高考数学考前提醒——胡四青

1 高考数学考前提醒高考数学考前提醒 亲爱的高三同学 当您即将迈进考场时 对于以下一些个问题 您是否有清醒的认识 亲爱的高三同学 当您即将迈进考场时 对于以下一些个问题 您是否有清醒的认识 一 集合与简易逻辑一 集合与简易逻辑 1 集合中的元素具有确定性 无序性和互异性 如集合 2a隐含条件2a 集合 1 0 xxxa 不能直接化成 1 a 2 研究集合问题 一定要抓住集合中的代表元素的含义 如 xyxlg 与 xyylg 及 xyyxlg 三集合并不表示同一集合 再如 设 A 直线 B 圆 问 A B 中元 素有几个 能回答是一个 两个或没有吗 与 A x y x 2y 3 B x y x 2 y 2 2 A B 中元素有几个 有无区别 过关题 设集合 3 Mx yx 集合 N 2 1 y yxxM 则 MN 答 1 3 进行集合的交 并 补运算时 不要忘了集合本身和空集的特殊情况 不要忘了借助于 数轴和韦恩图进行求解 若 A B 则说明集合 A 和集合 B 没公共元素 你注意到 两种极端情况了吗 A 或B 对于含有n个元素的有限集合 M 其子集 真子 集和非空真子集的个数分别是2n 21 n 和22 n 你知道吗 你会用补集法求解一些 问题吗 A 是 B 的子集 A B B A B A AB 你可要注意A 的情况 过关题 1 已知集合 A 1 2 B x m x 1 0 若 A B B 则所有实数 m 组成 的集合为 2 已知函数12 2 24 22 ppxpxxf在区间 1 1 上至少存在一个实数 c 使0 cf 求实数p的取值范围 答 3 3 2 4 1 求不等式 方程 的解集或求定义域 值域时 你按要求写成集合或区间的形式了 吗 2 你会求分式函数的对称中心吗 过关题 已知函数 1 ax f x xa 的对称中心是 3 1 则不等式 f x 0 的解集是 5 充分条件 必要条件和充要条件的概念记住了吗 如何判断 反证法证题的三部曲你还 记得吗 假设 推矛 得果 原命题 pq 逆命题 qp 否命题 pq 逆否命题 qp 互为 逆否的两个命题是等价的 如 1 sinsin 是 的 条件 答 充分非必要条件 2 设命题 p 命题 q 若 p 是 q 的必要而 43 1x 0 1 12 2 aaxax 不充分的条件 则实数 a 的取值范围是 答 1 0 2 二 函数与性质 二 函数与性质 1 如何利用二次函数求最值 注意对 2 x项的系数进行讨论了吗 若 2 2 2 2 10axax 恒成立 你对2a 0 的情况进行讨论了吗 若改为二次不等式 2 2 2 2 10axax 恒成立 情况又怎么样呢 2 1 二次函数的三种形式 一般式 交点式和顶点式 你了解各自的特点吗 2 二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗 你能相互转化吗 3 方程有解问题 你会求解吗 处理的方法有几种 2 过关题 1 不等式 a x 2 b x 2 0 的解集为 11 23 xx 则 a b 2 方程 2sin 2 x sinx a 1 0 有实数解 则 a 的取值范围是 对函数 2 lg 21 yxax 若定义域为 R 则 2 21xax 的判别式小于零 若值域为 R 则 2 21xax 的判别式大于或等于零 你了解其道理吗 例如 y lg x 2 1 的值域为 y lg x 2 1 的值域为 你有点体会吗 3 求函数的单调区间 你考虑函数的定义域了吗 如求函数 2 2 log 23 yxx 的单调增区 间 再如已知函数 2 log 21 a yxax 在区间 2 3 上单调增 你会求a的范围吗 若函数 2 22yxax 的单调增区间为 2 则a的范围是什么 若函数 2 22yxax 在x 2 上单调递增 则a的范围是什么 两题结果为什么不一样呢 4 函数单调性的证明方法是什么 定义法 导数法 判定和证明是两回事呀 判断方法 图象法 复合函数法等 还记得函数单调性与奇偶性综合运用的例子吗 比较大 小 解不等式 求参数的范围 如已知 3 5sinf xxx 1 1 x 2 1 1 0fafa 求a的范围 求函数单调性时 易错误地在多个单调区间之间添加符号 和 或 单调区间是区 间不能用集合或不等式表示 5 判断函数的奇偶性时 注意到定义域的特点了吗 定义域关于原点对称是这个函数具 有奇偶性的必要非充分条件 过关题 f x a x 2 b x 3 a b 是偶函数 其定义域为 a 1 2a 则 a b 6 以下几个结论你记住了吗 如果函数 xf的图象关于直线ax 对称 那么函数 xf满足关系为 且函数 xf若为奇函数 则函数 xf的周期为 如果函数 xf满足关于点 a b 中心对称 那么函数 xf满足关系式为 如果函数 xf的图象既关于直线ax 成轴对称 又关于点 cb成中心对称 那么 xf是周期函数 周期是T 4ba 若函数满足 f x xafxf 则的周期为 2 若恒成立 则 若 f xa 1 0 f xaa f x 2Ta 恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 