多边形与平行四边形

多边形与平行四边形 一 选择题 1 2014 四川巴中 第 11 题 3 分 若一个正多边形的一个内角等于 135 那么这个多边 形是正 边形 考点 正多边形的内角和 分析 一个正多边形的每个内角都相等 根据内角与外角互为邻补角 因而就可以求出 外角的度数 根据任何多边形的外角和都是 360 度 利用 360 除以外角的度数就可以求 出外角和中外角的个数 即多边形的边数 解答 外角是 180 135 45 度 360 45 8 则这个多边形是八边形 点评 根据外角和的大小与多边形的边数无关 由外角和求正多边形的边数 是常见的 题目 需要熟练掌握 2 2014 山东济南 第 8 题 3 分 下列命题中 真命题是 A 两对角线相等的四边形是矩形 B 两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C 两对角线互相垂直的四边形是菱形 D 两对角线相等的四边形是等腰梯形 解析 两对角线相等的四边形不一定是矩形 也不一定是等腰梯形 所以 A D 都不是真 命题 又两对角线互相垂直如果不平分 此时的四边形不是菱形 故选 B 3 2014 山东济南 第 10 题 3 分 在 中 延长 AB 到 E 使 BE AB 连接 DEABCD 交 BC 于 F 则下列结论不一定成立的是 A B C D E F 第 10 题图 A B C D CDFE DFEF BFAD2 CFBE2 解析 由题意可得 于是 A B 都一定成立 FBEFCD 又由 BE AB 可知 所以 C 所给结论一定成立 于是不一定成立的应选BFAD2 D 4 2014 年贵州黔东南 3 4 分 如图 在四边形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O 不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 A AB DC AD BCB AB DC AD BCC AB DC AD BCD OA OC OB OD 考点 平行四边形的判定 分析 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可 解答 解 A 一组对边平行 另一组对边相等 是四边形也可能是等腰梯形 故本选项 符合题意 B 根据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 可判定四边形 ABCD 为平行四边形 故 此选项不符合题意 C 根据 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 可判定四边形 ABCD 为平行四边形 故 此选项不符合题意 D 根据 对角线互相平分的四边形是平行四边形 可判定四边形 ABCD 为平行四边形 故此 选项不符合题意 故选 A 点评 此题主要考查了平行四边形的判定 关键是掌握判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5 2014 十堰 6 3 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 4 BC 6 AC 的垂直平分 线交 AD 于点 E 则 CDE 的周长是 A 7B 10C 11D 12 考点 平行四边形的性质 线段垂直平分线的性质 分析 根据线段垂直平分线的性质可得 AE EC 再根据平行四边形的性质可得 DC AB 4 AD BC 6 进而可以算出 CDE 的周长 解答 解 AC 的垂直平分线交 AD 于 E AE EC 四边形 ABCD 是平行四边形 DC AB 4 AD BC 6 CDE 的周长为 EC CD ED AD CD 6 4 10 故选 B 点评 此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质 关键是掌握平行四边形 两组对边分别相等 6 2014 十堰 6 3 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 4 BC 6 AC 的垂直平分 线交 AD 于点 E 则 CDE 的周长是 A 7B 10C 11D 12 考点 平行四边形的性质 线段垂直平分线的性质 分析 根据线段垂直平分线的性质可得 AE EC 再根据平行四边形的性质可得 DC AB 4 AD BC 6 进而可以算出 CDE 的周长 解答 解 AC 的垂直平分线交 AD 于 E AE EC 四边形 ABCD 是平行四边形 DC AB 4 AD BC 6 CDE 的周长为 EC CD ED AD CD 6 4 10 故选 B 点评 此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质 关键是掌握平行四边形 两组对边分别相等 7 2014 山东山东临沂 第 7 题 3 分 将一个 n 边形变成 n 1 边形 内角和将 A 减少 180 B 增加 90 C 增加 180 D 增加 360 考点 多边形内角与外角 分析 利用多边形的内角和公式即可求出答案 解答 解 n 边形的内角和是 n 2 180 n 1 