不定积分 笔记

第三章 积分学积分学 页 第一节第一节 不定积分不定积分 一 基本概念与性质 1 原函数的定义 原函数的定义 函数在区间上有定义 如果存在函数 使 xfI xFIxxfxF 则称是函数 在区间上 的原函数 xF xfI 2 不定积分的定义 不定积分的定义 设函数和在区间 I 上有定义 若 则称为在区间上的一 xf F x xfxF xF xf 个原函数 在区间 I 中全体原函数称为的不定积分 记做 其中 xf xf dxxf 积分号 被积函数 积分变量 xf x 显然 cxFdxxf xfxF 3 不定积分的性质 不定积分的性质 1 或 xfdxxf dxxfdxxfd 亦即不定积分的导数 或微分 等于被积函数 或被积表达式 2 或 cxFdxxF cxFxdF 亦即函数的导数 或微分 的不定积分等于函数族 xFcxF 3 齐次性 是常数 且 dxxfadxxaf a0 a 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边 4 可加性 dxxgdxxfdxxgxf 即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和 3 4 表明积分运算是线性运算 亦即 dxxgbdxxfadxxbgxaf 积分微分之间关系 xf dxxf 第三章 积分学积分学 页 二 不定积分的基本积分公式二 不定积分的基本积分公式 1 caxadx cxdxa是常数 2 1 1 1 1 是常数 其中cxdxx 3 cx x dx ln cx x dx x xx ln 1 ln0所以时 cx x dx x xx ln 1 ln 0所以时 4 特别 1 0 ln 1 aaca a dxa xx 且其中 cedxe xx 5 cxxdxcossin 6 cxxdxsincos 7 ctgx x dx 2 cos 8 cctgx x dx 2 sin 9 cxcx x dx arccosarcsin 1 2 10 carctgx x dx 2 1 11 12 第三章 积分学积分学 页 第二节 不定积分的积分方法 一 一 第一类换元法 凑微分法 第一类换元法 凑微分法 1 baxd a dxbaxdbaxf a dxbaxf 1 1 即 例例 1 求不定积分 Cxuduuxxxdxdx 5cos 5 1 sin 5 1 555sin 5 1 5sin CxCxxdxdxx 81777 21 16 1 21 17 1 2 1 21 21 2 1 21 C a x aax axd axa dx arctan 1 1 1 222 C a x ax axd xa dx arcsin 1 222 2 nnnnnn dxdxxdxxf n dxxxf 11 1 即 例例 2 求不定积分 CxCxxdxdxxx 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 21 22 1 3 1 1 1 1 2 1 11 2 1 1 Cexdedxex xxx 3 3 33 2 3 1 3 1 x ddx x C xx d x dx xx 111 sin 11 cos 1 cos 1 22 xddx x Cxxdxdx x x 2 1 sin2cos2 cos 3 tansec sincos cossin ln 1 2 xdxdxxdxdxxdxdxdedxexddx x xx arcsin 1 1 arctan 1 1 sectansec 22 22 2 2 xaddx xa x xddx x xddx x xdxdxx 二 二 第二类换元法第二类换元法 1 三角代换 三角代换 例例 1 dxxa 22 解 解 令 则 cos sintatax或 tdtadxtaxacos cos 22 第三章 积分学积分学 页 原式 ttddt a dt t atdtata22cos 2 1 22 2cos1 coscos 2 2 C a xa a xa a xa Ct a t a 222222 2 4 arcsin 2 2sin 42 Cxax a x a 222 2 1 arcsin 2 1 例例 2 C a x ax axd xa dx arcsin 1 222 解 解 令taxsin 原式 C a x Ctdt ta tdta arcsin cos cos 小结 小结 中含有可考虑用代换 xf 22 22 22 ax ax xa tax tax tax sec tan sin 2 无理式代换 无理式代换 例例 1 3 11x dx 解 解 令dttdxtxtx 233 3 1 1 则 原式 Ctt t dt t tdt t t t dtt 1ln 2 3 1 1 13 1 11 3 1 3 222 Cxxx 333 2 11ln3131 2 3 例例 2 3 1xx dx 解 解 令dttdxtxtx 566 6 则 原式 Cttdt t dt t t tt dtt arctan6 1 1 16 1 6 1 6 22 2 23 5 Cxx 66 arctan6 例例 3 dx x x x 11 解 解 令 2 2 2 1 2 1 1 1 t tdt dx t xt x x 则 第三章 积分学积分学 页 原式 C t t tdt t dt t t t tdt tt 1 1 ln 2 1 2 1 1 12 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 C xx xx x x 1 1 ln 1 2 3 倒代换倒代换 例例 4 6 xx dx 解 解 令 26 7 6 411 1 1 t dt dx t t xxt x 则 原式 C x x Ct t td t dtt 4 ln 24 1 14ln 24 1 14 14 24 1 41 6 6 6 6 6 6 6 Cxx 4ln 24 1 ln 4 1 6 三 三 分部积分法分部积分法 分部积分公式 VUUVVUVUVUUV 故 VdxUdxUVdxVU VdUUVUdV 前后相乘 前后交换 例例 1 xdxxcos Cxxxxdxxxxxdcossinsinsinsin 例例 2 dxxe x Cexedxexexde xxxxx 例例 3 xdxln Cxxxdx x xxxxxdxxln 1 lnlnln 或解 或