2010届高三物理高考复习专题：05-万有引力定律全国通用

用心 爱心 专心 课课 题 题 万有引力定律万有引力定律 类型 复习课类型 复习课 目的要求 理解万有引力定律 并能用其解决相关的实际问题 重点难点 教 具 过程及内容 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 知识简析知识简析 一 开普勒运动定律 1 开普勒第一定律 所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦 点上 2 开普勒第二定律 对于每一个行星而言 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积 相等 3 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相 等 二二 万有引力定律万有引力定律 1 内容 宇宙间的一切物体都是互相吸引的 两个物体间的引力大小 跟它们的质量的乘 积成正比 跟它们的距离的平方成反比 2 公式 F G 2 21 r mm 其中 2211 1067 6 kgmNG 称为为有引力恒量 3 适用条件 严格地说公式只适用于质点间的相互作用 当两个物体间的距离远远大于物 体本身的大小时 公式也可近似使用 但此时 r 应为两物体重心间的距离 对于均匀的球体 r 是两球心间的距离 注意 注意 万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来 是自然界中最普遍的规律 之一 式中引力恒量 G 的物理意义是 G 在数值上等于质量均为 1 千克的两个质点相 距 1 米时相互作用的万有引力 三 万有引力和重力三 万有引力和重力 重力是万有引力产生的 由于地球的自转 因而地球表面的物体随地球自转时需要 向心力 重力实际上是万有引力的一个分力 另一个分力就是物体随地球自转时需要 的向心力 如图所示 由于纬度的变化 物体做圆周运动的向心力 F 向不断变化 因 而表面物体的重力随纬度的变化而变化 即重力加速度 g 随纬度变化而变化 从赤道到两极 逐渐增大 通常的计算中因重力和万有引力相差不大 而认为两者相等 即 m2g G 2 21 r mm g GM r2常用来计算星球表面重力加速度的大小 在地球的同一纬度处 g 随物体离地面高度 的增大而减小 即 gh GM r h 2 比较得 gh hr r 2 g 在赤道处 物体的万有引力分解为两个分力 F向和 m2g 刚好在一条直线上 则有 F F向 m2g 第第 1 1 课课 用心 爱心 专心 所以 m2g F 一 F向 G 2 21 r mm m2R 自2 因地球目转角速度很小 G 2 21 r mm m2R 自2 所以 m2g G 2 21 r mm 假设地球自转加快 即 自变大 由 m2g G 2 21 r mm m2R 自2知物体的重力将变小 当 G 2 21 r mm m2R 自2时 m2g 0 此时地球上物体无重力 但是它要求地球自转的角速度 自 1 3 Gm R 比现在地球自转角速度要大得多 四四 天体表面重力加速度问题天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为 g 天体半径为 R 由 mg 2 Mm G R 得 g 2 M G R 由此推得两个不同天体 表面重力加速度的关系为 2 121 2 212 gRM gRM 五 天体质量和密度的计算五 天体质量和密度的计算 原理 天体对它的卫星 或行星 的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力 G 2 r mM m 2 2 4 T r 由此可得 M 2 32 4 GT r V M 3 3 4 R M 32 2 3 RGT r R 为行星的半径 由上式可知 只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T 就可以算出 天体的质量 M 若知道行星的半径则可得行星的密度 规律方法规律方法 1 1 万有引力定律的基本应用 万有引力定律的基本应用 例例 1 1 如图所示 在一个半径为 R 质量为 M 的均匀球体中 紧贴球的边缘挖去一个半径 为 R 2 的球形空穴后 对位于球心和空穴中心连线上 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大 分析分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和 即可把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和 即可 得解 得解 解解 完整的均质球体对球外质点 m 的引力 这个引力可以看成是 m 挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1与半径为 R 2 的小球对质点 的引力 F2之和 即 F F1 F2 因半径为 R 2 的小球质量 M 为 M R MRR M 8 1 3 4 23 4 23 4 3 33 则 2 2 2 2 82 Rd Mm G Rd mM GF 