3 如果 0 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴没有公共点 方程 ax2 bx c 0 没有实数根 由图 2 3 2 可知 不等式 ax2 bx c 0 的解为一切实数 不等式 ax2 bx c 0 无解 今后 我们在解一元二次不等式时 如果二次项系数大于零 可以利用上面的结 论直接求解 如果二次项系数小于零 则可以先在不等式两边同乘以 1 将不等式变成二 次项系数大于零的形式 再利用上面的结论去解不等式 例 2 解关于的一元二次不等式为实数 x 2 10 xaxa 分析 对于一元二次不等式 按其一般解题步骤 首先应该将二次项系数变成正数 本题 已满足这一要求 欲求一元二次不等式的解 要讨论根的判别式的符号 而这里的是关 于未知系数的代数式 的符号取决于未知系数的取值范围 因此 再根据解题的需要 对 的符号进行分类讨论 1 x y O x1x2 x y O x1 x2 y xO 图 2 3 2 4 解 2 4a 当 0 2aa 即或2时 10 xax 2 方程的解是 22 12 44 22 aaaa xx 所以 原不等式的解集为 或 2 4 2 aa x 2 4 2 aa x 当 0 即 a 2 时 原不等式的解为 x a 2 当为一切实数 0 22 a 即时原不等式的解 综上 当 a 2 或 a 2 时 原不等式的解是 或 2 4 2 aa x 2 4 2 aa x 当为一切实数 22 a 时原不等式的解 例 3 已知函数 y x2 2ax 1 a 为常数 在 2 x 1 上的最小值为 n 试将 n 用 a 表示 出来 分析 由该函数的图象可知 该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关 于是需 要对对称轴的位置进行分类讨论 解 y x a 2 1 a2 抛物线 y x2 2ax 1 的对称轴方程是 x a 1 若 2 a 1 由图 2 3 3 可知 当 x a 时 该函数取最小值 n 1 a2 2 若 a 2 时 由图 2 3 3 可知 当 x 2 时 该函数取最小值 n 4a 5 2 若 a 1 时 由图 2 3 3 可知 当 x 1 时 该函数取最小值 n 2a 2 综上 函数的最小值为 2 45 2 1 21 22 1 aa naa aa 图 2 3 3 y O 2 1 x a x x y O 2 1 x a x y O 2 1 x a 能力拓展能力拓展 例 1 解下列不等式 1 10 3 x2 4x 5 x2 4x 4 0 4 x4 x2 6 5 0 6 0 4 1 x x 3 7 x x 5 参考答案 1 2 1 1 2 4 15 xxx或 或 3 4 2 2 1 5 3 3 5 6 1 4 3 7 例 2 解关于 x 的不等式 ax2 x 1 0 参考答案 当 a 0 时 x 1 当 a 0 时 x a a 2 411 a a 2 411 当 0 a 时 x 4 1 a a 2 411 a a 2 411 当 a 时 x2 4 1 当 a 时 xR 4 1 综述 略 巩固反思巩固反思 1 不等式 x 5 3 2x 6 的解集是 A B C D 9 1 2 x xx 或 9 1 2 xx 9 1 2 x xx 或 9 1 2 xx 答案 D 2 设 k R x1 x2是方程 x2 2kx 1 k2 0 的两个实数根 则 x x 的最小值为 2 1 2 2 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 C 3 一元二次不等式的解集是 则的值是 2 20axbx 1 1 2 3 ab A B C D 1010 1414 答案 D 4 下列不等式的解集是 1 x2 1 的解集为 2 1 2x x2 0 的解集为 3 x2 2x 8 0 的解集为 4 x2 x 2 1 x2 0 的解集为 5 a0 的解集是 答案 1 1 1 2 1 3 4 2 4 1 2 5 2 3 6 5 解下列不等式 1 6x2 x 24x 2 3 x x 2 1 答案 1 2 3 4 21 32 1 1 2 5 5 6 当 a 0 时 的解集为 056 22 aaxx 答案 7 8 aa 7 当 a0 的解集为 x x 求 a b 1 2 1 3 2 已知关于