1 xfTxf 过关题 1 已知函数 f x 是偶函数 g x 是奇函数 且满足 g x f x 1 则 f 2006 f 2007 f 2008 2 定义在上的偶函数满足 且在上是减函数 若R f x 2 f xf x 3 2 是锐角三角形的两个内角 则的大小关系为 答 sin cos ff sin cos ff 3 已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数 则方程在上R f x 0f x 2 2 至少有 个实数根 答 5 8 常见函数的图象作法你掌握了吗 哪三种图象变换法 平移 对称 伸缩变换 函数的图象不可能关于x轴对称 为什么 如 y 2 4x 是函数吗 函数图象与x轴的垂线至多一个公共点 但与y轴的垂线的公共点可能没有 也可能任意个 3 函数图象一定是坐标系中的曲线 但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象 如圆 图象关于y轴对称的函数是偶函数 图象关于原点对称的函数是奇函数 指数函数与对 数函数关于直线yx 对称 你知道吗 过关题 1 函数 y 2f x 1 的图象可以由函数 y f x 的图象经过怎样的变换得到 2 已知函数 y f x a x b 则集合 x y y f x a x b x y x 0 中 含有元素的个数为 A 0 或 1 B 0 C 1 D 无数个 9 由函数 yf x 图象怎么得到函数 yfx 的图象 由函数 yf x 图象怎么得到 函数 yf x 的图象 由函数 yf x 图象怎么得到函数 yfx 的图象 由函数 yf x 图象怎么得到函数 yfx 的图象 曲线 0Cf x y 关于x轴的对称的曲线 1 C是 曲线 0Cf x y 关于y轴的对称的曲线 2 C是 3 f xaf bx 则 f x的图象关于 2 ab x 对称 4 函数 的图象关于直线对称 由确定 yf ax yf bx 2 ba x axbx 5 若 则函数的图象关于点对称 2f xfax yf x 0 a 10 1 切记 研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行 一般是先求定义域 后化 简 再研究性质 过关题 1 2 1 2 log2yxx 的单调递增区间是 答 1 2 2 已知函数 f x log 3 x 2 x 1 9 则函数 g x f x 2 f x 2 的最大值为 求解中你注意到函数 g x 的定义域吗 2 抽象函数在填空题中 你会用特殊函数去验证吗 过关题 已知 xf是定义在 R 上的奇函数 且为周期函数 若它的最小正周期为 T 则 2 T f 答 0 几类常见的抽象函数 正比例函数型 0 f xkx k f xyf xf y 幂函数型 2 f xx f xyf x f y xf x f yf y 指数函数型 x f xa f xyf x f y f x f xy f y 对数函数型 logaf xx f xyf xf y x ff xf y y 三角函数型 tanf xx 1 f xf y f xy f x f y 11 你能画指数函数和对数函数的图象吗 理解指数函数 对数函数的图象通过的特殊点 吗 如 1 已知实数满足等式 下列五个关系式 ba ba 32 0ab 0 ba 其中可能成立的关系式有 0ba 0 ab ba A B C D 4 2 设均为正数 且 则 cba a a 2 1 log2 b b 2 1 log 2 1 c c 2 log 2 1 A B C D cba abc bac cab 三 三角函数与性质三 三角函数与性质 1 三角函数 正弦 余弦 正切 图象的草图能迅速画出吗 能写出它们的单调区间 对 称中心 对称轴及其取得最值时的x值的集合吗 别忘了Zk 你会叙述由 sinyx 的图象得到 sin xAy图象的过程吗 sin xAy b 与 y sinx 变换关系 正左移负右移 b 正上移负下移 sin sin sin 1 xyxyxy 倍横坐标伸缩到原来的 左或右平移 sin sinsin 1 xyxyxy 左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 bxAyxAy bA sin sin 上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的 函数y 2sin 6 2x 的单调区间是 63 kkkZ 吗 你知道错误的原因吗 tanyx 图象的对称中心是点 0 2 k 而不是点 0 k kZ 你可不能搞错了 你会用单位圆比较sinx 与 cosx 的大小吗 当 0 2 x 时 x sinx tanx 的大小关系如何 过关题 1 函数tanyx 与函数sinyx 图象在 x 2 2 上的交点的个数有 个 2 函数sin 2 3 yx 的图象是由函数sin2yx 的图象经过怎样变换得到的 2 三角函数诱导公式还记得吗 要注意符号与函数名称的变化啊 奇变偶不变 符号看 象限 