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力 2 2 21 2 8Rd Mm G d Mm GFFF 22 22 2 8 287 Rdd RdRd GMm 说明说明 1 有部分同学认为 如果先设法求出挖去球穴后的重心位置 然后把剩余部分的 质量集中于这个重心上 应用万有引力公式求解 这是不正确的 万有引力存在于宇宙间任 用心 爱心 专心 何两个物体之间 但计算万有引力的简单公式 2 r Mm GF 却只能适用于两个质点或均匀球体 挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了 不能直接使用这个公式计算引力 2 如果题中的球穴挖在大球的正中央 根据同样道理可得剩余部分对球外质点 m 的引力 2222 2 21 8 78 d Mm G d mM G d Mm G d mM G d Mm GFFF 上式表明 一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量 7M 8 集中于球心时对质点的 引力一样 例 2 某物体在地面上受到的重力为 160 N 将它放置在卫星中 在卫星以加速度 a g 随火箭加速上升的过程中 当物体与卫星中的支持物的相互压力为 90 N 时 求此时卫星距 地球表面有多远 地球半径 R 6 4 103km g 取 10m s2 解析 设此时火箭上升到离地球表面的高度为 h 火箭上物体受到的支持力为 N 物体受到的 重力为 mg 据牛顿第二定律 N mg ma 在 h 高处 mg 2hR Mm G 在地球表面处 mg 2 R Mm G 把 代入 得 ma Rh mgR N 2 2 1 maN mg Rh 1 92 104 km 说明 在本问题中 牢记基本思路 一是万有引力提供向心力 二是重力约等于万有引力 例 3 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度 已知该单摆在海平面处的 周期是 T0 当气球停在某一高度时 测得该单摆周期为 T 求该气球此时离海平面的高度 h 把地球看作质量均匀分布的半径为 R 的球体 解析 根据单摆周期公式 2 0 0 g L T 2 g L T 其中 l 是单摆长度 g0和 g 分别是两地 点的重力加速度 根据万有引力公式得 2 0 R M Gg 2 hR M Gg 其中 G 是引力常数 M 是地 球质量 由以上各式解得R T T h 1 0 例例 4 4 登月火箭关闭发动机在离月球表面 112 km 的空中沿圆形轨道运动 周期是 120 5 min 月球的半径是 1740 km 根据这组数据计算月球的质量和平均密度 解析 设月球半径为 R 月球质量为 M 月球密度为 登月火箭轨道离月球表面为 h 运 动周期为 T 火箭质量为 m 由 GMm r2 m4 2r T2得 M 4 2r3 GT2 M V 其中 V 4 2R3 3 则 F向 m 2r m4 2 R h T2 F引 GMm R h 2 火箭沿轨道运行时有 F引 F 向 即 GMm R h 2 m4 2 R h T2 故 M 4 2 R h 3 GT2 2 7 2 1022kg 3M 4 R3 3 26 103kg m3 例例 5 5 已知火星上大气压是地球的 1 200 火星直径约为球直径的一半 地球平均密度 地 5 5 103kg m3 火星平均密度 火 4 103kg m3 试求火星上大气质量与地球大气质量之 比 分析分析 包围天体的大气被吸向天体的力 就是作用在整个天体表面 把它看成平面时 的包围天体的大气被吸向天体的力 就是作用在整个天体表面 把它看成平面时 的 大气压力 利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比 即可算出它们的大气质量大气压力 利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比 即可算出它们的大气质量 用心 爱心 专心 之比 之比 解解 设火星和地球上的大气质量 重力加速度分别为 m火 g火 m地 g地 火星和地球上的 大气压分别为 R gm p 2 4 火 火火 火 R gm p 2 4 地 地地 地 据万有引力公式 火星和地球上的重力加速度分别 为 R M Gg 2 火 火 火 R M Gg 2 地 地 地 地 地地 火 火火 式中 33 3 4 3 4 R MRM 综合上述三式得 火 地 火 地 地 火 地 火 R R P P m m 3 104 3 4 5 5 2 1 200 1 例例 6 6 一个宇航员在半径为 R 的星球上以初速度 v0竖直上抛一物体 经 ts 后物体落回宇 航员手中 为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面 抛出时的速度至少为多少 解析 解析 物体抛出后 受恒定的星球引力作用 做匀减速运动 遵循着在地面上竖直上抛时的 同样规律 设星球对物体产生的 重力加速度 为 gx 则由竖直上抛运动的公式得 为使物体抛出后不再落回星球表面 应使它所受到的星球引力正好等于 物体所需的向心力 即成为卫星发射了出去 t Rv Rgv xx 0 2 得 