学生版----第四讲因数与倍数(数的整除特征)

第 1 页 共 7 页 第四讲第四讲 因数与倍数 数的整除特征 因数与倍数 数的整除特征 知识概述知识概述 整除是指整数整除是指整数 a a 除以整数除以整数 b b 0 0 除外 除得的商正好是整数而余数是零 我们就说除外 除得的商正好是整数而余数是零 我们就说 a a 能被能被 b b 整除 或说整除 或说 b b 能整除能整除 a a 记作 记作 blabla 读作 读作 b b 整除整除 a a 或或 a a 能被能被 b b 整除整除 它与除尽既有区别又有联系 除尽是指数 它与除尽既有区别又有联系 除尽是指数 a a 除以数除以数 b b b b 子子 0 0 所得的商是整数或有限小数而余数是零时 我们就说 所得的商是整数或有限小数而余数是零时 我们就说 a a 能被能被 b b 除尽 或说除尽 或说 b b 能除尽能除尽 a a 因此整除与除尽的区别是 整除是指被除数 除数以及商都是整数 而余数是零 除尽并不局限于整数范因此整除与除尽的区别是 整除是指被除数 除数以及商都是整数 而余数是零 除尽并不局限于整数范 围内 被除数 除数以及商可以是整数 也可以是有限小数 只要余数是零就可以了 它们之间的联系就围内 被除数 除数以及商可以是整数 也可以是有限小数 只要余数是零就可以了 它们之间的联系就 是整除是除尽的特殊情况 是整除是除尽的特殊情况 整除的一些性质为 整除的一些性质为 1 1 如果 如果 a a 与与 b b 都能被都能被 c c 整除 那么整除 那么 a ba b 与与 a ba b 也能被也能被 c c 整除 整除 2 2 如果 如果 a a 能被能被 b b 整除 整除 c c 是任意整数 那么积是任意整数 那么积 acac 也能被也能被 b b 整除 整除 3 3 如果 如果 a a 同时被同时被 b b 与与 c c 整除 并且整除 并且 b b 与与 c c 互质 那么互质 那么 a a 一定能被积一定能被积 bcbc 整除 反过来也成立 整除 反过来也成立 有关数的整除特征 有关数的整除特征 1 1 能被 能被 2 2 整除的数的特征是 个位数字为整除的数的特征是 个位数字为 0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 的整数 的整数 2 2 能被 能被 5 5 整除的数的特征是 个位数字为整除的数的特征是 个位数字为 0 0 5 5 的整数 的整数 3 3 能被 能被 2 2 5 5 整除的数的特征是 个位数字为整除的数的特征是 个位数字为 0 0 的整数 的整数 4 4 能被 能被 3 3 或 或 9 9 整除的数的特征是 各个数位上的数字之和是 整除的数的特征是 各个数位上的数字之和是 3 3 或 或 9 9 的倍数的整数 的倍数的整数 5 5 能被 能被 2 32 3 5 5 整除的数的特征是 个位数字为整除的数的特征是 个位数字为 0 0 且各个数位上的数字之和是 且各个数位上的数字之和是 3 3 的倍数的整数 的倍数的整数 6 6 能被 能被 4 4 2525 整除的数的特征是 末两位能被整除的数的特征是 末两位能被 4 4 2525 整除的整数 如整除的整数 如 21682168 因为 因为 6868 能被能被 4 4 整除 或整除 或 者说者说 6868 是是 4 4 的倍数 的倍数 我们就说 我们就说 21682168 能被能被 4 4 整除 但不能被整除 但不能被 2525 整除 而如整除 而如 21752175 就能被就能被 2525 整除 但不能整除 但不能 被被 4 4 整除 而整除 而 21002100 既能被既能被 2525 整除 也能被整除 也能被 4 4 整除 整除 7 7 能被 能被 8 8 125125 整除的数的特征是 末三位能被整除的数的特征是 末三位能被 8 8 125125 整除的整数 如整除的整数 如 2362523625 因为 因为 625625 是是 125125 的倍的倍 数 不是数 不是 8 8 的倍数 所以的倍数 所以 2362523625 能被能被 125125 整除 而不能被整除 而不能被 8 8 整除 整除 8 8 能被 能被 1111 整除的数的特征是 这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差 大减小 整除的数的特征是 这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差 