同角三角函数关系式呢 sincos sincos sincos 三者之间的关系 还清楚吗 过关题 19 求函数 y sin2x sinx cosx 的值域 3 三角公式中 两角 的和 差公式及其逆用 变形用都掌握了吗 倍角公式 降次 公式呢 22 sincossin axbxabx 中 角是如何确定的 可由 22 22 cos sin a ab b ab 确定 也可由tan b a 及 a b的符号来确定 公式的作用太多了 有此体 会吗 特别地 sincos sin3cos 3sincos 重要公式 2 2cos1 sin2 2 2cos1 cos2 2 sin 2 cos 2 sin 2 cossin1 2 等 特 殊角三角函数值你记清楚了吗 如 函数 2 55 3f x sinxcos xcos x 5 3 2 xR 的单调递增区间为 5 答 5 1212 k k kZ 巧变角 巧变角 如 2 2 2 2 222 30 30 等 如 1 已知 2 tan 5 1 tan 44 那么tan 4 的值是 答 3 22 2 已知 为锐角 sin cosxy 3 cos 5 则y与x的函数关 系为 答 2 343 1 1 555 yxxx 3 若 x 6 是函数 y a sinx b cosx 的一条对称轴 则函数 y b sinx a cosx 的一条 对称轴是 A 6 B 3 C 2 D 4 在解含有正余弦函数的问题时 你深入挖出正余弦的有界性了吗 过关题 已知 2 1 cossin 求 cossin的变化范围 提示 整体换元 令 cossin t 然后与sincos 相加 相减 求交集 5 三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗 内角和定理 三角形三内角和为 sinsin AB C coscos ABC sincos 22 AB C 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC R 为三角形外接圆的半径 注意 已知三角形两边一对角 求解三角形时 若运用正弦定理 则务必注意可能有两解 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 cos 2 bca A bc 22 1 2 bca bc 等 常选用余弦定理鉴定三角形的类型 面积公式 11 sin 224 a abc SahabC R 内切圆半径 r cba S ABC 2 5 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 大角对大边 大边对大角 你注意到 了吗 sinsinABAB 你会证明吗 6 三角形为锐角三角形满足什么条件 6 常见的三角换元法 已知 222 ayx 可设 sin cosayax 已知1 22 yx 可设 sin cosryrx 10 r 已知1 2 2 2 2 b y a x 可设 sin cosbyax 6 四 平面向量四 平面向量 1 两个向量的夹角的概念及范围清楚了吗 如 1 边长为 2 的正 中 ABC BCAB 2 在 中 记 ABC BACABCAC 3 2 1 BCABf 求关于的表达式 求的值域 f f 2 理解向量在方向上的投影ba cos a b a b cos x2 y1y2 b a ba 1 x 注 a cos叫做 a 在 b 方向上的投影 b cos叫做 b 在 a 方向上的投影 a b 的几何意义 a b 等于 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos的乘积 如 已知中 角 的对边分别为 为边上的高 ABC ABCabcAHBC 以下结论不正确的是 A A B B sin AH ACcB AH 2 AH ACAH C C D D AHABBCAH AB 22 2cosBCABACbcbcA 3 平面向量问题的常用处理方法是 几何法 数形结合 代数法 基底 坐标 如 1 已知不共线的两个向量 若 OA OB 3OAOB 1OCOAOB 且 则的最小值为 答案 01 3OC AB 2 6 2 ABC 内接于以 O 为圆心 1 为半径的圆 且 则的0543 OCOBOAOC AB 值为 答案 1 5 3 已知ABC 中 60B O为ABC 的外心 若点P在ABC 所在的平面上 OPOAOBOC 且8BP BC 则边AC上的高h的最大值为 4 点 O 为 ABC 的外心 已知 AB 3 AC 2 若 x 2y 1 则AOxAByAC uuu ruu u ruuu r cosB 7 9 4 在中 为的重心 特别地ABC 1 3 PGPAPBPC GABC 为的重心 为0PAPBPCP ABC PA PBPB PCPC PAP 的垂心 ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在 0 ACAB ABAC ABC BAC 直线 在ABC 中 给出 222 OCOBOA 等于已知O是ABC 的外心 练习 1 