这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇 宙速度 例 7 在 勇气 号火星探测器着陆的最后阶段 着陆器降落到火星表面上 再经过多次 弹跳才停下来 假设着陆器第一次落到火星表面弹起后 到达最高点时高度为 h 速度方向是水平的 速度 大小为 v0 求它第二次落到火星表面时速度的大小 计算时不计大气阻力 已知火星的一个 卫星的圆轨道半径为 r 周期为 T 火星可视为半径为 r0的均匀球体 分析 第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛 在最高点由于只有水平速度故分析 第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛 在最高点由于只有水平速度故 将做平抛运动 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理 无论是竖直上抛还是平抛的计算 将做平抛运动 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理 无论是竖直上抛还是平抛的计算 均要知道火星表面的重力加速度均要知道火星表面的重力加速度 g g 利用火星的一个卫星的相关数据可以求出 利用火星的一个卫星的相关数据可以求出 g g 解 设火星的一个卫星质量为 m 任一物体的质量为 m 在火星表面的重力加速度为 g 火 星的质量为 M 任一物体在火星表面有 2 0 gm r Mm G 火星的卫星应满足 r T m r Mm G 2 2 2 第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足 v12 2g h 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理 2 0 2 1 vvv 用心 爱心 专心 由以上 4 式可解得 2 0 2 0 2 32 8 v rT hr v 2 2 讨论天体运动规律的基本思路 讨论天体运动规律的基本思路 基本方法 把天体的运动看成是匀速圆周运动 其所需向心力由万有引力提供 rfm T mrm r v m r Mm G 2 2 2 2 2 2 2 例 8 2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星 其定点位置与东经 980的经线在同一平 面内 若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经 980和北纬 400 已知地球半径 R 地球自转周期 T 地球表面重力加速度 g 视为常数 和光速 c 试求该同步卫星发出的微波 信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间 要求用题给的已知量的符号表示 解析 设 m 为卫星质量 M 为地球质量 r 为卫星到地球中心的距离 为卫星绕地心转动 的角速度 由万有引力定律和牛顿定律有 2 2 mr r Mm G 式中 G 为万有引力恒量 因同步卫 星绕地心转动的角速度 与地球自转的角速度相等 有 2 T 因mg R Mm G 2 得 GM gR2 设嘉峪关到同步卫星的距离为 L 如图所示 由余弦定律得 cos2 22 rRRrL 所求的时间为 t L c 由以上各式得 c gTR RR gTR t 3 22 2 3 2 22 4 cos2 4 例 9 在天体运动中 将两颗彼此相距较近的行星称为双星 它们在相互的万有引力作用 下间距保持不变 并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动 如果双星间距为 L 质量分 别为 M1 和 M2 试计算 1 双星的轨道半径 2 双星的运行周期 3 双星的线速度 解析 因为双星受到同样大小的万有引力作用 且保持距离不变 绕同一圆心做匀速圆周运因为双星受到同样大小的万有引力作用 且保持距离不变 绕同一圆心做匀速圆周运 动 所以具有周期 频率和角速度均相同 而轨道半径 线速度不同的特点 动 所以具有周期 频率和角速度均相同 而轨道半径 线速度不同的特点 1 根据万有引力定律 212 2 21 2 1 RRLRMRMF 及 可得 L MM M L MM M R 21 1 2 21 2 1 2 同理 还有 2 2 21 2 1 2 21 22 R T MR T M L MM G 所以 周期为 211 2 22 2 1 22 2 44 MMG L L GM RL GM RL T 3 根据线速度公式 21 2 1 1 2 MML G M T R v 21 1 2 2 2 MML G M T R v 用心 爱心 专心 例 10 兴趣小组成员共同协作 完成了下面的两个实验 当飞船停留在距 X 星球一定高 度的 P 点时 正对着 X 星球发射一个激光脉冲 经时间 t1后收到反射回来的信号 此时观察 X 星球的视角为 如图所示 当飞船在 X 星球表面着陆后 把一个弹射器固定在星球表 面上 竖直向上弹射一个小球 经测定小球从弹射到落回的时间为 t2 已知用上述弹射器在地球上做同样实验时 小球在空中运动的时间为 t 又已知地球表 