14三角函数的图象与性质

第一章第一章 三角函数三角函数 1 41 4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 4 11 4 1 正弦函数 余弦函数的图象正弦函数 余弦函数的图象 教学目标教学目标 一 知识与能力 1 会用五点法画正弦 余弦函数的图象 2 记住正弦 余弦函数的特征 3 弄清正弦 余弦函数的图象之间的关系 二 过程与方法 利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象 利用诱导公式 经过平移 得到余弦函数图象 三 情感 态度与价值观 体会正 余函数的图象并能利用其观察和解释一些自然现象 教学重点教学重点 几何法作正弦曲线 教学难点教学难点 五点作图法做正 余弦函数的图象 教学方法教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学过程教学过程 一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 1 1 复习 复习 学生口述函数的定义 2 2 引入 教师活动 引入 教师活动 结合我们刚学过的三角比 就以正弦 或余弦 为例 对每一个给定的 角和正弦值 或 之间是否也存在一种函数关系 若存在 请对这种函数关系下一xxsinxcos 个定义 若不存在请说明理由 3 3 讨论 讨论 对自变量的取值类型和范围进行讨论 并给出相应的正弦函数和余弦函数的符号 x 以往我们在研究函数时 先探究函数所具备的性质 再作出函数的图象 今天我们先探究正 弦函数和余弦函数的图象 再得出函数的性质 二 传授新识二 传授新识 1 三角函数的定义 对每一个实数都对应惟一确定的角度 这个确定的角度又对应惟一确定的正弦值 或xsin x 余弦值 即每一个实数都有唯一确定的值 或 与之对应 按这一对应法则建cosxxsin xcosx 立的关系是一个函数关系 表示为 或 称为正弦函数 或余弦函数 sinyx cosyx 正余弦函数的定义域为全体实数 R 2 利用单位圆中正弦线作正弦函数图象 1 教师帮助学生回忆单位圆中的正弦线和余弦线 设点 P 为单位圆上任意一点 的一个角为 QPOX x 为点 P 在 x 轴上的投影 则有向线段 QP 的长是对应的正弦x 线 有向线段 OQ 的长是对应的余弦线 x 让学生结合三角比的定义及对不同象限的角的正弦值和 余弦值加以验证 2 演示单位圆的课件 让学生体验 加深理解 3 小组讨论在单位圆中正弦线和余弦线在随角变化而变化的规律 并归纳总结 x 4 设计画正弦函数的图象的方案 利用 20 sin xxy 作出 及 sin 2sin Zkxkx 4 2 x 6 4 x 0 2 x 的正弦函数的图象 2 4 x 5 展示学生的作品 演示正弦函数的课件 6 归纳作正弦函数时的心得 1 先确定五点 0 0 0 2 0 1 2 1 2 3 2 再用光滑曲线连接 注意曲线弯曲特征 3 通过图象平移得到其他范围上的图象 具体作法 几何作法 具体作法 几何作法 1 在直角坐标系的轴上任取一点 以为圆心作单位圆 从 与轴的交点x 1 O 1 O 1 Ox 起 把 分成等份 过 上各点作轴的垂线 可得对应于等A 1 O12 1 Ox0 2 6 3 2 角的正弦线 2 把轴上这一段分成等份 把角的正弦线向右平行移动 使正弦线的起点x0 2 12x 与轴上的点重合 xx 0 x P y x Q sinyx xR 2 cosyx xR 2 3 2 2 3 2 3 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来 就得到正弦函数 的图sinyx 0 2 x 象 4 因为终边相同的角的函数值相同 所以 函数 sinyx 且的图象与函数 的图象的形状完全相 2 2 1 xkk kZ 0k sinyx 0 2 x 同 只是位置不同 于是只要将函数 的图象向左 右平移 就可得到函数sinyx 0 2 x 的图象 sinyx xR 3 余弦函数的图象 探究 探究 我们已经有了正弦函数的图象 那我们如何得到余弦函数的图象 xysin xycos 让学生小组共同探究 学生活动学生活动 得到的可能的方法 1 受正弦函数的图象的影响 学生采取五点法描点作图 2 利用图象的平移 将正弦函数的图象向左平移个单位xxcos 2 sin xysin 2 即可得到余弦函数的图象 xycos 小结 小结 比较这两种方法 第二种方法不仅简单 而且在此方法上我们可以得到许多与正弦函 数有关的函数的图象 三 巩固拓展三 巩固拓展 例例 1 用五点法作出下列图象 1 sinyx 0 2 x 自变量x0 2 3 2 2 函数值y010 10 向左平移 个单位 2 位 3 2 2 2 2 sin1yx 0 2 x 自变量x0 2 3 2 2 sin x0101 0 函数值y12101 四 小结作业四 小结作业 1 1 小结 小结 1 正弦函数和余弦函数的定义 2 单位圆中的正弦线和余弦线 