zmj-9312-83558

1 20132013 中考综合题 四季中考综合题 四季 面积问题 共七季 面积问题 共七季 1 如图 抛物线 y ax2 bx c 的开口向下 与 x 轴交于点 A 3 0 和点 B 1 0 与 y 轴交于点 C 顶点为 D 1 求顶点 D 的坐标 用含 a 的代数式表示 2 若 ACD 的面积为 3 求抛物线的解析式 将抛物线向右平移 使得平移后的抛物线与原抛物线交于点 P 且 PAB DAC 求平移 后抛物线的解析式 考点 二次函数综合题 分析 1 已知抛物线与 x 轴的两交点的横坐标分别是 3 和 1 设抛物线解析式的交点 式 y a x 3 x 1 再配方为顶点式 可确定顶点坐标 2 设 AC 与抛物线对称轴的交点为 E 先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式 求出点 E 的坐标 即可得到 DE 的长 然后由 S ACD DE OA 列出方程 解方程求 出 a 的值 即可确定抛物线的解析式 先运用勾股定理的逆定理判断出在 ACD 中 ACD 90 利用三角函数求出 tan DAC 设 y x2 2x 3 x 1 2 4 向右平移后的抛物线解析式为 y x m 2 4 两条抛物线交于点 P 直线 AP 与 y 轴交于点 F 根据正切函数的 定义求出 OF 1 分两种情况进行讨论 如图 2 F 点的坐标为 0 1 如图 2 F 点的坐标为 0 1 针对这两种情况 都可以先求出点 P 的 2 坐标 再得出 m 的值 进而求出平移后抛物线的解析式 解答 解 1 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A 3 0 和点 B 1 0 抛物线解析式为 y a x 3 x 1 ax2 2ax 3a y a x 3 x 1 a x2 2x 3 a x 1 2 4a 顶点 D 的坐标为 1 4a 2 如图 1 设 AC 与抛物线对称轴的交点为 E 抛物线 y ax2 2ax 3a 与 y 轴交于点 C C 点坐标为 0 3a 设直线 AC 的解析式为 y kx t 则 解得 直线 AC 的解析式为 y ax 3a 点 E 的坐标为 1 2a DE 4a 2a 2a S ACD S CDE S ADE DE OA 2a 3 3a 3a 3 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 y x2 2x 3 顶点 D 的坐标为 1 4 C 0 3 A 3 0 AD2 1 3 2 4 0 2 20 CD2 1 0 2 4 3 2 2 AC2 0 3 2 3 0 2 18 AD2 CD2 AC2 ACD 90 tan DAC 3 PAB DAC tan PAB tan DAC 如图 2 设 y x2 2x 3 x 1 2 4 向右平移后的抛物线解析式为 y x m 2 4 两条抛物线交于点 P 直线 AP 与 y 轴交于点 F tan PAB OF 1 则 F 点的坐标为 0 1 或 0 1 分两种情况 如图 2 当 F 点的坐标为 0 1 时 易求直线 AF 的解析式为 y x 1 由 解得 舍去 P 点坐标为 将 P 点坐标 代入 y x m 2 4 得 m 2 4 解得 m1 m2 1 舍去 平移后抛物线的解析式为 y x 2 4 如图 2 当 F 点的坐标为 0 1 时 易求直线 AF 的解析式为 y x 1 由 解得 舍去 P 点坐标为 将 P 点坐标 代入 y x m 2 4 得 m 2 4 解得 m1 m2 1 舍去 4 平移后抛物线的解析式为 y x 2 4 综上可知 平移后抛物线的解析式为 y x 2 4 或 y x 2 4 2 如图 ABC 的顶点坐标分别为 A 6 0 B 4 0 C 0 8 把 ABC 沿直线 BC 翻折 点 A 的对应点为 D 抛物线 y ax2 10ax c 经过点 C 顶点 M 在直线 BC 上 1 证明四边形 ABCD 是菱形 并求点 D 的坐标 2 求抛物线的对称轴和函数表达式 5 3 在抛物线上是否存在点 P 使得 PBD 与 PCD 的面积相等 若存在 直接写出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 根据两点之间的距离公式 勾股定理 翻折的性质可得 AB BD CD AC 根据菱 形的判定和性质可得点 D 的坐标 2 根据对称轴公式可得抛物线的对称轴 设 M 的坐标为 5 n 直线 BC 的解析 式为 y kx b 根据待定系数法可求 M 的坐标 