面重力加速度为 g 万有引力常量为 G 光速为 c 地球和 X 星球的自转以及它们对物体的大 气阻力均可不计 试根据以上信息 求 1 X 星球的半径 R 2 X 星球的质量 M 3 X 星球的第一宇宙速度 v 4 在 X 星球发射的卫星的最小周期 T 解析 1 由题设中图示可知 R ct1 sin R R sin12 sin 1 ct 2 在 X 星球上以 v0竖直上抛 t2 0 2 g v 在地球上以 v0 竖直上抛 t g v02 g t t g 1 又由 2 mg R Mm G 2 2 2 1 2 2 sin14 sin Gt tgtc G gR M 3 mg R v m 2 sin12 sin 2 1 t gctt Rgv 4 当 v 达第一宇宙速度时 有最小周期 T sin1 sin22 21 gt tct v R T 例 11 天体运动的演变猜想 在研究宇宙发展演变的理论中 有一种说法叫做 宇宙膨胀 说 认为引力常量在慢慢减小 根据这种理论 试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径 周期 速率与很久很久以前相比变化的情况 解析 地球在半径为 R 的圆形轨道上以速率 v 运动的过程中 引力常数 G 减小了一个微小 量 万有 引力公式 2 r Mm GF 引 由于太阳质量 M 地球质量 m r 均未改变 万有引力 F引必然随之减小 并小于公转轨道上该点所需的向心力 r mv2 速度不能突变 由于惯性 地球将做离心运动 即向外偏离太阳 半径 r 增大 地球在远离太阳的过程中 在太阳引力的作用下引起速率 v 减小 运转周期 v r T 2 增大 由此可以判断 在很久很久以前 太阳系中地球的公转轨道 半径比现在小 周期比现在小 速率比现在大 由引力常量 G 在慢慢减小的前提可以分析出太阳系中地球的公转轨道半径在慢慢变大 表明宇宙在不断地膨胀 试题展示试题展示 P X 星球星球 用心 爱心 专心 散 专题 人造天体的运动专题 人造天体的运动 知识简析知识简析 一 一 卫星的绕行角速度 周期与高度的关系 1 由 2 2 mMv Gm rh rh 得 GM v rh 当 h v 2 由 G 2hr mM m 2 r h 得 3hr GM 当 h 3 由 G 2hr mM 2 2 4 mrh T 得 T GM hr 32 4 当 h T 二 三种宇宙速度 二 三种宇宙速度 第一宇宙速度 环绕速度 v1 7 9km s 人造地球卫星的最小发射速度 也是人造卫 星绕地球做匀速圆周运动的最大速度 第二宇宙速度 脱离速度 v2 11 2km s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 逃逸速度 v3 16 7km s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 三 第一宇宙速度的计算 三 第一宇宙速度的计算 方法一 地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力 G 2hr mM m hr v 2 v hr GM 当 h v 所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最 大速度 其大小为 r h 地面附近 时 1 GM V r 7 9 103m s 方法二 在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力 重力就是卫星做圆周运 动的向心力 2 1 v mgm rh 当 r h 时 gh g 所以 v1 gr 7 9 103m s 第一宇宙速度是在地面附近 h r 卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度 四 两种最常见的卫星四 两种最常见的卫星 近地卫星 近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R 由式 可得其线速度大小为 v1 7 9 103m s 由式 可得其周期为T 5 06 103s 84min 由 式可知 它们分别是 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期 神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为 340km 线速度约 7 6km s 周期约 90min 同步卫星 同步 的含义就是和地球保持相对静止 所以其周期等于地球自转周期 即 第第 2 2 课课 用心 爱心 专心 T 24h 由式 G 2hr mM m hr v 2 m 2 2 4 T r h 可得 同步卫星离地面高度为 h 3 2 2 4 GMT r 3 58 107 m 即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h 3 6 104km 而 且该轨道必须在地球赤道的正上方 运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东 如果仅 与地球自转周期相同而不定点于赤道上空 该卫星就不能与地面保持相对静止 