衡水2020高三下学期第七次调研考试 文科数学（PDF版）

1 数 学 文科 本试卷共 23 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知集合 1 2 3 4 5 A 0 2 4 6 B 则集合AB 的子集共有 2 若复数 2i 1 i a z 的实部为0 其中a为实数 则 z 3 已知向量 1 OAk 1 2 OB 2 0 OCk 且实数0k 若A B C三点共线 则k 4 意大利数学家斐波那契的 算经 中记载了一个有趣的问题 已知一对兔子每个月可以生一对兔子 而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子 假如没有发生死亡现象 那么兔子对数依次为 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 这就是著名的斐波那契数列 它的递推公式是 3 21 nnaaa nnn 其中 1 1 a 1 2 a 若从该数列的前100项中随机地抽取一个数 则这 个数是偶数的概率为 5 设 2 3 0 a 3 0 2 b 2log 3 0 c 则下列正确的是 6 如图所示的茎叶图记录了甲 乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据 单位 分 若这两组数 据的中位数相等 且平均值也相等 则x和y的值为 A 2个B 4个 C 6个D 8个 A 2B 2 C 1D 2 2 A 0B 1 C 2D 3 A 3 1 B 100 33 C 2 1 D 100 67 A cba B bca C bac D cab 2 7 若双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 的焦距为2 5 且渐近线经过点 1 2 则此双曲线的方程为 8 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的是由一个长方体 切割而成的三棱锥的三视图 则该三棱锥的体积为 9 已知函数 sin 0 3 f xAxb A 的最大值 最小值分别为3和1 关于函数 f x有如下四个结 论 2A 1b 函数 f x的图象C关于直线 5 6 x 对称 函数 f x的图象C关于点 2 0 3 对称 函数 f x在区间 5 66 内是减函数 其中 正确的结论个数是 A 2和6B 4和6C 2和7D 4和7 A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy A 12B 16 C 24D 32 3 10 函数 2 cosln 1 f xxxx 的图象大致为 11 已知直三棱柱 111 ABCABC 90ABC 1 2ABBCAA 1 BB和 11 BC的中点分别为E F 则AE与CF夹角的余弦值为 12 函数 f x 是定义在 0 上的可导函数 fx 为其导函数 若 1 x xfxf xx e 且 2 0f 则 0f x 的解集为 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若 1 sin 43 则sin2 14 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 若 sinsin abAB sinacC A 1B 2 C 3D 4 A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 A 0 1 B 0 2 C 1 2 D 1 4 x y 1 1 A x y 1 1 D x y 1 1 C x y 1 1 B 4 2b 则ABC 的外接圆面积为 15 已知一圆柱内接于一个半径为3的球内 则该圆柱的最大体积为 16 设椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 其焦距为c2 O为坐标原点 点P满 足 aOP2 点A是椭圆C上的动点 且 211 3FFAFPA 恒成立 则椭圆C离心率的取值范围是 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 2 1 题为必考题 每 个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a 1 4a 1 1 4 1 nn nanan n N 1 求数列 n a 的通项公式 2 若 1 1 n nn b aa 求数列 n b 前n项和为 n T 18 本小题满分 12 分 某公司为了对某种商品进行合理定价 需了解该商品的月销售量y 单位 万件 与月销售单价x 单 位 元 件 之间的关系 对近6个月的月销售量 i y和月销售单价 i x 1 2 3 6 i 数据进行了统计分析 得到一组检测数据如表所示 月销售单价x 元 件 456789 月销售量y 万件 898382797467 1 若用线性回归模型拟合y与x之间的关系 现有甲 乙 丙三位实习员工求得回归直线方程分别 为 4105yx 453yx 和1043 xy 其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的 请 结合统计学的相关知识 判断哪位实习员工的计算结果是正确的 并说明理由 2 若用cbxaxy 2 模型拟合y与x之间的关系 可得回归方程为25 90875 0375 