边形的内角和是 n 1 180 因而 n 1 边形的内角和比 n 边形的内角和大 n 1 180 n 2 180 180 故选 C 点评 本题主要考查了多边形的内角和公式 是需要识记的内容 8 2014 四川泸州 第 5 题 3 分 如图 等边 ABC 中 点 D E 分别为边 AB AC 的中 点 则 DEC 的度数为 A30 B 60 C 120 D150 解答 解 由等边 ABC 得 C 60 由三角形中位线的性质得 DE BC DEC 180 C 180 60 120 故选 C 点评 本题考查了三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 9 2014 广东梅州 第 8 题 3 分 下列各数中 最大的是 A 0B 2C 2D 考点 有理数大小比较 专题 常规题型 分析 用数轴法 将各选项数字标于数轴之上即可解本题 解答 解 画一个数轴 将 A 0 B 2 C 2 D 标于数轴之上 可得 D 点位于数轴最右侧 B 选项数字最大 故选 B 点评 本题考查了数轴法比较有理数大小的方法 牢记数轴法是解题的关键 10 如图 AABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O AB AC 若 AB 4 AC 6 则 BD 的长是 A 8 B 9 C 10 D 11 答案 C 解析 根据平行四边形的性质勾股定理可得 Rt ABO OA 1 2 AC 1 2 6 3 AB 4 OB 5 又 BD 2OA 2 5 10 故 C 正确 6 7 8 二 填空题 1 2014 上海 第 15 题 4 分 如图 已知在平行四边形 ABCD 中 点 E 在边 AB 上 且 AB 3EB 设 那么 结果用 表示 考点 平面向量 分析 由点 E 在边 AB 上 且 AB 3EB 设 可求得 又由在平行四边形 ABCD 中 求得 再利用三角形法则求解即可求得答案 解答 解 AB 3EB 平行四边形 ABCD 中 故答案为 点评 此题考查了平面向量的知识 此题难度不大 注意掌握三角形法则与平行四边形法则 的应用 注意掌握数形结合思想的应用 2 2014 四川巴中 第 19 题 3 分 在四边形 ABCD 中 1 AB CD 2 AD BC 3 AB CD 4 AD BC 在这四个条件中任选两个作为已知条件 能判定四边 形 ABCD 是平行四边形的概率是 考点 平行四边形的判定 求简单事件的概率 分析 列表得出所有等可能的情况数 找出能判定四边形 ABCD 是平行四边形的情况数 即可求出所求的概率 解答 列表如下 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 1 2 1 2 3 2 4 2 3 1 3 2 3 4 3 4 1 4 2 4 3 4 所有等可能的情况有 12 种 其中能判定出四边形 ABCD 为平行四边形的情况有 8 种 分别为 2 1 3 1 1 2 4 2 1 3 4 3 2 4 3 4 则 P 故答案为 点评 此题考查了列表法与树状图法 用到的知识点为 概率 所求情况数与总情况数之 比 3 2014 娄底 20 3 分 如图 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O 点 E 是 AD 的中 点 BCD 的周长为 18 则 DEO 的周长是 9 考点 平行四边形的性质 三角形中位线定理 分析 根据平行四边形的性质得出 DE AD BC DO BD AO CO 求出 OE CD 求出 DEO 的周长是 DE OE DO BC DC BD 代入求出即可 解答 解 E 为 AD 中点 四边形 ABCD 是平行四边形 DE AD BC DO BD AO CO OE CD BCD 的周长为 18 BD DC B 18 DEO 的周长是 DE OE DO BC DC BD 18 9 故答案为 9 点评 本题考查了平行四边形的性质 三角形的中位线的应用 解此题的关键是求出 DE BC DO BD OE DC 4 2014 山东山东临沂 第 17 题 3 分 如图 在 ABCD 中 BC 10 sinB AC BC 则 ABCD 的面积是 18 考点 平行四边形的性质 解直角三角形 分析 作 CE AB 于点 E 解直角三角形 BCE 即可求得 BE CE 的长 根据三线合一定理 可得 AB 2BE 然后利用平行四边形的面积公式即可求解 解答 解 作 CE AB 于点 E 在直角 BCE 中 sinB CE BC sinB 10 9 BE AC BC CE AB AB 2BE 2 则 ABCD 的面积是 2 9 18 故答案是 18 点评 本题考查了平行四边形的面积公式 以及解直角三角形的应用 三线合一定理 正确 求得 AB 的长是关键 5 2014 四川内江 第 14 题 5 分 如图 在四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O AD BC 请添加一个条件 AD BC 答案不唯一 使四边形 ABCD 为平行四 边形 不添加任何辅助线 考点 平行四边形的判定 专题 开放型 分析 