再根据待定系数法求出抛物线的函数 表达式 3 分点 P 在 CD 的上面和点 P 在 CD 的下面两种情况 根据等底等高的三角形面积 相等可求点 P 的坐标 解答 1 证明 A 6 0 B 4 0 C 0 8 AB 6 4 10 AC 10 AB AC 由翻折可得 AB BD AC CD AB BD CD AC 四边形 ABCD 是菱形 CD AB C 0 8 点 D 的坐标是 10 8 6 2 y ax2 10ax c 对称轴为直线 x 5 设 M 的坐标为 5 n 直线 BC 的解析式为 y kx b 解得 y 2x 8 点 M 在直线 y 2x 8 上 n 2 5 8 2 又 抛物线 y ax2 10ax c 经过点 C 和 M 解得 抛物线的函数表达式为 y x2 4x 8 3 存在 PBD 与 PCD 的面积相等 点 P 的坐标为 P1 P2 5 38 3 如图 在直角坐标系 xOy 中 二次函数 y x2 2k 1 x k 1 的图象与 x 轴相交于 O A 两点 1 求这个二次函数的解析式 2 在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B 使 AOB 的面积等于 6 求点 B 的坐 标 3 对于 2 中的点 B 在此抛物线上是否存在点 P 使 POB 90 若存在 求出点 P 的坐标 并求出 POB 的面积 若不存在 请说明理由 7 考点 二次函数综合题 分析 1 将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值 也就得出了抛物线的解析式 2 根据 1 得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标 也就求出了 OA 的长 根 据 OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值 然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物 线的解析式中即可求出 B 点的坐标 然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得 出的 B 点是否符合要求即可 3 根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式 由于 OB OP 由此可求出 P 点的坐标 特点 代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标 求 POB 的面积时 可先求出 OB OP 的长度即可求出 BOP 的面积 解答 解 函数的图象与 x 轴相交于 O 0 k 1 k 1 y x2 3x 假设存在点 B 过点 B 做 BD x 轴于点 D AOB 的面积等于 6 AO BD 6 当 0 x2 3x x x 3 0 解得 x 0 或 3 AO 3 BD 4 8 即 4 x2 3x 解得 x 4 或 x 1 舍去 又 顶点坐标为 1 5 2 25 2 25 4 x 轴下方不存在 B 点 点 B 的坐标为 4 4 点 B 的坐标为 4 4 BOD 45 BO 4 当 POB 90 POD 45 设 P 点横坐标为 x 则纵坐标为 x2 3x 即 x x2 3x 解得 x 2 或 x 0 在抛物线上仅存在一点 P 2 2 OP 2 使 POB 90 POB 的面积为 PO BO 4 2 8 4 如图 二次函数的图象与 x 轴相交于点 A 3 0 B 1 0 与 y 轴相交于点 C 0 3 点 P 是该图象上的动点 一次函数 y kx 4k k 0 的图象过点 P 交 x 轴于点 Q 1 求该二次函数的解析式 2 当点 P 的坐标为 4 m 时 求证 OPC AQC 9 3 点 M N 分别在线段 AQ CQ 上 点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从点 A 向点 Q 运动 同时 点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 向点 Q 运动 当点 M N 中有一点到达 Q 点时 两点同时停止运动 设运动时间为 t 秒 连接 AN 当 AMN 的面积最大时 求 t 的值 直线 PQ 能否垂直平分线段 MN 若能 请求出此时点 P 的坐标 若不能 请说明你的理 由 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 分析 1 