3 正弦函数和余弦函数的图象及其作法 简单的图象特征 4 函数图象平移中的方法及注意点 2 作业 作业 课本 P34 练习 1 2 3 y xO 3 2 1 2 2 1 4 21 4 2 正弦函数 余弦函数的性质 正弦函数 余弦函数的性质 1 1 周期性周期性 教学目标教学目标 一 知识与能力 1 理解周期函数 最小正周期的定义 2 会求正 余弦函数的最小正周期 二 过程与方法 利用单位圆探索三角函数的性质 渗透数形结合的数学思想 三 情感 态度与价值观 体会函数的周期性并能利用其观察和解释一些自然现象 教学重点教学重点 函数的周期性 最小正周期的定义 教学难点教学难点 周期函数的概念 教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学过程教学过程 一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 1 问题 1 今天是星期二 则过了七天是星期几 过了十四天呢 2 物理中的单摆振动 圆周运动 质点运动的规律如何呢 2 观察正 余 弦函数的图象总结规律 自变量 x 2 3 2 2 0 2 3 2 2 函数值 sin x 0101 0101 0 2 2 2 3 2 3 O x y 1 1 正弦函数性质如下 sinf xx 文字语言 文字语言 正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得 符号语言 符号语言 当增加 时 总有 x2k kZ 2 sin 2 sin f xkxkxf x 即 1 当自变量增加时 正弦函数的值又重复出现 x2k 2 对于定义域内的任意 恒成立 xsin 2 sinxkx 余弦函数也具有同样的性质 这种性质我们就称之为周期性 周期性 二 新课讲解 二 新课讲解 1 1 周期函数的定义 周期函数的定义 对于函数 如果存在一个非零常数 使得当取定义域内的每一个值时 都有 f xTx 那么函数就叫做周期函数 非零常数非零常数叫做这个函数的周期 f xTf x f xT 说明 说明 1 必须是常数 且不为零 T 2 对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立 f xTf x x 请学生思考 1 对于函数 有 能否说是它的周期 sinyx xR 2 sin sin 636 2 3 不能 因为它不满足周期函数的定义 对定义域内的任意都成立 例如 f xTf x x sin sin 636 2 正弦函数 是不是周期函数 如果是 周期是多少 sinyx xR 是 且 2k kZ 0k 3 若函数的周期为 则 也是的周期吗 为什么 f xTkT kZ f x 是 其原因为 2 f xf xTf xTf xkT 2 2 最小正周期的定义 最小正周期的定义 对于一个周期函数 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数 f x 就叫做的最小正周期 f x 说明 说明 1 我们现在谈到三角函数周期时 如果不加特别说明 一般都是指的最小正周期 2 从图象上可以看出 的最小正周期为 sinyx xR cosyx xR 2 3 判断 是不是所有的周期函数都有最小正周期 没有最小正周期 f xc 三 巩固探究三 巩固探究 例例 1 1 求下列函数周期 1 3cosyx xR 2 sin2yx xR 3 1 2sin 26 yx xR 解析 1 3cos 2 3cosxx 自变量只要并且至少要增加到 函数 的值才能重复出现 x2x 3cosyx xR 所以 函数 的周期是 3cosyx xR 2 2 sin 22 sin2 sin2xxx 自变量只要并且至少要增加到 函数 的值才能重复出现 xx sin2yx xR 所以 函数 的周期是 sin2yx xR 3 111 2sin 2 2sin 2sin 262626 xxx 自变量只要并且至少要增加到 函数 的值才能重复出现 xx sin2yx xR 所以 函数 的周期是 sin2yx xR 说明 说明 1 一般结论 函数及函数 其中 sin yAx cos yAx xR A 为常数 且 的周期 0A 0 2 T 2 若 例如 0 3cos yx xR sin 2 yx xR 则这三个函数的周期又是什么 1 2sin 26 yx xR 一般结论 一般结论 函数及函数 的周期 sin yAx cos yAx xR 2 T 例例 2 2 求下列函数的周期 1 2 sin 32 yx 33 coscossinsin 2222 xxxx y 3 4 5 sincosyxx 22 cossin 22 xx y 2 cosyx 解析 1 周期为 2 4 2 T 4 2 周期为 333 coscossinsincos cos 222222 xxxxxx yx 2 3 周期为 cossin2sin 4 yxxx 2 4 周期为 22 sincoscos 22 xx yx 2 5 周期为 2 