直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案 解答 解 当 AD BC AD BC 时 四边形 ABCD 为平行四边形 故答案为 AD BC 答案不唯一 点评 此题主要考查了平行四边形的判定 正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键 6 2014 四川遂宁 第 11 题 4 分 正多边形一个外角的度数是 60 则该正多边形的边 数是 6 考点 多边形内角与外角 分析 根据正多边形的每一个外角都相等 多边形的边数 360 60 计算即可求解 解答 解 这个正多边形的边数 360 60 6 故答案为 6 点评 本题考查了多边形的内角与外角的关系 熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的 关键 7 2014 四川泸州 第 15 题 3 分 一个平行四边形的一条边长为 3 两条对角线的长分 别为 4 和 则它的面积为 4 解答 解 平行四边形两条对角线互相平分 它们的一半分别为 2 和 22 2 32 两条对角线互相垂直 这个四边形是菱形 S 4 2 4 点评 本题考查了菱形的判定与性质 利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的 面积是对角线乘积的一半 8 2014 福建福州 第 14 题 4 分 如图 在AABCD 中 DE 平分 ADC AD 6 BE 2 则AABCD 的周长是 AABCD 的周长是 2 6 4 20 考点 1 平行四边形的性质 2 平行的性质 3 等腰三角形的判定 9 内角和与外角和相等的多边形的边数为 四 考点 多边形内角与外角 分析 根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解 解答 解 设这个多边形是 n 边形 则 n 2 180 360 解得 n 4 故答案为 四 点评 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理 熟记内角和公式 外角和与多边形的 边数无关 任何多边形的外角和都是 360 是解题的关键 4 5 6 7 8 三 解答题 1 2014 上海 第 23 题 12 分 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 对角线 AC BD 相交于点 F 点 E 是边 BC 延长线上一点 且 CDE ABD 1 求证 四边形 ACED 是平行四边形 2 联结 AE 交 BD 于点 G 求证 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定 分析 1 证 BAD CDA 推出 ABD ACD CDE 推出 AC DE 即可 2 根据平行得出比例式 再根据比例式的性质进行变形 即可得出答案 解答 证明 1 梯形 ABCD AD BC AB CD BAD CDA 在 BAD 和 CDA 中 BAD CDA SAS ABD ACD CDE ABD ACD CDE AC DE AD CE 四边形 ACED 是平行四边形 2 AD BC 平行四边形 ACED AD CE 点评 本题考查了比例的性质 平行四边形的判定 平行线的判定的应用 主要考查学生运 用定理进行推理的能力 题目比较好 难度适中 2 2014 山东枣庄 第 22 题 8 分 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O 已 知 O 是 AC 的中点 AE CF DF BE 1 求证 BOE DOF 2 若 OD AC 则四边形 ABCD 是什么特殊四边形 请证明你的结论 考点 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质 矩形的判定 专题 计算题 分析 1 由 DF 与 BE 平行 得到两对内错角相等 再由 O 为 AC 的中点 得到 OA OC 又 AE CF 得到 OE OF 利用 AAS 即可得证 2 若 OD AC 则四边形 ABCD 为矩形 理由为 由 OD AC 得到 OB AC 即 OD OA OC OB 利用对角线互相平分且相等的四边形为矩 形即可得证 解答 1 证明 DF BE FDO EBO DFO BEO O 为 AC 的中点 即 OA OC AE CF OA AE OC CF 即 OE OF 在 BOE 和 DOF 中 BOE DOF AAS 2 若 OD AC 则四边形 ABCD 是矩形 理由为 证明 BOE DOF OB OD OA OB OC OD 即 BD AC 四边形 ABCD 为矩形 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 矩形的判定与性质 以及平行线的 性质 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 3 2014 江苏徐州 第 21 题 7 分 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E F 在 AC 