0 2 xxy 经计算该模型和 1 中正确的线性回归模型的相关指数 2 R 分别为9702 0和9524 0 请用 2 R 说明哪个回 归模型的拟合效果更好 5 3 已知该商品的月销售额为z 单位 万元 利用 2 中的结果回答问题 当月销售单价为何 值时 商品的月销售额预报值最大 精确到01 0 参考数据 91 806547 19 本小题满分 12 分 如图 四边形ABCD为长方形 24ABBC E F分别为AB CD的中点 将ADF 沿AF折 到AD F 的位置 将BCE 沿CE折到BCE 的位置 使得平面AD F 底面AECF 平面B CE 底面 AECF 连接B D 1 求证 B D 平面AECF 2 求三棱锥 B AD F 的体积 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系xOy中 过点 0 2 F 的动圆恒与y轴相切 FP为该圆的直径 设点P的轨迹为曲线 C 1 求曲线C的方程 2 过点 4 2 A 的任意直线l与曲线C交于点M B为AM的中点 过点B作x轴的平行线交曲线C 于点D B关于点D的对称点为N 除M以外 直线MN与C是否有其它公共点 说明理由 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 ln11 fxxxaxa x 6 1 当1a 时 判断函数的单调性 2 讨论 fx零点的个数 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果 多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 直线 1 C的参数方程为 sin cos32 ty tx t为参数 为倾斜角 以坐标 原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 sin4 1 求 2 C的直角坐标方程 2 直线 1 C与 2 C相交于FE 两个不同的点 点P的极坐标为 2 3 若 PFPEEF 2 求 直线 1 C的普通方程 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 a b c为正数 且满足1 abc 证明 1 111 9 abc 2 8 27 acbcababc 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 1 页 共11页 一 选择题 1 B 2 A 3 D 4 B 5 D 6 C 7 B 8 B 9 C 10 B 11 B 12 B 二 填空题 13 9 7 14 3 4 15 4 16 5 1 4 12 解析 设 F xx f x 则 F x xfxf xx ex 1 因此 x 0 1 F x 0 F x 递增 x 1 F x 0 F x 递减 因为当 x0时 F 0 0 且有 F 2 0 所以由 F xx f x 图象可知 当 x 0 2 时 F xxf x 0 此时 f x 0 16 解析 为使 PAAFFF3 112 恒成立 只需F F3 12 PAAF 1max 由椭圆的定义可得 12 2AFAFa 所以 122 22PAAFPAAFaPFa 当且仅当 2 P F A三点共线时取等号 F2 在线段PA上 又点P的轨迹是以O为圆心 半径为2a的圆 所以圆上点P到圆内点F2的最大距离为 半径与OF2的和 即 2 2 PFac 所以 12 2PAAFPFa 224 acaac 所以64 cac 54ca e c a 4 5 又e 1 所以C的离心率的取值范围为 4 5 1 文科数学参考答案与评分标准 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 2 页 共11页 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 2 1 题 为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 已知数列 1 4a 1 1 4 1 nn nanan n N 1 求数列 n a的通项公式 2 若 1 1 n nn b aa 求数列 n b前n项和为 n T 解 解 1 由 1 1 4 1 nn nanan n N可得 21 28aa 1 分 32 3212aa 43 4316aa 1 1 4 nn nanan 2 n 2 分 累加得 1 8 12 4 n naan 3 分 所以 4 4 4 8 12 4 2 n n n nan 4 分 得 22 2 n ann 5 分 由于 1 4a 所以 22 n ann N 6 分 2 1 11111 22 24 2 2224 n nn b aannnn 9 分 11111111 11 2466822242 424 n T nnn 816 n n 12 分 命题意图 本题主要考查已知递推公式用累加法求通项 注重思维的完整性和严密性 另外考查裂项相消法求数列的前n项和 重点考查等价转换思想 体现了数学运算 逻辑推 理等核心素养 18 本小题满分 12 分 某公司为了对某种商品进行合理定价 需了解该商品的月销售量y 单位 万件 与月 销售单价x 单位 元 件 之间的关系 对近6个月的月销售量 i y和月销售单价 i x 1 2 3 6 i 数据进行了统计分析 得到一组检测数据如表所示 n