大减小 是是 1111 的倍数 的倍数 例题精学例题精学 例例 1 1 在 内填上适当的数字 使 第 2 页 共 7 页 1 34 能同时被 2 3 4 5 整除 2 7 36 能被 24 整除 思路分析思路分析 1 1 题目要求 题目要求 34 34 能同时被能同时被 2 2 3 3 4 4 5 5 整除 因为能被整除 因为能被 4 4 整除的数一定能被整除的数一定能被 2 2 整除 所整除 所 以以 34 34 只要能被只要能被 3 3 4 4 5 5 整除 就一定能被整除 就一定能被 2 2 3 3 4 4 5 5 整除 先考虑能被整除 先考虑能被 5 5 整除的条件 个位是整除的条件 个位是 0 0 或或 5 5 再考虑能被 再考虑能被 4 4 整除的条件 由于整除的条件 由于 4 4 不能整除不能整除 34 534 5 所以个位必须是 所以个位必须是 0 0 最后考虑能被 最后考虑能被 3 3 整除的条件 整除的条件 34 034 0 的各个数位上的数字和是的各个数位上的数字和是 3 3 的倍数 的倍数 3 4 0 7 3 4 0 7 这时十位数字只能是 这时十位数字只能是 2 2 或或 5 5 8 8 又因为 又因为 5050 不不 能被能被 4 4 整除 所以十位数字是整除 所以十位数字是 2 2 或或 8 8 2 2 题目要求 题目要求 7 36 7 36 能被能被 2424 整除 整除 24 3 824 3 8 而 而 3 3 与与 8 8 互质 根据整除的性质 考虑被互质 根据整除的性质 考虑被 2424 整除 只要整除 只要 分别考虑被分别考虑被 3 3 8 8 整除就行了 先考虑被整除就行了 先考虑被 8 8 整除的条件 整除的条件 7 36 7 36 的末三位数所组成的数的末三位数所组成的数 36 36 能被能被 8 8 整除 整除 所以个位数字只能是所以个位数字只能是 0 0 或或 8 8 当个位数字为 当个位数字为 0 0 时 由于要求时 由于要求 7 3607 360 能被能被 3 3 整除 所以整除 所以 7 3 6 0 16 7 3 6 0 16 能被能被 3 3 整除 这样千位教字只能是整除 这样千位教字只能是 2 2 或或 5 5 或或 8 8 当个位数字为 当个位数字为 8 8 时 由于要求时 由于要求 7 3687 368 能被能被 3 3 整除 所以整除 所以 7 3 6 8 24 7 3 6 8 24 能被能被 3 3 整除 这样千位数字只能是整除 这样千位数字只能是 0 0 或或 3 3 或或 6 6 或或 9 9 同步精练 1 五位数 8 41 中的固内填什么数字 才能被 3 整除且含有约数 5 写出这些数 2 在 358 后面补上三个数字 组成一个六位数 使它能被 3 4 5 整除 且使这个数值尽 可能小 3 既能被 2 整除 又是 3 的倍数 还有约数 5 的最小两位数是多少 最大的两位数是多少 例例 2 2 四位数 7 2 能同时被 2 3 5 整除 这样的四位数有几个 分别是多少 思路分析思路分析 要使四位数要使四位数 7 7 门门 2 2 同能同时被同能同时被 2 2 3 3 5 5 整除 个位上的数是几 又要使四位数整除 个位上的数是几 又要使四位数 7 7 同同 2 2 能被能被 3 3 整除 百位上可取哪些数整除 百位上可取哪些数 为什么 满足这些条件的四位数有为什么 满足这些条件的四位数有 4 4 个 个 第 3 页 共 7 页 同步精练 1 个位数是 5 且能被 9 整除的三位数共有多少个 2 求一个首位数字为 5 的最小六位数 使这个数能被 9 整除 且各位数字均不相同 3 四位数 6a3b 能被 2 3 5 整除 这样的四位数有几个 分别是多少 例 3 有一个两位数不能被 3 6 9 整除 加上 8 后就能够被 3 6 9 整除了 请问这个两 位数最大是多少 思路分析思路分析 能被能被 3 3 整除的数的特征是各位上的数字之和能被整除的数的特征是各位上的数字之和能被 3 3 整除 这个数就能被整除 这个数就能被 3 3 整除 整除 能被能被 9 9 整除的数的特征也是各位上的数字之和能被整除的数的特征也是各位上的数字之和能被 9 9 整除 这个数就能被整除 这个数就能被 9 9 整除 整除 能被能被 6 6 整除的数的特征是各位上的数字之和能被整除的数的特征是各位上的数字之和能被 3 3 整除 而且这个数是偶数 这个数就能被整除 而且这个数是偶数 这个数就能被 6 6 整除 整除 能被能被 3 3 6 6 9 