利用交点式求出抛物线的解析式 2 证明四边形 POQC 是平行四边形 则结论得证 3 求出 AMN 面积的表达式 利用二次函数的性质 求出 AMN 面积最大时 t 的值 注意 由于自变量取值范围的限制 二次函数并不是在对称轴处取得最大值 由于直线 PQ 上的点到 AQC 两边的距离不相等 则直线 PQ 不能平分 AQC 所以 直线 PQ 不能垂直平分线段 MN 解答 1 解 设抛物线的解析式为 y a x 3 x 1 抛物线经过点 C 0 3 3 a 3 1 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 3 x 1 x2 4x 3 10 2 证明 在抛物线解析式 y x2 4x 3 中 当 x 4 时 y 3 P 4 3 P 4 3 C 0 3 PC 4 PC x 轴 一次函数 y kx 4k k 0 的图象交 x 轴于点 Q 当 y 0 时 x 4 Q 4 0 OQ 4 PC OQ 又 PC x 轴 四边形 POQC 是平行四边形 OPC AQC 3 解 在 Rt COQ 中 OC 3 OQ 4 由勾股定理得 CQ 5 如答图 1 所示 过点 N 作 ND x 轴于点 D 则 ND OC QND QCO 即 解得 ND 3 t 设 S S AMN 则 S AM ND 3t 3 t x 2 又 AQ 7 点 M 到达终点的时间为 t S x 2 0 t 0 且 x 时 y 随 x 的增大而增大 当 t 时 AMN 的面积最大 假设直线 PQ 能够垂直平分线段 MN 则有 QM QN 且 PQ MN PQ 平分 AQC 11 由 QM QN 得 7 3t 5 t 解得 t 1 此时点 M 与点 O 重合 如答图 2 所示 设 PQ 与 OC 交于点 E 由 2 可知 四边形 POQC 是平行四边形 OE CE 点 E 到 CQ 的距离小于 CE 点 E 到 CQ 的距离小于 OE 而 OE x 轴 PQ 不是 AQC 的平分线 这与假设矛盾 直线 PQ 不能垂直平分线段 MN 5 在平面直角坐标系中 已知 M1 3 2 N1 5 1 线段 M1N1平移至线段 MN 处 注 M1与 M N1与 N 分别为对应点 1 若 M 2 5 请直接写出 N 点坐标 2 在 1 问的条件下 点 N 在抛物线 2 12 3 63 yxxk 上 求该抛物线对应的函 数解析式 3 在 2 问条件下 若抛物线顶点为 B 与 y 轴交于点 A 点 E 为线段 AB 中点 点 C 0 m 是 y 轴负半轴上一动点 线段 EC 与线段 BO 相交于 F 且 OC OF 2 3 求 m 的值 4 在 3 问条件下 动点 P 从 B 点出发 沿 x 轴正方向匀速运动 点 P 运动到什么 位置时 即 BP 长为多少 将 ABP 沿边 PE 折叠 APE 与 PBE 重叠部分的面 积恰好为此时的 ABP 面积的 1 4 求此时 BP 的长度 12 1 N 0 2 1 分 2 N 0 2 在抛物线 y 6 1 x2 3 2 3x k 上 k 2 抛物线的解析式为 y 6 1 x2 3 2 3x 2 3 分 3 y 6 1 x2 3 2 3x 2 6 1 x 23 2 B 23 0 A 0 2 E 3 1 CO OF 2 3 CO m FO 2 3 m BF 23 2 3 m S BEC S EBF S BFC 1 2 ABC S 2 1 23 2 3 m m 1 11 2 3 2 22 m 整理得 m2 m 0 图 1 m 1 或 0 5 分 m APE 时 连接 A1B 则对折后如图 2 A1为对折后 A 的所落点 EHP 是重叠部分 E 为 AB 中点 S AEP S BEP 2 1 S ABP S EHP 4 1 S ABP 13 1 A HE S S EHP S BHP 4 1 S ABP A1H HP EH HB 1 四边形 A1BPE 为平行四边形 图 2 BP A1E AE 2 即 BP 2 当 BPE APE 时 重叠部分面积为 ABP 面积的一半 不符合题意 9 分 当 BPE APE 时 则对折后如图 3 A1为对折后 A 的所落点 EHP 是重叠部分 E 为 AB 中点 S AEP S BEP 2 1 S ABP S EHP 4 1 S ABP S EBH S EHP 1 A HP S 4 1 S ABP BH HP EH HA1 1 又 BE EA 2 APEH 2 1 11 AP 2 图 3 在 APB 中 ABP 30 AB 4 AP 2 APB 90 BP 2 3 综合 知 BP 2 或2 3 6 如图 1 所示 已知直线ykxm 