2010年高三数学计算试题分类汇编——函数

1 20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 函数函数 2010 上海文数 上海文数 22 22 本题满分 本题满分 1616 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 2 2 小题小题 满分满分 5 5 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分 分 若实数x y m满足xmym 则称x比y接近m 1 若 2 1x 比 3 接近 0 求x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数a b 证明 22 a bab 比 33 ab 接近2ab ab 3 已知函数 f x的定义域 D x xkkZ xR 任取xD f x等于 1 sin x 和1 sin x 中接近 0 的那个值 写出函数 f x的解析式 并指出它的奇偶性 最小 正周期 最小值和单调性 结论不要求证明 解析 1 x 2 2 2 对任意两个不相等的正数 a b 有 22 2a babab ab 33 2abab ab 因为 22332 2 2 0a babab ababab abab ab 所以 2233 2 2 a babab ababab ab 即 a2b ab2比 a3 b3接近2ab ab 3 1sin 2 2 1 sin 1sin 2 2 xxkk f xx xk xxkk k Z f x 是偶函数 f x 是周期函数 最小正周期 T 函数 f x 的最小值为 0 函数 f x 在区间 2 kk 单调递增 在区间 2 kk 单调递减 k Z 2010 湖南文数 湖南文数 21 本小题满分 13 分 已知函数 1 ln15 a f xxaxa x 其中 a 0 且 a 1 讨论函数 f x的单调性 设函数 332 23646 1 1 x xaxaxaa ex e fx x g x e 是自然数的底数 是 否存在 a 使 g x在 a a 上为减函数 若存在 求 a 的取值范围 若 不存在 请说明理由 2 3 2010 浙江理数 浙江理数 22 本题满分 14 分 已知a是给定的实常数 设函数 22 f xxaxb e bR xa 是 f x的一个极大值点 求b的取值范围 设 123 x x x是 f x的 3 个极值点 问是否存在实数b 可找到 4 xR 使得 1234 x x x x的某种排列 1234 iiii xxxx 其中 1234 i i i i 1 2 3 4 依次成等差数列 若存在 求所有的b及相应的 4 x 若不存在 说明理由 解析 本题主要考查函数极值的概念 导数运算法则 导数应用及等差数列等基础知识 同 时考查推理论证能力 分类讨论等综合解题能力和创新意识 解 f x ex x a 2 3 2 xab xbaba 令 2 22 3 2 3 a b 4 2 1 80 g xxab xbaba babaab 则 于是 假设 1212 0 x xg xxx 是的两个实根 且 1 当 x1 a 或 x2 a 时 则 x a 不是 f x 的极值点 此时不合题意 2 当 x1 a 且 x2 a 时 由于 x a 是 f x 的极大值点 故 x1 a0 由已知得 x alnx 1 2 x a x 解德 a 2 e x e2 两条曲线交点的坐标为 e2 e 切线的斜率为 k f e2 1 2e 切线的方程为 y e 1 2e x e2 2 由条件知 7 当 a 0 时 令h x 0 解得 x 2 4a 所以当 0 x 2 4a时 h x 2 4a时 h x 0 h x 在 0 2 4a 上递增 所以x 2 4a是h x 在 0 上的唯一极致点 且是极小值点 从而也是h x 的最小 值点 所以 a h 2 4a 2a aln 2 4a 2 当 a 0 时 h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故 h x 的最小值 a 的解析式为 2a 1 ln2a a o 3 由 2 知 a 2a 1 ln2a 则 1 a 2ln2a 令 1 a 0 解得 a 1 2 当 0 a0 所以 a 在 0 1 2 上递增 当 a 1 2 时 1 a 0 为单调递增区间 最大值在右端点取到 max 1 1 2 ffa 2010 安徽文数 安徽文数 20 本小题满分 12 分 设函数 sincos1f xxxx 0 2 x 求函数 f x的单调区间与极值 命题意图 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值的方法 考查综合应 用数学知识解决问题的能力 解题指导 1 对函数 sincos1f xxxx 求导 对导函数用辅助角公式变形 利 用导数等于 0 得极值点 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负 判断区间的单调性 求极值 12 4 23 0 422 xx xxxx xx 解 由f x si nx cosx x 1 0 x 2 知fsi n 令f 从面si n 得 或 当变化时 f f x 变化情况如下表 3 2 2 333 2 222 因此 由上表知f x 的单调递增区间是 0 与 单调递增区间是 极小值为f 极大值为f 思维总结 对于函数解答题 一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值 利用导数为 0 得可能的极值点 通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性 进而得出极值点 11 2010 重庆文数 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知函数 32 f xaxxbx 其中常数 a b R g xf xfx 是奇函数 求 f x的表达式 讨论 g x的单调性 并求 g x在区间 1 2 上的最大值和最小值 2010 浙江文数 浙江文数 21 本题满分 15 分 已知函数 2 f xxa a b a bR a 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析 本小题主要考查曲线的切线方程 利用导数研究函数的单调性与极值 解不等式等 基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 当 a 1 时 f x 32 3 xx1 2 f 2 3 f x 2 33xx f 2 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 f x 2 333 1 axxx ax 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 11 0a2 a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x A 极大值A 17 当 1 1 xfx 2 2 时 0等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 11 0 a2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0 等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a1 时 2x 2 0 从而 2x 2 e10 0 F x e 又所以 x 0 从而函数 F x 在 1 是增函数 又 F 1 1 1 ee0 所以x 1时 有F x F 1 0 即 f x g x 证明 1 若 