2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷含答案）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 上海卷 含答年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 上海卷 含答 案 案 考生注意 考生注意 1 1 答卷前 考生务必在答题纸上将姓答卷前 考生务必在答题纸上将姓名 高考准考证号填写清楚 并在规定的区域内贴名 高考准考证号填写清楚 并在规定的区域内贴 上条形码 上条形码 2 2 本试卷共有本试卷共有 2323 道试题 满分道试题 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 一 一 填空题 本大题满分填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生必须在答题纸相应编码的空题 考生必须在答题纸相应编码的空 格内直接填写结果 每个空格内直接填写结果 每个空格填对得格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 已知集合 1 3 3 4 1 2 3 4AmBAB 则m 2 不等式 2 0 4 x x 的解集是 3 行列式 cos 6 sin 6 sin 6 cos 6 的值是 4 若复数1 2zi i为虚数单位 则z zz 5 将一个总体分为 A B C 三层 其个体数之比为5 3 2 若用分层抽样方法抽取容量 为 100 的样本 则应从 C 中抽取 个个体 6 已知四棱锥PABCD 的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面 ABCD 且 8PA 则该四棱锥的体积是 7 圆 22 2440C xyxy 的圆心到直线3440 xy 的距离d 8 动点 P 到点 2 0 F的距离与它到直线20 x 的距离相等 则点 P 的轨迹方程为 9 函数 3 log 3 f xx 的反函数的图像与y轴的交点坐标是 10 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 2 张 则 抽出的 2 张均为红桃 的概率为 结果用最简分数表示 11 2010 年上海世博会园区每天 9 00 开园 20 00 停止入园 在右边的框图中 S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数 a表示整点报道前 1 个小 时内入园人数 则空白的执行框内应 填入 2 12 在n行n列矩阵 1 2 3 n 2 3 4 1 3 4 5 2 2 1 2 n n n n 1 1 2 n n n 1 2 1 n n 中 记位于第i行第j列的列数为 1 2 ij a i jn 当9n 时 11223399 aaaa 13 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的点 P 若 12 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 14 将直线 1 l 10 xy 2 l 0nxyn 3 l 0 xnyn 2nNn 围成的三角形面积记为 n S 则lim n n S 二二 选择量选择量 本大题满分本大题满分 2020 分分 本大题共有本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生必须在题 每题有且只有一个正确答案 考生必须在 答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 5 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 15 满足线性约束条件 23 23 0 0 xy xy x y 的目标函数zxy 的最大值是 A 1 B 3 2 c 2 D 3 16 2 4 xkkZ 是 tanx 1 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 1 7 若 0 x是方程lg2xx 的解 则 0 x属于区间 A 0 1 B 1 1 25 C 1 25 1 75 D 1 75 2 18 若 ABC 的三个内角满足 sinA sinB sinC 5 11 13 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共有分 本大题共有 5 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写规定区域内写出必要的步骤 出必要的步骤 19 本题满分 12 分 3 已知0 2 x 化简 2 lg costan1 2sinlg2coslg 1 sin2 24 x xxxx 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该最大值 结果精确到 0 01 平 方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作出用于制作灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna Nn 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 8 分 若实数x y m满足xmym 则称x比y接近m 1 若 2 1x 比 3 接近 0 求x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数a b 证明 22 a bab 比 33 ab 接近2ab ab 3 已知函数 f x的定义域 Z RDx xkkx 任取xD f x等于 1 sin x 和1 sin x 中接近 0 的那个值 写出函数 f x的解析式 并指出它的奇偶性 最 小正周期 最小值和单调性 结论不要求证明 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知椭圆 的方程为 22 22 10 xy ab ab 0 Ab 0 Bb 和 0Q a为 的 三个顶点 1 若点M满足 1 2 AMAQAB 求点M的坐标 2 设直线 1 l 1 yk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 2 l 2 yk x 于点E 若 4 2 12 2 b kk a 证明 E为CD的中点 3 设点P在椭圆 内且不在x轴上 如何构作过PQ中点F的直线l 使得l与椭圆 的两个交点 1 P 2 P满足1 2 PPPPPQ 令10a 5b 点P的坐标 是 8 1 若椭圆 上的点 1 P 2 P满足1 2 PPPPPQ 求点 1 P 2 P的坐标 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷 年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷 数学 文科 参考答案数学 文科 参考答案 一 填空题 1 2 2 4 2 3 0 5 4 6 2i 5 20 6 96 7 3 8 y2 8x 9 0 2 10 3 51 11 ssa 12 45 13 1 4 ab 14 1 2 二 选择题 15 C 16 A17 C 18 C 三 解答题 19 2 2 log cos tan1 2sin log 2cos log 1 sin2 4 log sincos log cossin log 1 sin2 log sincos log 1 sin2 log10 xxxxx xxxxx xxx 20 1 圆柱体的高为1 22r 故 22 2 1 22 32 4 Srrrrr 当0 4r 时 2 max 1 50801 51 Sm 2 略 21 解 1 由 585 nn SnanN 1 可得 111 1 585aSa 即 1 14a 同时 11 1 585 nn Sna 2 从而由 2 1 可得 11 1 5 nnn aaa 即 1 5 1 1 6 nn aanN 从而 1 n a 为等比数列 首项 1 115a 公比为 5 6 通项公式为 1 5 115 6 n n a 从而 1 5 15 1 6 n n a 2 1nn SS 即 1 0 n a 5 15 10 6 n 51 615 n 5 解得 log 15 14 8532 log 5 log 6 n 从而 min 15n 22 1 解 由题意可得 2 1 030 x 即 2 13x 解得 22x 2 证一 222222 2 2a babab aba bb aa bb aa babab ab 而 3333 332233 2222 2 2abab ababababab ab 从而 2233 2233 3322 2 2 2 2 2 0 a babab ababab ab a babab ababab ab aba bab abab 即 2233 2 2a babab ababab ab 命题得证 证法二 等价于证明 2233 2 2a babab ababab ab 因为 223333 2 22aba babab ababa bab ab 所以同理 于是待证不 等式直接去掉绝对值符号即可 变形为 2233 2 2a babab ababab ab 于 是等价于 33222 0 0aba babab ab 因为ab 且都是整数 所 以该式显然成立 3 根据定义知道 sinx 0 那么 sinx 0 时 f x 1 sinx sinx0 时 f x 1 sinx x 2k 2k k Z 时 sinx 0 时 f x 1 sinx 1 sin 2 21 1 sin 21 22 1sin x xkk x xkk f xx xk f x为偶函数 最小正周期为 最小值为 0 在 1 2 kkkZ 上单调递减 在 1 1 2 kkkZ 上单调递增 23 1 解 3 0 2 22 a AQab ABbAMb 2 证 设 1122 C x yD xy 则由 6 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 可得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 又 12 1 12 yy k xx 故可得 2 12 2 1 12 1yyb xxa k 而由题意知 2 2 2 1 1b k a k 所以 12 2 12 yy k xx 即 12 2 12 2 2 yy k xx 即线段CD的中点 1212 22 xxyy 在直线 2 yk x 上 也即直线 1 l与 2 l的交点E为线段 CD的中点 3 椭圆方程为 22 1 10 0 10025 xy Q 从而线段PQ的中点为 1 0 5 Q 若 1