与x轴 y轴分别交于A C两点 抛物线 2 yxbxc 经过A C两点 点B是抛物线与x轴的另一个交点 当 1 2 x 时 y取最大值 25 4 1 求抛物线和直线的解析式 2 设点P是直线AC上一点 且SAABP SABPC 1 3 求点P的坐标 3 若直线 1 2 yxa 与 1 中所求的抛物线交于M N两点 问 14 是否存在a的值 使得 0 90MON 若存在 求出a的值 若不存在 请 说明理由 猜想当 0 90MON 时 a的取值范围 不写过程 直接写结论 参考公式 在平面直角坐标系中 若 11 M x y 22 N xy 则M N两点 间的距离为 22 2121 MNxxyy 解 1 由题意得 2 1 2 1 2 4 1 25 4 1 4 b cb 解得 1 6 b c 抛物线的解析式为 2 6yxx 3 0 A 2 0 B 直线AC的解析式为26yx 2 分 2 分两种情况 点P在线段AC上时 过P作PHx 轴 垂足为H 1 3 ABP BPC SAP SPC 1 4 AP AC PH CO 1 4 PHAHAP COAOAC 3 2 PH 3 4 AH 9 4 HO A A C C O O B B x x y y 图 1 15 9 3 4 2 P 点P在线段CA的延长线上时 过P作PGx 轴 垂足为G 1 3 ABP BPC SAP SPC 1 2 AP AC PG CO 1 2 PGAGAP COAOAC 3PG 3 2 AG 9 2 GO 9 3 2 P 综上所述 1 9 3 4 2 P 或 2 9 3 2 P 4 分 3 方法 1 假设存在a的值 使直线 1 2 yxa 与 1 中所求的抛物线 2 6yxx 交于 11 M x y 22 N xy两点 M在N的左侧 使得 0 90MON 由 2 1 2 6 yxa yxx 得 2 232120 xxa 12 3 2 xx 12 6xxa 又 11 1 2 yxa 22 1 2 yxa 1212 11 22 yyxaxa 2 1212 11 42 xxxx aa 2 63 44 a aa 0 90MON 222 OMONMN 222222 11222121 xyxyxxyy 1212 0 xxyy 2 63 60 44 a aaa 即 2 2150aa 3a 或 5 2 a 存在3a 或 5 2 a 使得 0 90MON 3 分 方法 2 假设存在a的值 使直线 A A C C O O B B x x y y M M N N P PQ Q A A C C O O B B x x y y M M N N P PQ Q M M N N 3 5 2 16 1 2 yxa 与 1 中所求的抛物线 2 6yxx 交于 11 M x y 22 N xy两点 M在x轴上侧 使得 0 90MON 如图 过M作MPx 于P 过N作 NQx 于Q 可证明 MPO OQN MPPO OQQN 即 11 22 yx xy 1212 x xy y 即 1212 0 xxyy 以下过程同上 当 5 3 2 a 时 0 90MON 1 分 7 如图 在平面直角坐标系中 直线2 xy与x轴 y轴分别交于点 A 点 B 动 点 P a b 在第一象限内 由点 P 向x轴 y轴所作的垂线 PM PN 垂足为 M N 分 别与直线 AB 相交于点 E 点 F 当点 P a b 运动时 矩形 PMON 的面积为定值 2 1 求 OAB 的度数 2 求证 AOF BEO 3 当点 E F 都在线段 AB 上时 由三条线段 AE EF BF 组成一个三角形 记此三角形 的外接圆面积为 S1 OEF 的面积为 S2 试探究 S1 S2是否存在最小值 若存在 请求出 该最小值 若不存在 请说明理由 解答 解 1 直线 y x 2 当 x 0 时 y 2 B 0 2 当 y 0 时 x 2 A 2 0 OA OB 2 F N M E P O x y B A 19 AOB 90 OAB 45 2 四边形 OAPN 是矩形 PM ON NP OM BE OM AF ON BE AF OM ON 2OM ON 矩形 PMON 的面积为 2 OM ON 2 BE AF 4 OA OB 2 OA OB 4 BE AF OA OB 即 OAF EBO 45 AOF BEO 3 四边形 OAPN 是矩形 OAF EBO 45 AME BNF PEF 为等腰直角三角形 E 点的横坐标为 a E a 2 a AM EM 2 a AE2 2 2 a 2 2a2 8a 8 F 的纵坐标为 b F 2 b b BN FN 2 b BF2 2 2 b 2 2b2 8b 8 PF