111 cos 1 cos2 cos2 222 yxxx 说明 说明 求函数周期的一般方法是 先将函数转化为的形式 再利用公式sin yAx 进行求解 2 T 课堂练习 课堂练习 求下列函数的周期 1 sin3yx xR 2 3 2 cos 3 x y xR 6 3 3sin 4 x y xR 8 4 sin 10 yx xR 2 5 cos 2 3 yx xR 6 1 3sin 24 yx xR 4 四 小结作业 1 1 小结 小结 1 周期函数 最小正周期的定义 2 型函数的周期的求法 sin yAx 2 2 作业 作业 课本 P36 练习 1 2 3 1 4 21 4 2 正弦函数 余弦函数的性质 正弦函数 余弦函数的性质 2 2 奇偶性和单调性奇偶性和单调性 教学目标教学目标 一 知识与能力 能判断正余弦函数的奇偶性 掌握正余弦函数的单调性 会求单调区间 二 过程与方法 利用诱导公式推导奇偶性 体现数学知识之间的联系 利用单位圆推导单调性 渗透数形结 合的数学思想 三 情感 态度与价值观 进一步体验研究函数的基本方法 教学重点教学重点 正余弦函数的奇偶性判断和单调区间的求解 教学难点教学难点 函数的单调区间的求解 sinyAx 教学方法教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学过程教学过程 一 复习旧识一 复习旧识 1 1 复习正 余弦函数的周期相关知识 1 什么是周期函数 2 函数及函数 的周期是什么 其中 sin yAx cos yAx xR 0 2 2 分析课本练习 二 引入新识二 引入新识 1 1 正 余弦函数的奇偶性 正 余弦函数的奇偶性 在诱导公式中 sinsinxx coscosxx 故为 R 上的奇函数 为 R 上的偶函数 sinyx cosyx 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性 1 2 sin cosf xxx cossinf xxx 3 4 sincosf xxx cos 1 sin x f x x 解析 解析 1 奇函数 x R sincossin cosfxxxxxf x 或者变换为再判断 1 sin2 2 f xx 2 偶函数 x R cossincossinf xxxxxf x 3 取 2sin 4 f xx 4 x 2 4 f 0 4 f 且 非奇非偶函数 44 ff 44 ff 4 考虑定义域 关于原点不对称 非奇非偶函数 3 1 sin02 2 xxkk Z 注意 注意 判断奇偶性先要考虑定义域 2 2 正 余弦函数的单调性及单调区间 正 余弦函数的单调性及单调区间 考虑单位圆中的正弦线和余弦线 观察变化时 正余弦线的长短正负变化x 注意 注意 在第一象限是是增函数 是错误的 如在同一周期内则正确 sinyx x 例例 2 2 1 求的递减区间 13 sin 4 234 yx 2 求的递减区间 3sin2 3 yx 3 求的递减区间 cos2 3 yx 解 1 3511 242 232224224 kk kxkxk Z 所以递减区间为 511 224224 kk k Z 2 其递减区间为的递增区间 故3sin23sin 2 33 yxx 3sin 2 3 tx 5 222 2321212 kxkkxk 所以递减区间为 5 1212 kkk Z 3 故 cos2cos 2 33 yxx 2 222 363 kxkkxk 所以递减区间为 2 63 kkk Z 例例 3 3 求下列函数的增减区间 2 2 3sin cos2sinyxxx 解析解析 2 2 3sin cos2sin3sin2cos212sin 21 6 yxxxxxx 由 222 26236 kxkkxk 所以函数的递增区间为 36 kkk Z 由 32 222 26263 kxkkxk 所以递减区间为 2 63 kkk Z 三 小结作业三 小结作业 1 1 小结 小结 1 正 余弦函数的奇偶性 2 正 余弦函数的单调区间 2 2 作业 作业 课本 P40 练习 4 5 6 P46 习题 1 4 A 组 3 4 5 1 4 21 4 2 正弦函数 余弦函数的性质 正弦函数 余弦函数的性质 3 3 值域值域 教学目标教学目标 一 知识与能力 能掌握正 余弦函数的值域 会求正 余弦函数的最值 二 过程与方法 利用正 余弦函数 的值域求解和sinyx cosyx sinyAx 的值域 cosyAx 三 情感 态度与价值观 进一步体验研究函数的基本方法 教学重点教学重点 正余弦函数的值域求解 教学难点教学难点 函数的值域的求解 sinyAx 教学方法教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学过程教学过程 一 复习旧识一 复习旧识 1 1 提出问题 1 回忆正余弦函数的奇偶性 2 回忆正余弦函数的单调区间 2 2 分析课后练习 巩固旧识 二 引入新识 二 引入新识 1 1 复习正 余弦函数的值域 sin1 1yx cos1 