若 O 是所在平面内一点 且满足 ABCA2OBOCOBOCOA 则的形状为 答 直角三角形 2 若为的边的中点 ABCADABC BC 7 所在平面内有一点 满足 设 则的值为ABC P0PABPCP AP PD 答 2 3 若点是的外心 且 则的内角为OABC 0OAOBCO ABC C 答 120 五 不等式五 不等式 1 利用重要不等式求函数的最值时 是否注意到一正 二定 三相等 运用时有哪些变换 技巧 拆 配 凑等 如 函数 2 1 42 9 4 x x xy的最小值 答 8 若若21xy 则24 xy 的最小值是 答 2 2 正数 x y满足21xy 则 yx 11 的最小值为 答 32 2 2 二元函数求最值的三种方法掌握了吗 方法一 转化为一元问题 用消元或换元的方法 方法二 利用基本不等式 方法三 数形结合法 距离型 截距型 斜率型 过关题 若正数 a b 满足 a b a b 3 则 a b 的取值范围是 答 9 3 不等式恒成立问题有哪几种处理方式 特别注意一次函数型和二次函数型 还有恒成 立理论 常见方法有 分离参数法 最值法 化为一次或二次方程根的分布问题 a f x 恒成 立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 过关题 1 对任意的 a 1 1 函数 f x x 2 a 4 x 4 2a 的值总大于 0 则 x 的取值范围是 2 当 P m n 为圆 x 2 y 1 2 1 上任意一点时 不等式 m n c 0 恒成立 则 c 的取值范围是 4 样确定二元一次不等式 组 表示的平面区域 你会解决简单的线性规划问题吗 1 与直线的截距相关联 axz zaxbyy bb 2 yb z xa 11 ycbxyb k xcxc 可转化为对应两点的斜率 b y ayba aak xcxc 11xb yc yck xb 3 可转化为与到两点距离的平方有关 22 zxyaxbyc 22 xmxnk x y m n 4 表示到直线的距离的倍 22 22 axbyc zaxbyczab ab x y0axbyc 22 ab 练习 1 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 xy 30 0 23 xy xy x 2xy 2 已知 则的取值范围是 答 11xy 13xy 3xy 137xy 3 动态的可行域 如陕西卷 8 实数满足 若目标函数的最小值为 1 则 x y 1 21 y yx xym zxy m 4 动态的目标函数 如山东卷 若所表示的区域为 函数过区域 则 2190 80 2140 xy xy xy M x ya Ma 5 动态的其它相关量 如浙江卷 若 且当时 恒有 则所形成区域面积是 0 0ab 0 0 1 x y xy 1axby P a b 六 等差数列与等比数列六 等差数列与等比数列 1 等差 等比数列的定义 公式 性质你熟记了吗 解决等差 等比数列的基本方法是什 么 基本量法 结合性质 2 你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时 需要分类讨论 时 时 1 q 1 naSn 1 q q qa S n n 1 1 1 3 数列求和中的错位相减法 裂项法 倒序相加法 分组求和法掌握了吗 适用题型分 别是哪些 公式法 等差数列的求和公式 三种形式 等比数列的求和公式 分组求和法 在直接运用公式求和有困难时常 将 和式 中的 同类项 先合并在一 起 再运用公式法求和 如 通项中含 n 1 因式 周期数列等等 倒序相加法 在数列求和中 如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项 与组合数相关联 那么常可考虑选用倒序相加法 等差数列求和公式 错位相减法 差比数列 的求和 裂项相消法 如果数列的通项可 分裂成两项差 的形式 且相邻项分裂后相关联 那么常选用裂项相消法求和 常用裂项形式有 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 7 11 311 1 1 11 4 4444 n nnnnn a 9 8 利用两角差的正切公式 1 tantan 1 tan 1 tan 1 tan1 n annnn 变形 分组法求数列的和 如 an 2n 3n 错位相减法求和 如 an 2n 1 2n 裂项法求和 如求和 111 1 12123123n 答 2 1 n n 倒序相加法求和 如 求证 012 35 21 1 2 nn nnnn CCCnCn A 理科 已知 2 2 1 x f x x 则 111 1 2 3 4 234 fffffff 答 7 2 求数列 an 的最大 最小项的方法 函数思想 如 an n n n 10 1 9 an f n 研究函数 f n 的增减性 如 an 156 2 n n 4 数列通项公式的常见求法 观察法 通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第n项 