PE a b 2 EF2 2 a b 2 2 2a2 4ab 2b2 8a 8b 8 ab 2 20 EF2 2a2 2b2 8a 8b 16 EF2 AE2 BF2 线段 AE EF BF 组成的三角形为直角三角形 且 EF 为斜边 则此三角形的外接 圆的面积为 S1 EF2 2 a b 2 2 a b 2 2 S梯形 OMPF PF ON PM S PEF PF PE S OME OM EM S2 S梯形 OMPF S PEF S OME PF ON PM PF PE OM EM PF PM PE OM PM EM PF EM OM PE PE EM OM a b 2 2 a a a b 2 S1 S2 a b 2 2 a b 2 设 m a b 2 则 S1 S2 m2 m m 2 面积不可能为负数 当 m 时 S1 S2随 m 的增大而增大 当 m 最小时 S1 S2最小 m a b 2 a 2 2 2 2 当 即 a b 时 m 最小 最小值为 2 2 S1 S2的最小值 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 21 8 如图 已知抛物线 y 1 2 x2 bx c b c 是常数 且 c 0 与 x 轴分别交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的负半轴交于点 C 点 A 的坐标为 1 0 1 b 点 B 的横坐标为 上述结果均用含 c 的代数式表示 2 连接 BC 过点 A 作直线 AE BC 与抛物线 y 1 2 x2 bx c 交于点 E 点 D 是 x 轴 上一点 其坐标为 2 0 当 C D E 三点在同一直线上时 求抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点 连接 PB PC 设所得 PBC 的面积为 S 求 S 的取值范围 若 PBC 的面积 S 为整数 则这样的 PBC 共有 个 解 1 点 B 坐标根据二次函数对称性来求解 22 2 直线 AE 解析式 联立二次函数解析式解得点 E 直线 CD 解析式 因为 C D E 三点共线 所以点 E 代入 CD 解析式可解得 所以抛物线解析式为 3 表示出 PBC 的面积并判断出最大 最小值即可求出范围 设点 P 则 当时 当 时 综上 S 的范围是 共 11 个 9 如图抛物线 y ax2 bx 3 与 x 轴相交于点 A 1 0 B 3 0 与 y 轴相交于点 C 点 P 为线段 OB 上的动点 不与 O B 重合 过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E F 点 D 在 y 轴正半轴上 OD 2 连接 DE OF 1 求抛物线的解析式 2 当四边形 ODEF 是平行四边形时 求点 P 的坐标 3 过点 A 的直线将 2 中的平行四边形 ODEF 分成面积相等的两部分 求这条直线的解 析式 不必说明平分平行四边形面积的理由 23 第 26 题图 备用图 备用图 解答 解 1 点 A 1 0 B 3 0 在抛物线 y ax2 bx 3 上 a b 3 0 9a 3b 3 0 解得 a 1 b 2 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 在抛物线解析式y x2 2x 3 中 令 x 0 得 y 3 C 0 3 设直线 BC 的解析式为 y kx b 将 B 3 0 C 0 3 坐标代入得 3k b 0 b 3 解得 k 1 b 3 y x 3 设 E 点坐标为 x x2 2x 3 则 P x 0 F x x 3 EF yE yF x2 2x 3 x 3 x2 3x 四边形 ODEF 是平行四边形 24 EF OD 2 x2 3x 2 即 x2 3x 2 0 解得 x 1 或 x 2 P 点坐标为 1 0 或 2 0 3 平行四边形是中心对称图形 其对称中心为两条对角线的交点 或对角线的中 点 过对称中心的直线平分平行四边形的面积 因此过点A 与 ODEF 对称中心 的直线平分 ODEF 的面积 当 P 1 0 时 点 F 坐标为 1 2 又 D 0 2 设对角线 DF 的中点为 G 则 G 0 5 2 设直线 AG 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 G 0 5 2 坐标代入得 k b 0 0 5k b 2 解得 k b 4 3 所求直线的解析式为 y 4 3x 4 3 当 P 2 0 时 点 F 