9 整除的数就一定能被整除的数就一定能被 1818 整除 加整除 加 8 8 后被后被 1818 整除的最大两位数是整除的最大两位数是 8282 同步精练同步精练 1 已知一个五位数是 154ab 能被 72 整除 求 a 与 b 的积 2 有一个四位数 千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了 知道这个数十位上的数字是 1 个位上的数字是 2 又知道这个数如果减去 7 能被 7 整除 减去 8 能被 8 整除 减去 9 能被 9 整除 求这个四位数 第 4 页 共 7 页 3 用 1 2 3 8 9 这九个数字组成数字不重复的三位数 第二个数是第一个数的两倍 第三个数是第一个数的三倍 在所有这些三位数中 最大的一个三位数与最小的一个三位 数之差是多少 例例 4 4 商店里有 6 只不同的货箱 分别装有货物 15 16 18 19 20 31 千克 两个顾客 买走其中 5 箱货物 而一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍 商店里剩下的那箱货 物重量是多少千克 思路分析思路分析 要求商店里剩下的货物是多少千克 就要知道两个顾客买走的要求商店里剩下的货物是多少千克 就要知道两个顾客买走的 5 5 箱货物是多少千克 根据箱货物是多少千克 根据 一个顾客买的货物重量是另一个顾客的一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 2 倍倍 可知 两个顾客买走的可知 两个顾客买走的 5 5 箱货物的总重量应是箱货物的总重量应是 3 3 的倍数 的倍数 计算计算 6 6 箱货物的总重量是箱货物的总重量是 15 16 18 19 20 31 11915 16 18 19 20 31 119 千克 千克 119119 除以除以 3 3 余余 2 2 因为卖出的 因为卖出的 5 5 箱货物的总重箱货物的总重 量是量是 3 3 的倍数 所以剩下的那箱货物重量除以的倍数 所以剩下的那箱货物重量除以 3 3 也应余也应余 2 2 可见 剩下的货物重量为 可见 剩下的货物重量为 2020 千克 千克 同步精练 1 把一张纸剪成 6 块 从所得的纸片中取出若干块 每块各剪成 6 块 再从所有的纸片中 取出若干块 每块各剪成 6 块 如此进行下去 到剪完某次停止 所得的纸片总数有可 能是 2000 2001 2002 2003 这四个数中的 2 一位后勤人员买了 72 台微波炉 可是由于他吸烟不小心 灭星落在账本上 把这笔账 的总数烧去两个数字 账本是这样的 72 台微波炉 共 679 元 为被烧掉的数字 微波炉单价为整数 请把处数字填补上 并求出微波炉的单价 3 希希买了 9 支铅笔 2 支圆珠笔 3 本练习本和 5 块橡皮 她看到圆珠笔每支 3 角 9 分 橡皮每块 6 分 其余她没注意 售货员要她付 3 元 8 角 希希马上说 阿姨你算错了 第 5 页 共 7 页 请问售货员的账算错了没有 为什么 练习卷练习卷 一 填空 1 用 2 7 0 三个数字可组成不同的三位数 其中 1 是 2 的倍数的有 2 有约数 5 的有 3 能被 3 整除的有 2 用 1 5 6 可以排成 个不同的三位数 这些三位数中 1 含有质因数 3 的三位数有 2 含有质因数 5 的三位数有 3 既含有质因数 2 又含有质因数 3 的三位数有 3 用 7 2 3 6 四个数字组成的各位数字互不相同的四位数中 既能被 8 整除 又有约数 9 的最小数是 4 既能被 3 整除 又是 5 的倍数的两位数中 最大的奇数是 5 在里填上合适的数字 使七位数 1994 能同时被 9 8 25 整除 二 解决问题 1 把 915 连续写多少次 所组成的数就能被 9 整除 并且这个数最小 2 从 0 1 2 4 7 五个数中选出三个组成三位数 其中能被 3 整除的有多少个 第 6 页 共 7 页 3 有 0 1 4 7 9 五个数字 从中选出四个数字组成一个四位数 例如 1409 把其中 能被 3 整除的四位数从小到大排列起来 第 5 个数的末位数字是多少 4 有一个四位数 它的个位数字与千位数字之和为 10 且个位数字是质数又是偶数 去 掉个位数字与千位数字 剩下的那个两位数是质数 又知道这个四位数还能被 72 整除 求 这个四位数 5 一些四位数 百位数字都是 3 十位数字都是 6 并且它们既能被 2 整除又能被 3 整除 甲是这样的四位数中最大的 乙是最小的 则