121212 1 1 0 1 xxxxxx 12 由 及f xf x则与矛盾 2 若 121212 1 1 0 xxxxxx 12 由 及f xf x得与矛盾 根据 1 2 得 1212 1 1 0 1 1 xxxx 不妨设 由 可知 2 f x 2 g x 则 2 g x 2 f 2 x 所以 2 f x 2 f 2 x 从而 1 f x 2 f 2 x 因为 2 1x 所以 2 21x 又由 可知函数 f x 在区间 1 内事增 函数 所以 1 x 2 2x 即 12 xx 2 20102010 福建文数 福建文数 22 本小题满分 14 分 已知函数 f x 32 1 3 xxaxb 的图像在点 P 0 f 0 处的切线方程为 y 3x 2 求实数 a b 的值 设 g x f x 1 m x 是 2 上的增函数 i 求实数 m 的最大值 19 ii 当 m 取最大值时 是否存在点 Q 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y g x 围成两个封 闭图形 则这两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 20 20102010 福建文数 福建文数 21 本小题满分 12 分 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港 口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正东方 向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船 相遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 是否存在 使得小艇以 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与轮 21 船相遇 若存在 试确定 的取值范围 若不存在 请说明理由 22 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 20 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln1f xxxx 若 2 1xfxxax 求a的取值范围 证明 1 0 xf x 2010 四川文数 四川文数 22 本小题满分 14 分 23 设 1 1 x x a f x a 0a 且1a g x 是 f x 的反函数 求 g x 当 2 6 x 时 恒有 2 log 1 7 a t g x xx 成立 求 t 的取值范围 当 0 a 时 试比较 f 1 f 2 f n 与4n 的大小 并说明理由 1 2 24 2010 湖北文数 湖北文数 21 本小题满分 14 分 设函数 32 1a xxbxc 32 f x 其中 a 0 曲线xyf 在点 P 0 0f 处的切线方程为 y 1 确定 b c 的值 设曲线xyf 在点 11 xxf 及 22 xxf 处的切线都过点 0 2 证 明 当 12 xx 时 12 fxfx 若过点 0 2 可作曲线xyf 的三条不同切线 求 a 的取值范围 2010 湖北文数 湖北文数 19 本小题满分 12 分 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a 单位 m2 其中有部分旧住房需要拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10 建设新住房 同事也拆除面积为 b 单位 m2 的旧住房 25 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30 则每年拆 除的旧住房面积 b 是多少 计算时取 1 15 1 6 20102010 山东理数 山东理数 22 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 设 2 24 g xxbx 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 12 f xg x 求实数b取值范围 26 当 1 4 a 时 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 所以对任意 1 0 2 x 有 1 1 f x f 1 2 又已知存在 2 1 2x 使 12 f xg x 所以 2 1 2 g x 2 1 2x 即存在 1 2x 使 2 1 24 2 g xxbx 即 2 9 2 2 bxx 即 9 2 2bx x 11 17 24 所以 11 2 2 b 解得 11 4 b 即实数b取值范围是 11 4 命题意图 本题将导数 二次函数 不等式知识有机的结合在一起 考查了利用导数研究 27 函数的单调性 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题 考查了同学们分类讨论的 数学思想以及解不等式的能力 考查了学生综合运用所学知识分析问题 解决问题的能力 1 直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性 2 利用导数求出 f x的最小值 利用二次函数知识或分离常数法求出 g x在闭区间 1 2 上的最大值 然后解不等式求参数 2010 湖南理数 湖南理数 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 f xxbxc b cR 对任意的xR 恒有 fx f x 证明 当0 x 时 2 f xxc 若对满足题设条件的任意 b c 不等式 22 f cf bM cb 恒成立 求 M 的最小值 解析 解析 2010 湖北理数 17 本小题满分 12 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢 28 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年 的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足关系 C x 010 35 k x x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为隔热层建造费 用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 20102010 福建理数 福建理数 20 本小题满分 14 分 已知函数 3 x x xf 其图象记为曲线C i 求函数 x f的单调区间 ii 证明 若对于任意非零实数 1 x 曲线 C 与其在点 111 P x f x 处的切线交于另一点 222 P x f x 曲线 C 与其在点 222 P x f x 处的切线交于另一点 333 P x f x 线段 1 122312 2 PP P P S S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值 对于一般的三次函数 32 g x ax bx cx d a0 请给出类似于 ii 的正确 命题 并予以证明 命题意图 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 运算求 解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 特殊与一 般思想 29 解析 i 由 3 x x xf得 2 x 3x 1f 33 3 x x 33 当 3 x 3 和 3 3 时 x 0 f 当 3 x 3 3 3 时