坐标为 2 1 又 D 0 2 设对角线 DF 的中点为 G 则 G 1 1 5 设直线 AG 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 G 1 1 5 25 坐标代入得 解得 k b 3 4 所求直线的解析式为 y 3 4x 3 4 综上所述 所求直线的解析式为 y 3 4x 3 4 或 y 4 3x 4 3 10 已知一元二次方程x2 4x 3 0 的两根是m n且m n 如图 12 若抛物线y x2 bx c 的图像经过点 A m 0 B 0 n 1 求抛物线的解析式 2 若 1 中的抛物线与x轴的另一个交点为 C 根据图像回答 当x取何值时 抛物 线的图像在直线 BC 的上方 3 点P在线段OC上 作 PE x轴与抛物线交与点 E 若直线 BC 将 CPE 的面积分成 相等的两部分 求点 P 的坐标 1 解方程 x 2 4x 3 0 x 1 x 3 0 x1 1 x2 3 因为两根是 m n 且 m n 所以 m 1 n 3 26 所以 A 1 0 B 0 3 代人到 y x 2 bx c 得 1 b c 0 c 3 解得 b 2 c 3 所以解析式为 y x 2x 3 2 解方程 x 2x 3 0 因为两根之积为 3 一根为 1 所以另一个根为 3 即 C 3 0 由图像 得当 3 x 0 时 抛物线的图象在直线 BC 的上方 3 设 P x 0 则 E x x 2x 3 设直线 BC 的解析式为 y kx b 解得 y x 3 所以直线 BC 和直线 PE 的交点为 M x x 3 直线 BC 将 CPE 的面积分成相等的两部分 即 PCM 的面积 PCE 的面积的一半 而这两个三角形是同底 PC 三角形 所以只要满足 PCM 的高是 PCE 的高的一半 即 x 3 1 2 x 2x 3 x 4x 3 0 x 1 x 3 0 解得 x1 1 x2 3 27 当 x 3 时 P 与 A 重合 舍去 所以 x 1 即 P 1 0 11 已知抛物线y ax2 bx c的顶点A 2 0 与y轴的交点为 B 0 1 1 求抛物线的解析式 2 在对称轴右侧的抛物线上找出一点C 使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A 并求出 点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标 3 在 2 的基础上 设直线x t 0 t 10 与抛物线交于点N 当t为何值时 BCN的 面积最大 并求出最大值 解 1 抛物线的顶点是A 2 0 设抛物线的解析式为 2 2 ya x 由抛物线过B 0 1 得41a 1 4 a 2 分 抛物线的解析式为 2 1 2 4 yx 即 2 1 1 4 yxx 3 分 2 设C的坐标为 x y A O 第 24 题图 x y B A 第 24 2 答案图 x O y C B P HD 28 A在以BC为直径的圆上 BAC 90 作CD x轴于D 连接AB AC 则有 AOB CDA 4 分 OBOA ADCD OB CD OA AD 即 1 y 2 x 2 y 2x 4 点 C 在第四象限 24yx 5 分 由 2 24 1 1 4 yx yxx 解得 12 12 102 100 xx yy 点 C 在对称轴右侧的抛物线上 点C的坐标为 10 16 6 分 P为圆心 P为BC中点 取OD中点H 连PH 则PH为梯形OBCD的中位线 PH 2 1 OB CD 2 17 7 分 D 10 0 H 5 0 P 5 17 2 故点P坐标为 5 17 2 8 分 3 设点 N 的坐标为 2 1 1 4 ttt 直线 x t 0 t 10 与直线 BC 交于点 M 1 2 BMN SMNt D 1 10 2 CMN SMNt D 所以 1 10 2 BCNBMNCMN SSSMN DDD 9 分 设直线 BC 的解析式为ykxb 直线 BC 经过B 0 1 C 10 16 A x O y C B M N x t 29 所以 1 1016 b kb 成立 解得 3 2 1 k b 10 分 所以直线 BC 的解析式为 3 1 2 yx 则点 M 的坐标为 3 1 2 tt MN 2 1 1 4 tt 3 1 2 t 2 15 42 tt 11 分 2 115 10 242 BCN Stt D 2 525 42 tt 2 5125 5 44 t 所以 当 t 5 时 BCN SD有最大值 最大值是 125 4 12 分 12 如图 抛物线cbxaxy 2 关于直线1 x对称 