2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷I解析版）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷 I I 解 解 析版 析版 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 教师简评 本试卷整体上明显比去年加大了难度 整套题对程度中等的学生来说有比较 有难度 估计最后的考试分数不会特别理想 试题不仅注意对基础知识的考查 更注重了 对能力的考查 体现了 稳中求变 深化能力 的主导思想 知识分布还是比较广的 题 的形式稳定 延续以前试题格式 本套试卷基础与能力并重 前 6 题都是常见题 在考场 上能够稳定学生情绪 第 10 11 12 三题是较为综合性的试题 这是近几年来全国 1 套试 卷难度最大的 填空题难度不算大 主观题试题类型都是常规题 难度和运算量仍然不小 第第 I I 卷卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准 考证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件A B相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 cos300 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 答案 C 命题意图 本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值 2 解析 0000 1 cos300cos 36060 cos60 2 故选 C 2 设全集 1 2 3 4 5U 集合 1 4M 1 3 5N 则 U NM A 1 3 B 1 5 C 3 5 D 4 5 答案 C 命题意图 本试题主要考查集合的概念及集合的交集 补集运算 解析 2 3 5 3 5 UU C MNC M 故选 C 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 5 43 1 1 xx 的展开式 2 x的系数为 A 6 B 3 C 0 D 3 答案 A 命题意图 本试题主要考查二项展开式的通项公式和指定项系数的求法 考查分类讨论 的思想方法 解析 2 x项的系数是 12222 434 1 1 1 16CCC 故选 A 6 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若90BAC 1 ABACAA 则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 3 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 命题意图 本试题主要考查异面直线所成的角问题 考查空间想象与计算能力 解析 延长 B1A1到 E 使 A1E A1B1 连结 AE EC1 则 AE A1B EAB 或其补角为所求 由已知条件可得 AEC1为正三角形 EAB 为 600 故选 C 7 已知函数 lg f xx 若ab 且 f af b 则ab 的取值范围是 A 1 B 1 C 2 D 2 8 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 p 在 C 上 1 Fp 2 F 0 60 则 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 命题意图 本试题主要考查双曲线的定义 考查余弦定理的应用 解析 由双曲线的定义得 12 2PFPF 又 0 1212 22 2 60FFcFPF 由余 弦定理 222 121212 8PFPFPF PFFF 由 2 得 12 4PF PF 故选 B 9 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命题意图 本试题主要考查直线与平面所成的角问题 考查空间的想象与迁移能力 解析 在正方体中 DD1 BB1 所以 DD1 BB1与平面 ACD1所成的角相等 设正方体的棱长 为a 在正方体 AC1 中 可知三棱锥 D ACD1为正三棱锥 所以 D 在平面 ACD1的射影为正三 角形 ACD1的中心 O 则 DD1O 即为所求 又 ACD1的边长为2a 所以 1 36 2 33 DOaa 1 1 1 6 cos 3 DO DDO DD 故选 D 10 设 1 2 3 log 2 ln2 5abc 则 4 A abc B bca C cab D cba 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么PA PB 的 最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命题意图 本试题主要考查本题主要考查几何体体积的计算 球的性质 综合考查空间 分析问题 解决问题能力 解析 过 CD 作平面 PCD AB 于 P 设 P 到 CD 的距离为h 则 A BCDB PCDA PCDPCD 1112 VVVAB S22 h h 3323 所以当 h 最大时 体积 最大 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max h2 212 3 所以 max 4 3 V 3 故选 B 5 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修 选修 II 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 10 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 13 不等式 2 211xx 的解集是 15 某学校开设 A 类选修课 3 门 B 类选修课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类 课程各自少选一门 则不同的选法共有 种 用数字作答 答案 30 命题意图 本试题主要考查排列组合知识及分类讨论的思想方法 解析 分两种情况 1 A 类选 1 门 B 类选 2 门 有 12 34 18C C 种方法 2 A 类选 2 门 B 类选 1 门 有 21 34 12C C 种方法 共有 30 种方法 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 6 答案 3 3 命题意图 本试题主要考查椭圆的方程与几何性质 考查定比分点问题 解析 假设椭圆的焦点在 x 轴 方程为 22 22 xy 1 ab 设点B 0 b C c 0 由 BF2FD 则 D 有向线段BF 的比为 3 则 3b D c 22 代入方程得 2 2 9c1 1 4a4 所以 c3 e a3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 记等差数列 n a的前n的和为 n S 设 3 12S 且 23 2 1 a aa a 成等比数列 求 n S 命题意图 本题主要考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式 以及等比数列的性质 考查学生用方程组的思想解决数列问题的能力 参考答案 点评 数列问题属于高考的传统题型 近两年全国 1 文科卷 数列解答题的难度有所降 低 旨在考查考生对数列的基本公式 性质的掌握 显然这就降低对综合能力的要求 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知ABCV的内角A