因为卫星轨 道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合 同步卫星的线速度 v hr GM 3 07 103m s 通讯卫星可以实现全球的电视转播 从图可知 如果能发射三颗相对地面静止的卫星 即同步卫星 并相互联网 即可覆盖全球的每个角落 由于通讯卫星都必须位于赤道上空 3 6 107m 处 各卫星之间又不能相距太近 所以 通讯卫星的总数是有限的 设想在赤道 所在平面内 以地球中心为圆心隔 50放置一颗通讯卫星 全球通讯卫星的总数应为 72 个 五五 了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据 卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关 设卫星距地面高度为 h 地球半径为 R 地球质量为 M 卫星飞行速度为 v 则由万有引力充 当向心力可得 v GM R h 知道了卫星距离地面的高度 就可确定卫星飞行时的速度 大小 不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表 高度 km 0300500100030005000 35900 同步轨道 38000 月球轨道 环绕速度 km s 7 917 737 627 366 535 292 770 97 周期 分 84 490 594 5105150210 23 小时 56 分28 天 六 卫星的超重和失重六 卫星的超重和失重 1 卫星进入轨道前加速过程 卫星上物体超重 2 卫星进入轨道后正常运转时 卫星上物体完全失重 七 人造天体在运动过程中的能量关系七 人造天体在运动过程中的能量关系 当人造天体具有较大的动能时 它将上升到较高的轨道运动 而在较高轨道上运动的人造天 体却具有较小的动能 反之 如果人造天体在运动中动能减小 它的轨道半径将减小 在这 一过程中 因引力对其做正功 故导致其动能将增大 同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同 其中卫星的动能为 r GMm EK 2 由于重力 加速度g随高度增大而减小 所以重力势能不能再用Ek mgh计算 而要用到公式 r GMm EP 以无穷远处引力势能为零 M为地球质量 m为卫星质量 r为卫星轨道半径 由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功 所以系统势能减小 为负 因此机械能 为 r GMm E 2 同样质量的卫星 轨道半径越大 即离地面越高 卫星具有的机械能越大 发射越困难 八 相关材料八 相关材料 I 人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论 当火箭与卫星分离时 设卫星的速度为 v 此即为发射速度 卫星距 离地心为 r 并设此时速度与万有引力垂直 通过地面控制可以实现 如图 用心 爱心 专心 所示 则 2 Mm FG r 万 若卫星以 v 绕地球做圆周运动 则所需要的向心力为 F向 2 v m r 当 F万 F向时 卫星将做圆周运动 若此时刚好是离地面最近的轨道 则可求出此时的发 射速度 v 7 9 km s 当 F万 F向时 卫星将做离心运动 做椭圆运动 远离地球时引力做负功 卫星动能转 化为引力势能 神州五号即属于此种情况 当 F万 F向时 卫星在引力作用下 向地心做椭圆运动 若此时发生在最近轨道 则 v 7 9 km s 卫星将坠人大气层烧毁 因此 星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件 2 人造卫星如何变轨 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面 卫星 定轨和返回都要用到这个技术 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析 如图所示 在轨道 A 点 万有引力 FA 2 v m r 要使卫星改做圆周运动 必须满足 FA 2 v m r 和 FA v 在远点已满足了 FA v 的条件 所以只需增大速度 让速度增大到 2 v m r FA 这个任务由卫星自带的推进器完成 这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道 只要在椭圆轨道的远点由推进器加速 当 速度达到沿圆轨道所需的速度 人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道 神州五 号 就是通过这种技术变轨的 地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的 规律方法规律方法 1 1 处理人造天体问题的基本思路 处理人造天体问题的基本思路 由于运行中的人造天体 万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力 因 此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心 解关于人造卫星问题的基本思路 