与坐标轴交于CBA 三点 且 4 AB 点 2 3 2 D在抛物线上 直线l是一次函数 02 kkxy的图象 点O是坐 标原点 1 求抛物线的解析式 2 若直线l平分四边形OBDC的面积 求k的值 3 把抛物线向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位 所得抛物线与直线l交于 NM 两点 问在y轴正半轴上是否存在一定点P 使得不论k取何值 直线PM与 PN总是关于y轴对称 若存在 求出P点坐标 若不存在 请说明理由 30 答案 1 因为抛物线关于直线 x 1 对称 AB 4 所以 A 1 0 B 3 0 由点 D 2 1 5 在抛物线上 所以 5 124 0 cba cba 所以 3a 3b 1 5 即 a b 0 5 又1 2 a b 即b 2a 代入上式解得a 0 5 b 1 从而 c 1 5 所以 2 3 2 1 2 xxy 2 由 1 知 2 3 2 1 2 xxy 令 x 0 得 c 0 1 5 所以 CD AB 令kx 2 1 5 得l与 CD 的交点 F 2 3 2 7 k 令kx 2 0 得l与x轴的交点 E 0 2 k 根据 S四边形 OEFC S四边形 EBDF得 OE CF DF BE 即 5 11 2 7 2 2 3 2 72 k kkkk 解得 3 由 1 知 2 1 2 1 2 3 2 1 22 xxxy 所以把抛物线向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位 所得抛物线的解析式为 2 2 1 xy 假设在 y 轴上存在一点 P 0 t t 0 使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称 过点 M N 分别向 y 轴作垂线 MM1 NN1 垂足分别为 M1 N1 因为 MPO NPO 所以 Rt MPM1 Rt NPN1 所以 1 1 1 1 PN PM NN MM 1 不妨设 M xM yM 在点 N xN yN 的左侧 因为 P 点在 y 轴正半轴上 则 1 式变为 N M N M yt yt x x 又 yM k xM 2 yN k xN 2 所以 t 2 xM xN 2k xM xN 2 31 把 y kx 2 k 0 代入 2 2 1 xy 中 整理得 x2 2kx 4 0 所以 xM xN 2k xM xN 4 代入 2 得 t 2 符合条件 故在 y 轴上存在一点 P 0 2 使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称 13 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 1 已知抛 物线 y ax2 bx c a 0 经过三点 A B O O 为原点 1 求抛物线的解析式 2 在该抛物线的对称轴上 是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的 坐标 若不存在 请说明理由 3 如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点 那么 PAB 是否有最大面积 若有 求 出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积 若没有 请说明理由 注意 本题中的结果均保 留根号 考点 二次函数综合题 分析 1 直接将 A O B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式 可求解析式 2 因为点 A O 关于对称轴对称 连接 AB 交对称轴于 C 点 C 点即为所求 求直 线 AB 的解析式 再根据 C 点的横坐标值 求纵坐标 3 设 P x y 2 x 0 y 0 用割补法可表示 PAB 的面积 根据面积表 达式再求取最大值时 x 的值 解答 解 1 将 A 2 0 B 1 O 0 0 三点的坐标代入 32 y ax2 bx c a 0 可得 解得 故所求抛物线解析式为 y x2 x 2 存在 理由如下 如答图 所示 y x2 x x 1 2 抛物线的对称轴为 x 1 点 C 在对称轴 x 1 上 BOC 的周长 OB BC CO OB 2 要使 BOC 的周长最小 必须 BC CO 最小 点 O 与点 A 关于直线 x 1 对称 有 CO CA BOC 的周长 OB BC CO OB BC CA 当 A C B 三点共线 