第十讲数列求和及数列的综合应用

第十讲 数列求和及数列的综合应用 与不等式的综合应用与实际生活问题的综合应用 1 等差数列的前 n 项和 2013 上海高考 若等差数列的前 6 项和为 23 前 9 项和为 57 则数列的前 n 项和 Sn 解析 设 Sn An2 Bn 则有Error Error 解得Error Error 故 Sn n2 n 5 6 7 6 答案 n2 n 5 6 7 6 2 裂项求和 数列 an 的通项公式是 an 若前 n 项和为 10 则项数 1 n n 1 n 解析 由 an 所以 n 1 n n n 1 n 1 n n 1n a1 a2 an 1 232 10 即 1 10 即 11 解得 n 1 121 n 120 n 1nn 1n 1 答案 120 3 错位相减法求和 化简 Sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1的结果 是 解析 Sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1 2Sn 2n n 1 22 n 2 23 2 2n 1 2n 两式作差 Sn 2n 2n 1 2n 2 2 n 2n 1 2 n 答案 2n 1 2 n 4 数列的通项公式 如果数列 an 满足 a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项 为 1 公比为 3 的等比数列 则 an 解析 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 3n 1 3 3n 1 2 答案 3n 1 2 5 数列的实际应用 2013 江西高考 某住宅小区计划植树不少于 100 棵 若第一天植 2 棵 以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍 则需要的最少天数 n n N 等于 解析 每天植树的棵树构成以 2 为首项 2 为公比的等比数列 其前 n 项和 Sn 2n 1 2 由 2n 1 2 100 得 2n 1 102 由于 26 64 27 128 则 a1 1 qn 1 q 2 1 2n 1 2 n 1 7 即 n 6 答案 6 裂项相消法求和 命题要点 求和式的值 已知和式的值 求项数 2013 潍坊模拟 已知数列 an 的各项排成如图 3 2 1 所示的三角形 数阵 数阵中每一行的第一个数 a1 a2 a4 a7 构成等差数列 bn Sn是 bn 的前 n 项 和 且 b1 a1 1 S5 15 图 3 2 1 1 若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列 且公比相等 已知 a9 16 求 a50的值 2 设 Tn 当 m 1 1 时 对任意 n N 不等式 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n t2 2mt Tn恒成立 求 t 的取值范围 8 3 思路点拨 1 先求 bn及公比 q 再确定 a50在数阵中的位置 再根据等比数列求 a50 2 先用裂项法求 Tn 再利用导数求 Tn的最大值 最后把问题转化为关于 m 的函数求 解 自主解答 1 因为 bn 为等差数列 设公差为 d b1 1 S5 15 所以 S5 5 10d 15 d 1 所以 bn 1 n 1 1 n 设从第 3 行起 每行的公比是 q 且 q 0 a9 b4q2 4q2 16 q 2 1 2 3 9 45 故 a50是数阵中第 10 行第 5 个数 则 a50 b10q4 10 24 160 2 因为 Sn 1 2 n n n 1 2 所以 Tn 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n 2 n 1 n 2 2 n 2 n 3 2 2n 2n 1 2 1 n 1 1 n 2 1 n 2 1 n 3 1 2n 1 2n 1 2 1 n 1 1 2n 1 2n n 1 2n 1 令 f x x 1 2x x 1 2x 1 f x 2 4x2 x 1 2 2x 1 2 当 x 1 时 f x 0 f x 在 1 上为减函数 所以 Tn为递减数列 Tn的最大值为 T1 1 3 所以不等式变为 t2 2mt 3 0 恒成立 设 g m 2tm t2 3 m 1 1 则Error Error 即Error Error 解得 t 3 或 t 3 即 t 的取值范围为 3 3 1 裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时 其关键在于裂项后系数的 确定 2 裂项求和的几种常见类型 1 1 n n k 1 k 1 n 1 n k 2 1 n k n 1 kn kn 3 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 4 若 an 是公差为 d 的等差数列 则 1 anan 1 1 d 1 an 1 an 1 变式训练 1 等比数列 an 的各项均为正数 且 2a1 3a2 1 a 9a2a6 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 的前 n 项和 1 bn 解 1 设数列 an 的公比为 q 由 a 9a2a6 得 a 9a 所以 q2 2 32 32 4 1 9 由条件可知 q 0 故 q 由 2a1 3a2 1 得 2a1 3a1q 1 所以 a1 1 3 1 3 故数列 an 的通项公式为 an 1 3n 2 bn log3a1 log3a2 log3an 1 2 n n n 1 2 故 2 1 bn 2 n n 1 1 n 1 n 1 1 b1 1 b2 1 bn 2 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 2n n 1 所以数列 的前 n 项和为 1 bn 2n n 1 错位相减法求和 命题要点 求和式的值 证明等式成立 2013 山东高考 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 S4 4S2 a2n 2an 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 且 Tn 为常数 令 cn b2n n N 求数 an 1 2n 列 cn 的前 n 项和 Rn 思路点拨 1 利用等差数列的通项公式 前 n 项和公式 建立方程组求解 2 由已知求 Tn 进而求 bn cn 用错位相减法求 cn 的前 n 项和 自主解答 1 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 由 S4 4S2 a2n 2an 1 得 Error Error 解得Error Error 因此 an 2n 1 n N 2 由题意知 Tn n 2n 1 所以当 n 2 时 bn Tn Tn 1 n 2n 1 n 1 2n 2 n 2 2n 1 故 cn b2n n 1 n 1 n N 2n 2 22n 1 1 4 所以 Rn 0 0 1 1 2 2 3 3 n 1 n 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 则 Rn 0 1 1 2 2 3 n 1 n 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 两式相减得 Rn 1 2 3 4 n 1 n 1 n n 1 n 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 n 1 1 4 1 4 n 1 3 1 3n 3 1 4 整理得 Rn 1 9 4 3n 1 4n 1 所以数列 cn 的前 n 项和 Rn 1 9 4 3n 1 4n 1 1 错位相减只