1yx 当时 有最大值 最大值是 1 2 2 xkkZ sinyx 当时 有最小值 最小值是 1 3 2 2 xkkZ sinyx 当时 有最大值 最大值是 1 2 xkkZ cosyx 当时 有最小值 最小值是 1 2 xkkZ cosyx 2 2 例题讲解 例题讲解 例例 1 1 求函数的值域 sincosyxx 解析 解析 sincosyxx 2sin 4 x 1sin 1 4 x 22sin 2 4 x 所以 函数的值域是 sincosyxx 2 2 例例 2 2 求函数的值域 3cossinyxx 解析 解析 31 3cossin2 cossin 22 yxxxx 2sin 3 x 1sin 1 3 x 22sin 2 3 x 所以 函数的值域为 3cossinyxx 2 2 变式 变式 若把本题再加上的条件 则结果又如何 24 33 x 说明 说明 形式的函数求值域时 可考虑先将函数化为sincosyaxbx 形式的函数来求解 sin yAx 例例 3 3 求函数的最大值和最小值 并写出函数取最值时对应的的 2 34sin4yxcos x x 值 解析 解析 2 34sin4yxcos x 2 4sin4sin1xx 2 1 4 sin 2 2 x 令 则 sintx 11t 2 1 4 2 2 yt 11t 当 即或 时 1 2 t 2 6 xk 5 2 6 xk kZ min 2y 当 即 时 1t 3 2 2 xk kZ max 7y 例例 4 4 求函数的值域 sincossincosyxxxx 解析 解析 令 则 sincosxxt 2 1 sincos 2 t xx 又 sincos2sin 4 txxx 22t 当时 1t min 1y 当时 2t 2 max 111 2 22 222 y 所以 函数的值域为 sincossincosyxxxx 1 22 例例 5 5 已知函数 的最大值为 最小值为 求函数cos3yabx 0b 3 2 1 2 的最大值和最小值 4sin3yabx 解析 解析 cos3yabx 0b 当时 cos31x max 3 2 yab 当时 cos31x min 1 2 yab 由 得 1 2 1 a b 1 4sin32sin3 2 yxx 所以 当时 当时 sin31x 2 max y sin31x min 2y 例例 6 6 已知函数的定义域是 值域是 求常 2 2 sincos2yaxaxab 0 2 5 1 数 a b 解析 解析 2 2 sincos2yaxaxab 1 cos2 cos2axaxab 22 cos2aaxb 0 2 x 2 0 x 1cos21x 若 则当时函数取得最大值 当时函数取得最小值 0a cos21x 1cos21x 5 解得 41 5 ab b 3 2 5 a b 若时 则当时函数取得最大值 当时函数取得最小值 0a cos21x 1cos21x 5 解得 所以 或 1 45 b ab 3 2 1 a b 3 2 5 a b 3 2 1 a b 三 小结作业三 小结作业 1 1 小结 小结 形式的函数求值域时 可考虑先将函数化为sincosyaxbx 形式的函数来求解 sin yAx 2 2 作业 作业 课本 P40 练习 2 3 P46 习题 1 4 A 组 2 1 4 31 4 3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 教学目标教学目标 一 知识与能力 掌握正切函数的性质与图象 二 过程与方法 用描点法作正切函数的图象 渗透数形结合的数学思想 三 情感 态度与价值观 数形结合 体验数与形之间的转换 教学重点教学重点 正切函数的性质与图象 教学难点教学难点 正切函数的递增区间的表述 教学方法教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学过程教学过程 一 复习旧识一 复习旧识 问题 正弦曲线是怎样画的 二 新课讲解 二 新课讲解 1 正切函数的定义域是什么 tanyx zkkxx 2 2 正切函数是不是周期函数 tantan 2 xx xRxkkz 且 是的一个周期 tan 2 yx xRxkkz 且 是不是正切函数的最小正周期 下面作出正切函数图象来判断 3 作 的图象tanyx x 2 2 y y 2 说明 说明 1 正切函数的最小正周期不能比小 正切函数的最小正周期是 2 根据正切函数的周期性 把上述图象向左 右扩展 得到正切函数 且的图象 称 正切曲线 Rxxy tan Z 2 xkk 3 由图象可以看出 正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无 2 xkkZ 穷多支曲线组成的 4 正切函数的性质 引导学生观察 共同获得 1 定义域 zkkxx 2 2 值域 R 观察 当从小于 时 x zkk 2 2 kx tan x 当从大于 时 x zkk 2 kx 2 xtan 3 周期性 T 4 奇偶性 由知 正切函数是奇函数 xxtant