a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 3 页 共11页 月销售单价x 元 件 4 5 6 7 8 9 月销售量y 万件 89 83 82 79 74 67 1 若用线性回归模型拟合y与x之间的关系 现有甲 乙 丙三位实习员工求得回 归直线方程分别为 4105yx 453yx 和1043 xy 其中有且仅有一位实习 员工的计算结果是正确的 请结合统计学的相关知识 判断哪位实习员工的计算结果是正确 的 并说明理由 2 若 用cbxaxy 2 模 型 拟 合 y 与x之 间 的 关 系 可 得 回 归 方 程 为 25 90875 0375 0 2 xxy 经计算该模型和 1 中正确的线性回归模型的相关指数 2 R 分 别 为9702 0和9524 0 请 用 2 R 说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 3 已知该商品的月销售额为z 单位 万元 利用 2 中的结果回答问题 当月 销售单价为何值时 商品的月销售额预报值最大 精确到01 0 参考数据 91 806547 解 解 1 已知变量x y具有线性负相关关系 故乙不对 因为5 6 6 987654 x 79 6 677479828389 y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确 4 分 2 因为9524 09702 0 且 2 R 越大 残差平方和越小 模拟的拟合效果越好 所以选用25 90875 0375 0 2 xxy更好 言之有理即可得分 7 分 3 由题意可知 xxxyxz25 90875 0375 0 23 8 分 即xxxz 4 361 8 7 8 3 23 则 4 361 4 7 8 9 2 xxz 9 分 令0 z 则 9 76547 x 舍去 或 9 76547 x 10 分 令 9 76547 0 x 当 0 0 xx 时 z单调递增 当 0 xx时z单调递减 所以当 0 xx 时 商品的月销售额预报值最大 11 分 因为91 806547 所以77 9 x 所以当77 9 x时 商品的月销售额预报值最大 12 分 19 本小题满分 12 分 如图 四边形ABCD为长方形 24ABBC E F分别为AB CD的中点 将ADF 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 4 页 共11页 沿AF折到ADF 的位置 将BCE 沿CE折到BCE 的位置 使得平面ADF 底面 AECF 平面BCE 底面AECF 连接B D 1 求证 B D 平面AECF 2 求三棱锥 B ADF 的体积 解 解 1 证明 作DM AF于点M 作B N EC于点N 1 分 2ADDF 2BCBE 90ADFCBE M N为AF CE中点 且DM 2BN 2 分 平面ADF 底面AECF 平面ADF 底面AECF AF DM AF DM 平面ADF DM 底面AECF 3 分 同理 B N 底面AECF 4 分 DM B N 四边形DBNM 为平行四边形 BDMN 5 分 BD 平面AECF MN 平面AECF B D 平面AECF 6 分 2 设点 B 到平面ADF 的距离为h 连接NF 7 分 DM B N DM 平面ADF B N 平面ADF B N 平面ADF 8 分 故点 B 到平面ADF 的距离与点N到平面ADF 的距离相等 8 分 N为CE中点 2EFCE NFCE 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 5 页 共11页 AFCE NFAF 9 分 平面ADF 底面AECF 平面ADF 底面AECF AF NF 底面AECF NF 平面ADF 10 分 点N到平面ADF 的距离为 2NF 点 B 到平面ADF 的距离2h 11 分 1 2 22 2 AD F S 三棱锥 B ADF 的体积 112 2 22 333 BAD FAD F VSh 12 分 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系xOy中 过点 0 2 F 的动圆恒与y轴相切 FP为该圆的直径 设点P 的轨迹为曲线C 1 求曲线C的方程 2 过点 4 2 A 的任意直线l与曲线C交于点M B为AM的中点 过点B作x轴的 平行线交曲线C于点D B关于点D的对称点为N 除M以外 直线MN与C是否有其它 公共点 说明理由 解析 1 如图 过P作y轴的垂线 交y轴于点H 交直线2 x于点 1 P 1 分 设动圆圆心为E 半径为r 则E到y轴的距离为r 在梯形OFPH中 由中位线性 质得 22 rPH 2 分 所以rrPP2222 1 又rPF2 所以 1 PPPF 3 分 由抛物线的定义知 点P是以 0 2 F 为焦点 直线2 x为 准线的抛物线 所以曲线C的方程为xy8 2 4 分 2 由 4 2 A 得 A在曲线C上 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 6 页 共11页 i 当l的斜率存在时 设 2 111 xyxM 则 1 2 1 8xy AM的中点 2 4 2 2 11 yx B 即 2 2 1 2 11 yx B 5 分 在方程xy8 2 中令2 2 1 y y得 21 2 2 8 1 y x 所以 2 2 2 2 8 1 121 yy D 6 分 设 