2011届高考数学权威预测 7数列求和 新人教A版

用心 爱心 专心 1 第七讲第七讲 数列求和数列求和 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 设 4710310 22222 n f nnN 则 f n等于 D A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 81 7 n 2 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前n项和Sn 100 则n B A 9 B 10 C 11 D 12 3 数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 n a n n 则 5 S等于 B A 1 B 5 6 C 1 6 D 1 30 4 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 S 3 S 6 1 3 S 6 S 12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 解析解析 由等差数列的求和公式可得 31 1 61 331 2 6153 Sad ad Sad 可得且0d 所以 61 121 615273 12669010 Sadd Sadd 故选 A 5 已知数列 n a n b都是公差为 1 的等差数列 其首项分别为 1 a 1 b 且5 11 ba 11 Nba 设 n bn ac Nn 则数列 n c的前 10 项和等于 A 55 B 70 C 85 D 100 解 数列 n a n b都是公差为 1 的等差数列 其首项分别为 1 a 1 b 且5 11 ba 11 Nba 设 n bn ac Nn 则数列 n c的前 10 项和等于 1210 bbb aaa 111 19bbb aaa 1 11 1 4 b aab 111 19bbb aaa 4561385 选 C 6 对正整数n 设曲线 1 xxy n 在x 2 处的切线与y轴交点的纵坐标为 n a 则数列 1 n an 的前n项和的公式是 用心 爱心 专心 2 解 1 1 nn ynxnx 曲线 y xn 1 x 在 x 2 处的切线的斜率为 k n2n 1 n 1 2n 切点为 2 2n 所以切线方程为 y 2n k x 2 令 x 0 得 an n 1 2n 令 bn 2 1 n n a n 数 列 1n an 的前 n 项和为 2 22 23 2n 2n 1 2 高考要考什么高考要考什么 1 直接用等差 等比数列的求和公式求和 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 公比含字母时一定要讨 论 理 无穷递缩等比数列时 q a S 1 1 2 错位相减法求和 如 2211 的和求等比等差 nnnn babababa 3 分组求和 把数列的每一项分成若干项 使其转化为等差或等比数列 再求和 4 合并求和 如 求 222222 12979899100 的和 5 裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差 正负相消剩下首尾若干项 常见拆项 1 11 1 1 nnnn 12 1 12 1 2 1 12 12 1 nnnn 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn 1 nnnn 1 1 1 1 nnn n 6 公式法求和 6 12 1 1 2 nnn k n k 2 1 3 2 1 nn k n k 7 倒序相加法求和 突突 破破 重重 难难 点点 范例范例 1 1 设数列 n a满足 21 123 333 3 n n n aaaa a N 求数列 n a的通项 设 n n n b a 求数列 n b的前n项和 n S 解 I 21 123 33 3 3 n n n aaaa 22 1231 1 33 3 2 3 n n n aaaan 用心 爱心 专心 3 1 11 3 2 333 n n nn an 1 2 3 n n an 验证1n 时也满足上式 1 3 n n anN II 3n n bn 23 1 32 33 3 3n n Sn 231 233333 nn n Sn 1 1 33 3 1 3 n n n 11 13 33 244 nn n n S 变式变式 已知二次函数 yf x 的图像经过坐标原点 其导函数为 62fxx 数列 n a的前 n 项和为 n S 点 n n SnN 均在函数 yf x 的图像上 求数列 n a的通项公式 设 1 1 n nn b a a n T是数列 n b的前 n 项和 求使得 20 n m T 对所有nN 都成立的 最小正整数 m 点评 点评 本小题考查二次函数 等差数列 数列求和 不等式等基础知识和基本的运算技能 考查分析问题的能力和推理能力 解 解 设这二次函数f x ax2 bx a 0 则 f x 2ax b 由于f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又因为点 n n SnN 均在函数 yf x 的图像上 所以 n S 3n2 2n 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 2 13 2 nn 6n 5 当n 1时 