B及其对边a b满足cotcotabaAbB 求内 角C 7 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 求投到该杂志的 4 篇稿件中 至少有 2 篇被录用的概率 命题意图 本题主要考查独立事件与互斥事件的概率问题 考查学生分类讨论的思想和 分析问题 解决问题的能力 参考答案 解 记 A 表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 B 表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 C 表示事件 稿件能通过复审专家的评审 D 表示事件 稿件被录用 则 D A B C 0 5 0 50 25 2 0 5 0 50 5 0 3 P AP BP C P DP AB C A P AP B C A 8 P AP B P C 0 25 0 5 0 3 0 40 记 0 A表示事件 4 篇稿件中没有 1 篇被录用 1 A表示事件 4 篇稿件中恰有 1 篇被录用 2 A表示事件 4 篇稿件中恰有 2 篇被录用 2 A 0 A 1 A 4 0 1 0 40 1296P A 3 1 14 0 41 0 40 3456 P AC 20101 P AP AAP AP A 0 1296 0 3456 0 4752 22 1 1 0 47520 5248P AP A 点评 概率问题是高考的必考题型 一般都在 18 19 题 试题的难度不大 主要考查考 生对互斥事件 独立事件等基本概率模型知识的掌握程度以及应用知识分析问题 解决问 题的能力 新背景下的概率问题是高考的亮点内容之一 估计明年高考对概率解答题的考 查除了常规模式外 还可能与数列 不等式 统计等交汇命题 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 9 由 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 知 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故ADE 为等腰三角形 取ED中点 F 连接AF 则 22 6 3 AFDE AFADDF 连接FG 则 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角 连接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 10 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角ADEC 的大小为 120 解法二 以 D 为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系Dxyz 0mDE 0mDC 故 2 0 20 111 xyz y 令2x 则 2 0 m 由平面DECSBC 平面得 0 20 2mn m n A 故2SEEB 由 知 2 2 2 3 3 3 E 取DE中点 F 则 1 1 1 3 3 3 F 211 333 FA 故0FA DE A 由此得FADE 11 又 2 42 3 33 EC 故0 EC DE A由此得ECDE 向量FA 与EC 的夹角等于二面角ADEC 的平面角 于是 1 cos 2 FA EC FA EC FA EC A 所以 二面角ADEC 的大小为 120 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 422 32 31 2 31 4f xaxaxaxx I 当 1 6 a 时 求 f x的极值 II 若 f x在 1 1 上是增函数 求a的取值范围 命题意图 本题主要考查导数的两大应用 即利用导数求极值和解决函数的的单调性 考查学生对高次方程的因式分解能力与计算能力 参考答案 解 2 41 331fxxaxax 当 1 6 a 时 2 2 2 1 fxxx f x在 2 内单调减 在2 内单调 增 在2x 时 f x有极小值 所以 2 12f 是 f x的极小值 在 1 1 上 f x单调增加当且仅当 2 41 331 0 fxxaxax 即 2 3310 axax i 当 a 0 时 恒成立 ii 当 a 0 时 成立 当且仅当 2 3 13 1 10aa AA 12 解得 1 6 a iii 当 a 0 时 成立 即 2 13 3 10 24 a a x 成立 当且仅当 3 10 4 a 解得 4 3 a 综上 a 的取值范围是 4 1 3 6 点评 本题属于导数的常见题型 与往年不同的是次数的升高 这就对考生的因式分解 能力加大了要求 这就要求我们在复习备考时 在牢固掌握三次函数的导数问题同时对四 次的导数问题也应该有所涉猎 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线l与C相交于A B两点 点 A 关于x轴的对称点为 D 证明 点F在直线BD上 设 8 9 FA FB A 求BDK 的内切圆M的方程 13 故直线 BD 的斜率 21 43 7yy 因而直线 BD 的方程为3730 3730 xyxy 因为 KF 为BKD 的平分线 故可设圆心 0 11 M tt 0 M t到l及 BD 的距离分 别为 31 31 54 tt 由 3131 54 tt 得 1 9 t 或9t 舍去 故 圆 M 的半径 312 53 t r 所以圆 M 的方程为 22 14 99 xy 14 18 解 由ab cotcotaAbB 及正弦定理得 sinAsinBcosAcosB sinAcosAcosBsinB 从而 sincoscossincossinsincos 4444 AABB sin sin 44 AB 又0AB 故 44 AB 2 AB 所以 2 C 19 解 记 A 表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 B 表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 C 表示事件 稿件能通过复审专家的评审 D 表示事件 稿件被录用 则 D A B C 15 2 A 0 A 1 A 4 0 1 0 40 1296P A 3 1 14 0 41 0 40 3456 P AC 20101 P AP AAP AP A 0 1296 0 3456 0 4752 22 1 1 0 47520 5248P AP A 20 解法一 连接 BD 取 DC 的中点 G 连接 BG 由此知 1 DGGCBG 即ABC 为直角三角形 故 BCBD 又ABCD BCSDSD 平面故 所以 BC 平面BD S BCD E 作BK EC EDCSBCK 为垂足 因平面平面 故BK 平面ED C SBCBKDE DE 与平面内的两条相交直线BK BC都垂直 SBC DEEC DESBDE 平面 16 22 6 SBSDDB 连接FG 则 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角 连接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角ADEC 的大小为 120 解法二 以 D 为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系Dxyz 设 1 0 0 A则 1 1 0 B 0 2 0 C 0 0 2 S 0 2 2SC 1 1 0 BC 设平面SBC的法向量为 na b c 由 0 0nSC nBCSCn BC AA得n 故220 0 bcab 令1 1 1 1 1 1 abcn 则 17 又设SEEB 0 则 由 知