n a与项数n之间的关系 公式法 利用等差 等比数列的通项公式或利用 1 1 n nn S a SS 1 2 n n 直接写出所求数 列的通项公式 叠加法 适用于递推关系为 1 nn aaf n 型 连乘法 适用于递推关系为 1 n n a f n a 型 如 数列 n a满足 12 2 111 25 222 n n aaan 求 n a 答 1 14 1 2 2 n n n a n 2 先猜后证 3 递推式为 1n a n a f n 采用累加法 1n a n a f n 采用累积法 如已知数列 n a满足 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n 则 n a 答 121 n an 4 构造法形如 1nn akab 1 n nn akab k b为常数 的递推数列 如已知 11 1 32 nn aaa 求 n a 答 1 2 31 n n a A 5 涉及递推公式的问题 常借助于 迭代法 解决 适当注意以下 3 个公式的合理运用 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 an 1 1 2 2n 1n 1n n a a a a a a a 6 倒数法形如 1 1 n n n a a kab 的递推数列都可以用倒数法求通项 如 已知 1 1 1 1 31 n n n a aa a 求 n a 答 1 32 n a n 10 已知数列满足 1 a 1 11nnnn aaa a 求 n a 答 2 1 n a n 已知函数 f x 2 1 4 x 数列 a n 的前 n 项和为 Sn 点 Pn a n 1 1 n a n N 在曲线 y f x 上 且 a 1 1 a n 0 求数列 a n 的通项公式 七 立体几何七 立体几何 1 你理解三视图的投影规律 正侧等高 正俯等长 侧俯等宽 的含义吗 如 一个空间几何体的三视图 如图所示 则这个空间几何体的表 面积是 A 4 B 4 1 C 5 D 6 已知一个棱长为 2 的正方体 被一个平面截后所得几何体的三 视图如图所示 则该几何体的体积是 A 8 B C D 20 3 17 3 14 3 解 几何体是正方体截去一个三棱台 3 11117 2 22 2 3223 V 2 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的取值范围依次是 0 2 0 2 0 3 向量法证明线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的方法掌握了吗 4 向量法求异面直线所成的角 线面角 二面角的平面角时 公式记住了吗 应注意什么 问题 1 两异面直线所成的角 cos 2 直线与平面所成的角 sin 3 二面角 cos 八 解析几何八 解析几何 1 直线倾斜角的范围是什么 它与直线的斜率有什么关系 抓住正切函数的图象 你会看 吗 2 在设直线方程的时候 注意到直线形式的局限性吗 如设点斜式或斜截式时别忘了讨论 不存在时的情况 k 3 直线与圆的位置关系用什么方法判定 圆中计算弦长常用的方法是什么 与圆有关的结论 与圆有关的结论 11 过圆 x2 y2 r2上的点 M x0 y0 的切线方程为 x0 x y0y r2 过圆 x a 2 y b 2 r2上的点 M x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 以 A x1 y2 B x2 y2 为直径的圆的方程 x x1 x x2 y y1 y y2 0 练习 已知直线练习 已知直线 l 其中其中 和圆和圆 C 问直问直 4 yk x 1 2 k 22 84160 xyxy 线线 l 能否将圆能否将圆 C 分割成弧长的比值为分割成弧长的比值为的两段圆弧 为什么 的两段圆弧 为什么 1 2 4 直线与圆锥曲线的位置关系如何判定 直线与圆锥曲线相交时 别忘了隐含的条件 0 5 弦长公式记清楚了吗 抛物线中过焦点的弦长公式呢 涉及弦的中点问题的基本解决方 法是什么 韦达定理 点差法 6 求轨迹方程有哪些方法 如 直接法 定义法 相关点法 代入法 7 在解析几何中若告诉你某个角是直角 垂直 或锐角或钝角请不要忘了用向量处理 1 为直角 ABCBCAB 0 BCAB 2 若 为锐角且不共线 ABC BCBA 0 CBA 3 若 为钝角0 且不共线 ABC BCBA CBA 8 解析几何数题目有哪些类型 分别怎么处理 你都清楚了吗 1 最值与范围问题 2 定值与定点 定直线问题 3 对称问题 4 切线问题 9 圆锥曲线的定义会用吗 练习 已知点 P 在抛物线上 那么点 P 到点的距离与点 P 到抛物线 2 4yx 21 Q 焦点距离之和取得最小值时 点 P 的坐标为 A B C D 1 1 4 1 1 4 12 12 已知为椭圆的两个焦点 过的直线交椭圆于 A B 两点 若 21 FF 1 925 22 yx 1 F 则 12 22 BFAFAB 已知 动圆 M 过点 且和定圆相切 则动圆的