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 nN 由 得知 1 3 nn n aa b 5 1 6 56 3 nn 16 1 56 1 2 1 nn 故 Tn n i i b 1 2 1 16 1 56 1 13 1 7 1 7 1 1 nn 2 1 1 16 1 n 2341 31 32 33 3 3n n Sn 用心 爱心 专心 4 因此 要使 2 1 1 16 1 n 20 m nN 成立的m 必须且仅须满足 2 1 20 m 即 m 10 所以满足要求的最小正整数m为 10 范例范例 2 2 已知数列 n a中的相邻两项 212kk aa 是关于x的方程 2 32 320 kk xkxk A的两个根 且 212 12 3 kk aak I 求 1 a 2 a 3 a 7 a II 求数列 n a的前2n项和 2n S 理 记 sin1 3 2sin n f n n 2 3 4 1 123456212 1 1 1 1 ffff n n nn T a aa aa aaa 求证 15 624 n Tn N I 解 方程 2 32 320 kk xkxk A的两个根为 1 3xk 2 2kx 当1k 时 12 32xx 所以 1 2a 当2k 时 1 6x 2 4x 所以 3 4a 当3k 时 1 9x 2 8x 所以 5 8a 时 当4k 时 1 12x 2 16x 所以 7 12a II 解 2122nn Saaa 2 363 222 n n 2 1 33 22 2 n nn III 证明 1 123456212 111 1 f n n nn T a aa aa aaa 所以 1 12 11 6 T a a 2 1234 115 24 T a aa a 当3n 时 1 3456212 111 1 6 f n n nn T a aa aaa 3456212 1111 6 nn a aa aaa 23 11111 66 26 22n A 111 66 26 n A 用心 爱心 专心 5 同时 1 5678212 511 1 24 f n n nn T a aa aaa 5612212 5111 24 nn a aa aaa 31 51111 249 29 22n A 515 249 224 n A 综上 当n N 时 15 624 n T 变式变式 在数列 n a中 1 2a 1 431 nn aan n N 证明数列 n an 是等比数列 求数列 n a的前n项和 n S 证明不等式 1 4 nn SS 对任意n N皆成立 解 证明 由题设 1 431 nn aan 得 1 1 4 nn anan n N 又 1 11a 所以数列 n an 是首项为1 且公比为4的等比数列 解 由 可知 1 4n n an 于是数列 n a的通项公式为 1 4n n an 所以数列 n a的前n项和 41 1 32 n n n n S 证明 对任意的n N 1 1 41 1 2 41 1 44 3232 nn nn nnn n SS 2 1 34 0 2 nn 所以不等式 1 4 nn SS 对任意n N皆成立 点睛点睛 本题以数列的递推关系式为载体 主要考查等比数列的概念 等比数列的通项公式 及前n项和公式 不等式的证明等基础知识 考查运算能力和推理论证能力 范例范例 3 3 已知a1 2 点 an an 1 在函数f x x2 2x的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设Tn 1 a1 1 a2 1 an 求Tn及数列 an 的通项 3 记bn 2 11 nn aa 求 bn 数列的前项和Sn 并证明Sn 13 2 n T 1 解 由已知 2 1 2 nnn aaa 2 1 1 1 nn aa 1 2a 11 n a 两边 取对数得 用心 爱心 专心 6 1 lg 1 2lg 1 nn aa 即 1 lg 1 2 lg 1 n n a a lg 1 n a 是公比为 2 的等比数列 由 知 1 1 lg 1 2lg 1 n n aa 1 12 2lg3lg3 n n 1 2 13 n n a 12 1 1 n Taa n 1 a 012 222 333 n 1 2 3 2 1 2 2 3 n 1 2 n 2 1 3 由 式得 1 2 31 n n a 2 10 2 nn aaa 1 2 nnn aa a 1 1111 22 nnn aaa 1 112 2 nnn aaa 又 11 2 n nn b aa 1 11 2 n nn b aa 12n Sbb n b 12231 111111 2 nn aaaaaa 11 11 2 n aa 1 22 11 31 2 31 nn nn aaa 2 2 1 31 n n S 又 21 3 n n T 2 1 31 n n S T 变式变式 已知数列 n x满足 12 1xx 并且 1 1 nn nn xx xx 为非零参数 2 3 4n 若 135 xxx 成等比数列 求参数 的值 设01 常数k N且3k 证明 12 12 1 k kkn k k n xxx n xxx N 解 I 由已知 12 1 xx 且 36 335244 345 213243 xxxxxx xxx xxxxxx 用心 爱心 专心 7 若 1 x 3 x 5 x成等比数列 则 2 315 xx x 即 26 而0 解得1 II 证明 设 1 n n n x a x 由已知 数列 n a是以 2 1 1 x x 为首项 为公比