即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时 BC CA 最小 此时 BOC 的周长最小 设直线 AB 的解析式为 y kx t 则有 解得 直线 AB 的解析式为 y x 当 x 1 时 y 所求点 C 的坐标为 1 3 设 P x y 2 x 0 y 0 33 则 y x2 x 如答图 所示 过点 P 作 PQ y 轴于点 Q PG x 轴于点 G 过点 A 作 AF PQ 轴于点 F 过点 B 作 BE PQ 轴于点 E 则 PQ x PG y 由题意可得 S PAB S梯形 AFEB S AFP S BEP AF BE FE AF FP PE BE y y 1 2 y 2 x 1 x y y x 将 代入 得 S PAB x2 x x x2 x x 2 当 x 时 PAB 的面积最大 最大值为 此时 y 点 P 的坐标为 34 14 如图9 四边形ABCD是平行四边形 过点A C D作抛物线 2 0 yaxbxc a 与x轴 的另一交点为E 连结CE 点A B D的坐标分别为 2 0 3 0 0 4 1 求抛物线的解析式 3 分 2 已知抛物线的对称轴l交x轴于点F 交线段CD于点K 点M N分别是直线l 和x轴上的动点 连结MN 当线段MN恰好被BC垂直平分时 求点N的坐标 4 分 3 在满足 2 的条件下 过点M作一条直线 使之将四边形AECD的面积分为 3 4 的两部分 求出该直线的解析式 5 分 1 点A B D的坐标分别为 2 0 3 0 0 4 且四边形ABCD是平行四边形 AB CD 5 则点C的坐标为 5 4 1 分 易求抛物线的解析式为 2 210 4 77 yxx 3 分 2 解法一 连结BD交对称轴于G 在 Rt OBD中 易求BD 5 图 9 35 CD BD 则 DCB DBC 又 DCB CBE DBC CBE 4 分 过G作GN BC于H 交x轴于N 易证GH HN 5 分 点G与点M重合 求出直线BD的解析式y 4 4 3 x 根据抛物线可知对称轴方程为 5 2 x 则点M的坐标为 5 2 2 3 即GF 2 3 BF 1 2 BM 22 5 6 FMFB 6 分 又 MN被BC垂直平分 BM BN 5 6 点N的坐标为 23 6 0 7 分 解法二 设点M 5 2 b 点N a 0 则MN的中点坐标为 52 42 a b 4 分 求得直线BC的解析式为26yx 代入得27ab 5 分 延长CB交对称轴于点Q 可求点Q的坐标为 5 2 1 又易得 MQB MNF 1 tantan 5 2 2 b MQBMNF a 245ab 6 分 由 得 23 6 a 2 3 b 点N的坐标为 23 6 0 7 分 3 解法一 过点M作直线交x轴于点 1 P 易求四边形AECD的面积为 28 四边形 ABCD的面积为 20 由 四边形AECD的面积分为 3 4 可知直线 1 PM必与线段CD相交 设 交点为 1 Q 8 分 四边形 11 APQ D的面积为 1 S 四边形 11 PECQ的面积为 2 S 点P1的坐标为 a 0 假 设点 P 在对称轴的左侧 则 1 5 2 PFa 1 7PEa 由 1 MKQ 1 MFP 得 11 MKFM Q KFP 易求 1 Q K 1 5 55 2 PFa 1 55 5 510 22 CQaa 2 S 1 5107 412 2 aa 则a 9 4 10 分 根据 1 9 0 4 P M 5 2 2 3 求出直线 1 PM的解析式为 8 6 3 yx 11 分 36 若点P在对称轴的右侧 则直线 2 P M的解析式为 822 33 yx 12 分 解法二 过点M作直线交x轴于 1 P 易求四边形AECD的面积为 28 四边形ABCD的面 积为 20 由 四边形AECD的面积分为 3 4 可知直线 1 PM必交在线段CD上 8 分 若P在对称轴的左侧 由 1 MKQ 1 MFP得 S MKQ1 S MFP1 25 1 9 分 又 S MKQ1 12 S MFP1 14 S MFP1 1 12 则 1 1 4 FP Xk b1 C om 1 9 0 4 P 根据M 5 2 2 3 求出直线 1 PM的解析式为 8 6 3 yx 11 分 若点P在对称轴的右侧 则直线 2 P M的解析式为 822 33 yx 12 分 15 如图 已知二次函数的图象经过点 A 6 0 B 2 0 和点 C 0 8 1 求该二次函数的解析式 2 设该二次函数图象的顶点为 M 若点 K 为 x 轴上的动点 当 KCM 的周长最小时 点 K 的坐标为 3 连接 AC 有两动点 P Q 同时从点 O 出发 其中点 P 以每秒 3