上 且 AE CF 求证 四边形 BEDF 是平行四边形 考点 平行四边形的判定与性质 菁优网 专题 证明题 分析 根据平行四边形的性质 可得对角线互相平分 根据对角线互相平分的四边形式平 行四边形 可得证明结论 解答 证明 如图 连接 BC 设对角线交于点 O 四边形 ABCD 是平行四边形 OA OD OB OC AE DF OA AE OD DF OE OF 四边形 BEDF 是平行四边形 点评 本题考查了平行四边形的判定与性质 利用了平行四边形的对角线互相平分 对角 线互相平分的四边形是平行四边形 4 2014 四川凉山州 第 21 题 8 分 如图 分别以 Rt ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ACD 等边 ABE 已知 BAC 30 EF AB 垂足为 F 连接 DF 1 试说明 AC EF 2 求证 四边形 ADFE 是平行四边形 考点 平行四边形的判定 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 专题 证明题 压轴题 分析 1 首先 Rt ABC 中 由 BAC 30 可以得到 AB 2BC 又因为 ABE 是等 边三角形 EF AB 由此得到 AE 2AF 并且 AB 2AF 然后即可证明 AFE BCA 再根据全等三角形的性质即可证明 AC EF 2 根据 1 知道 EF AC 而 ACD 是等边三角形 所以 EF AC AD 并且 AD AB 而 EF AB 由此得到 EF AD 再根据平行四边形的判定定 理即可证明四边形 ADFE 是平行四边形 解答 证明 1 Rt ABC 中 BAC 30 AB 2BC 又 ABE 是等边三角形 EF AB AB 2AF AF BC 在 Rt AFE 和 Rt BCA 中 AFE BCA HL AC EF 2 ACD 是等边三角形 DAC 60 AC AD DAB DAC BAC 90 EF AD AC EF AC AD EF AD 四边形 ADFE 是平行四边形 点评 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形 然后利用全等三角形 的性质和等边三角形的性质证明平行四边形 5 2014 四川内江 第 21 题 9 分 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y x 0 的图象交于点 P n 2 与 x 轴交于点 A 4 0 与 y 轴交于点 C PB x 轴于点 B 且 AC BC 1 求一次函数 反比例函数的解析式 2 反比例函数图象上是否存在点 D 使四边形 BCPD 为菱形 如果存在 求出点 D 的坐 标 如果不存在 说明理由 考点 反比例函数综合题 专题 综合题 分析 1 由 AC BC 且 OC 垂直于 AB 利用三线合一得到 O 为 AB 中点 求出 OB 的 长 确定出 B 坐标 将 P 与 B 坐标代入一次函数解析式求出 k 与 b 的值 确定出一 次函数解析式 将 P 坐标代入反比例解析式求出 m 的值 即可确定出反比例解析式 2 假设存在这样的 D 点 使四边形 BCPD 为菱形 如图所示 由一次函数解析式 求出 C 坐标 得出直线 BC 斜率 求出过 P 且与 BC 平行的直线 PD 解析式 与反比 例解析式联立求出 D 坐标 检验得到四边形 BCPD 为菱形 符合题意 解答 解 1 AC BC CO AB A 4 0 O 为 AB 的中点 即 OA OB 4 P 4 2 B 4 0 将 A 4 0 与 P 4 2 代入 y kx b 得 解得 k b 1 一次函数解析式为 y x 1 将 P 4 2 代入反比例解析式得 m 8 即反比例解析式为 y 2 假设存在这样的 D 点 使四边形 BCPD 为菱形 如图所示 对于一次函数 y x 1 令 x 0 得到 y 1 即 C 0 1 直线 BC 的斜率为 设过点 P 且与 BC 平行的直线解析式为 y 2 x 4 即 y 与反比例解析式联立得 消去 y 得 整理得 x2 12x 32 0 即 x 4 x 8 0 解得 x 4 舍去 或 x 8 当 x 8 时 y 1 D 8 1 此时 PD BC 即 PD BC PD BC 四边形 BCPD 为平行四边形 PC 即 PC BC 四边形 BCPD 为菱形 满足题意 则反比例函数图象上存在点 D 使四边形 BCPD 为菱形 此时 D 坐标为 8 1 点评 此题属于反比例函数综合题 涉及的知识有 待定系数法确定函数解析式 一次函数 与反比例函数的交点问题 坐标与图形性质 等腰三角形的性质 两点间的距离公式 两直线平行时斜率满足的关系 熟练掌握待定系数法是解本题的关键 6 10 分 2014 甘肃白银 第 26 题 10 分 D E 分别是不等边三角形 ABC 即 AB BC AC 的边 AB AC 的中点 O 是 ABC 所在平面上的动点 连接 OB OC 点 G F 分别是 OB OC 的中点 顺次连接点 D G F E 1 如图 当点 O 在 ABC 的内部时 求证 四边形 DGFE 是平行四边形 2 若四边形 DGFE 是菱形 则 OA 与 BC 应满足怎样的数量关系