22 yxN 由中点坐标公式 2 2 2 2 4 1 121 2 xy x 又 1 2 1 8xy 代入化简得 2 1 2 y x 所以 2 2 2 11 yy N 7 分 直线MN的斜率为 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 28 2 2 2 2 2 yyy y y x y y 直线MN的方程为 11 1 4 yxx y y 将 8 2 1 1 y x 代入 式化简得 2 4 1 1 y x y y 8 分 将 8 2 y x 代入 式并整理得02 2 11 2 yyyy 式判别式04 2 2 1 2 1 yy 9 分 所以直线MN与抛物线C相切 所以除M以外 直线MN与C没有其它公共点 10 分 ii 当l的斜率不存在时 4 2 M 0 2 B 0 0 D 0 2 N 直线MN方程为 2 xy 代入xy8 2 得044 2 xx 11 分 上式方程判别式0 除M以外 直线MN与C没有其它公共点 综上 除M以外 直线MN与C没有其它公共点 12 分 命题意图 本题以直线与圆 直线与抛物线为载体 利用直线与圆的位置关系等知识 导出抛物线的方程 借助几何关系 利用方程思想解决问题 主要考察抛物线的定义 直线 与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识 考查学生的直观想象 逻辑推理 数学运算等 数学核心素养及思辨能力 21 本小题满分 12 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 7 页 共11页 已知函数 2 1 ln11 f xxxaxa x 1 当1a 时 判断函数的单调性 2 讨论 f x零点的个数 解 解 1 因为1a 所以 2 1 ln211 ln1f xxxxxxxx 又 1 ln23fxxx x 设 1 ln23h xxx x 2 分 又 22 21 111 2 xx h x xxx 所以 h x在 0 1为单调递增 在 1 为单调递减 3 分 所以 h x的最大值为 10h 所以 0fx 所以 f x在 0 单调递减 4 分 2 因为 1 ln1f xxxax 所以1x 是 f x一个零点 设 ln1g xxax 所以 f x的零点个数等价于 g x中不等于1的零点个数再加上1 5 分 i 当1a 时 由 1 可知 f x单调递减 又1x 是 f x零点 所以此时 f x 有且只有一个零点 6 分 ii 当0a 时 g x单调递增 又 10 g 2 2131 ln11 11 xaxax g xxaxax xx 01x 又 22 31431411axaxaxaxaxx 所以 1 0 4 g a 综上可知 g x在 0 有一个零点且 10g 所以此时 f x 有两个零点 8 分 iii 又 1ax gx x 所以当10a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 8 页 共11页 g x在 1 0 a 单调递增 在 1 a 单调递减 g x的最大值为 11 ln0g aa 又 2121 110 11 xx g xax xx 1 0 3 g 又 1 0 a g ee 所以 g x在 1 0 a 有一个零点 在 1 a 也有一个零点且 10g 所以此时 f x共有 3 个零点 10 分 iv 又 1ax gx x 所以当1a 时 g x在 1 0 a 单调递增 在 1 a 单调递减 g x的最大值为 11 ln0g aa 所以 g x没有零点 此时 f x共有1个 零点 综上所述 当1a 时 f x共有 1 个零点 当10a 时 f x共有 3 个零点 当0a 时 f x有两个零点 12 分 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 注意 只能做所选定 的题目 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 直线 1 C的参数方程为 sin cos32 ty tx t为参数 为倾斜 角 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 sin4 1 求 2 C的直角坐标方程 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 9 页 共11页 2 直线 1 C与 2 C相交于FE 两个不同的点 点P的极坐标为 2 3 若 PFPEEF 2 求直线 1 C的普通方程 解 1 由题意得 2 C的极坐标方程为 sin4 所以 sin4 2 1 分 又 sin cos yx 2 分 代入上式化简可得 04 22 yyx 3 分 所以 2 C的直角坐标方程4 2 22 yx 4 分 2 易得点P的直角坐标为 0 32 将 sin cos32 ty tx 代入 2 C的直角坐标方程 可得 012 sin4cos34 2 tt 5 分 22 4 3cos4sin 48 8sin 480 3 解得 3 sin 32 或 3 sin 32 不难知道 必为锐角 故 3 sin 32 所以 2 333 即 0 3 6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1 t 2 t 则 sin4cos34 21 tt 12 21 tt 7 分 所以 1 t与 2 t同号 由参数t