视为匀速 圆周运动处理 万有引力充当向心力 根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算 利用代换式 gR2 GM 推导化简运算过程 注意 人造卫星的轨道半径与它的高度不同 离地面不同高度 重力加速度不同 例 l 设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动 卫星离地面越高 则卫星的 A 速度越大 B 角速度越大 C 向心加速度越大 D 周期越长 解析解析 1 v 与 r 的关系 G 2 r mM m r v2 GM v r 即 1 v r r 越大 v 越小 所以 答案 A 错误 2 与 r 的关系 G 2 r mM m 2r 3 GM r 即 3 1 r r 越大 越 小 所以答案 B 错误 3 a 与 r 的关系 G 2 r mM ma a GM r2 即 a 1 r2 卫星绕轨道半 径 r 运转时的向心加速度与该处的重力加速度 g 相等 所以 g a g 1 r2 r 越 大 加速度越小 所以答案 C 错误 4 T 与 r 的关系 G 2 r mM m 2 2 4 T r T 2 GM r3 即 T 3 r r 越大 T 越大 所以答案 D 正确 因 GM g0R02 所以 T 2 2 00 3 Rg r 当 r Ro 时 T Tmin 2 00 g R 答案答案 D 用心 爱心 专心 说明 可以看出 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r 线速度大小v和周期T 是一一对应的 其中一个量确定后 另外两个量也就唯一确定了 离地面越高的人造卫星 线速度越小而周期越大 例 2 设地球的半径为 R0 质量为 m 的卫星在距地面 R0高处做匀速圆周运动 地面的重力 加速度为 g0 则以下说法错误的是 A 卫星的线速度为 2 2 00R g B 卫星的角速度为 0 0 8R g C 卫星的加速度为 2 0 g D 卫星的周期 0 0 8 2 g R 解析 在地面 0 2 0 mg R Mm G 在高空 mg R Mm G 2 0 2 4 1 2 2 0 0 0 R R g g g g0 此重力加速度即为卫星的向心加速度故 C 选项错误 卫星的线速度 2 2 2 00 0 Rg Rgv 故 A 选项正确 周期 0 0 008 2 2 2 22 g R g R v R T 故 D 选项正确 角速度 0 0 0 82 2 R g R g T 故 B 选项正确 2 2 人造天体的发射与变轨 人造天体的发射与变轨 例 3 一组太空人乘坐大空穿梭机 去修理位于离地球表面 6 0 105m 的圆形轨道上的哈 勃太空望远镜 H 机组人员使穿梭机 S 进入与 H 相同的轨道并关闭推动火箭 而望远镜则在 穿梭机前方数公里处 如图所示 设 G 为引力常数 而 ME为地球质量 已知 地 球半径为 6 4 106m 1 在穿梭机内 一质量为 70kg 的太空人的视重是多少 2 计算轨道上的重力加速度的值 计算穿梭机在轨道上的速率和周期 3 证明穿梭机的总机械能跟 r 1 成正比 r 为它的轨道半径 注 若力 F 与位移 r 之间有如下的关系 F K r2 其中 K 为常数 则当 r 由 处变为 0 F 做功的大小可用以下规律进行计算 W K r 设 处的势能为 0 穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道 才有较大的角速度以超前望远镜 用上题的 结果判所穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率 解释你的答案 解析 1 在穿梭机内 一质量为 70kg 的太空人的视重为 0 2 因为 mg G MEm R h 2 所以 g GME R h 2 其中 R 6 4 106m h 6 0 105m g 8 2m s2 地球对穿梭机的万有引力提供向心力 有 GMEm R h 2 mv2 R h m 2 T 2 R 十 h 所以 v hRGME 7 6 103m s 用心 爱心 专心 T E GMhR 4 32 5 8 103s 3 因为万有引力 F GMEm r2满足 F k 1 r2 其中 k GMEm 为常数 由 注 可知 当穿梭机与地球之间的距离由 处变到 r 时 万有引力对其所做的功 w k r GMEm r 又因为 万有引力对穿梭机做多少功 其重力势能就减小多少 若设 处的 势能为零 则穿梭机在半径为 r 的轨道上时 其重力势能为 E 一 GMEm r 则穿梭机此时的总 机械能 E总 EP十 Ek 一 GMEm r 十 mv2 代入 2 中的 v 值 得 E总 一 GMEm r 十 m GME r 一 GMEm 2 1 r 故穿梭机的总机械能跟一 1 r 成正比 得证 因为 E总跟一 1 r 成正比 故进入低轨道时总机械能要减小 故必须减速 使总机械能 减小 当速度减小后 在引力场的作用下进行低轨道运行 因引力做正功 动能增加 低轨 道环绕速度 vr 大于原轨道环绕速度 vr 又因为 v r vr vr r r 则 r r 从而 获得较大的角速度 则可能赶上哈勃太空望远镜 例 4 如图所示 某次发射同步卫星时 先进入一个近地的圆轨道 然后在P点点火加速 进入椭圆形转移轨道 该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P 远地点为同步轨道上的Q 到达远地点时再次自动点火加速 进入同步轨道 设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1 在P点短时间加速后的速率为v2 沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3 在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4 试比较v1 v2 v3 v4的大小 并用小于号将它们排列起来 解析 根据题意有v2 v1 v4 v3 而v1 v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星 的线速度 由式 知v1 v4 故结论为v2 v1 v4 v3 卫星沿椭圆轨道由P Q运行 时 由机械能守恒可知 其重力势能逐渐增大 动能逐渐减小 因此有v2 v3 卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程 例 5 在空中飞行了十多年的 和平号 航天站已失去动力 由于受大气阻力 作用其绕地球转动半径将逐渐减小 最后在大气层中坠毁 在此过程中下列说法正确的是 A 航天站的速度将加大 B 航天站绕地球旋转的周期加大 C 航天站的向心加速度加大 D 航天站的角速度将增大 解析 由 GMm r2 mv2 r mr 2 mr 2 T 2 ma 得 v rGM 3 rGM T 2 GMr 3 可知 r 减小 v 增大 增大 T 减小 a 增大 A C D 正确 例 6 神舟三号 顺利发射升空后 在离地面 340km 的圆轨道上运行了 108 圈 运行中需 要进行多次 轨道维持 所谓 轨道维持 就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力 的大小方向 使飞船能保持在预定轨道上稳定运行 如果不进行轨道维持 由于飞船受轨道 上稀薄空气的摩擦阻力 轨道高度会逐渐降低 在这种情况下飞船的动能 重力势能和机械 能变化情况将会是 动能 重力势能和机械能都逐渐减小 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能不变 重力势能逐渐增大 动能逐渐减小 机械能不变 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能逐渐减小 由于阻力很小 轨道高度的变化很慢 卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动 由于 摩擦阻力做负功所以卫星的机械能减小 由于重力做正功所以重力势能减小 由式 可知卫 星动能将增大 这也说明重力做的功大于克服阻力做的功 外力做的总功为正 答案选 D Q v2 v3 P v4 用心 爱心 专心 例 7 飞船发射过程是一个加速过程 在加速过程中 宇航员处于 超重状态 状态 人们把这种状态下的重力与静止在地球表面时的重力的比值称为耐受力值 用 K 表示 则 K K 1 a g 设宇航员的质量为 m 加速上升加速度为 a 选择宇般员时 要求他 在此状态的耐受值为 4 K 12 说明飞船发射时的加速度值的变化范围 3g a 11g 例 8 飞船在发射升空时 如果宇航员是站立的 则他的心血管系统受到何种影响 你认 为宇航员采取什么资势为好 答 由于在发射升空过程中 人处于超衙状态下 头部血压降低 足部血压升高 使大量血液 淤积在下肢静脉中 严重影响静脉血的回流 使心脏输出血量不足 造成头部供血不足 轻则 引起视觉障碍 重则可能导致意识丧失 所以宇航员采用平躺姿势为好 例 9 航天飞船进入距地表 3R地的轨道绕地球做圆周运动时 质量为 64kg 的宇航员处于 完全失重 状态 他的视重为 0 N 实际所受力 40 N 例 10 若飞船要与轨道空间站对接 飞船为了追上轨道空间站 A A 可以从较低的轨道上加速 B 可以从较高的轨道上加速 C 可以从与空间站同一轨道上加速 D 无论在什么轨道上 只要加速都行 例 11 我国的国土辽阔 在东西方向上分布在东经 70 到东经 135 的广大范围内 所 以我国发射的同步通信卫星一般定点在赤道上空 3 6 万公里 东经 100 附近 假设某颗通 信卫星计划定点在赤道上空东经 104 的位置 经测量刚进入轨道时它位于赤道上空 3 6 万 公里 东经 103 处 为了把它调整到 104 处 可以短时间启动星上的小型发动机 通过 适当调整卫星的轨道高度 改变其周期 从而使其自动 漂移 到预定经度 然后再短时间 启动星上的小型发动机调整卫星的高度 实现最终定点 这两次调整高度的方向应该依次是 向下 向上 向上 向下 向上 向上 向下 向下 东经 103 在东经 104 西边 为使卫星向东漂移 应使它的周期变小 为此应降低其高度 所以先向下 到达东经 104 后 再向上 例 12 设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务