自动控制原理课后习题答案第五章

第五章 5 1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 系统的给定信号如下 10 1 G s s 1 2 1 sin 30 r tt 2 2cos 245 r tt 3 求系统的稳态输出 3 sin 30 2cos 245 r ttt 解 闭环传递函数为 10 1 11 G s s G ss 闭环频率特性为 22 1011010 11121121 jj j 2 10 121 j arctan 11 j 1 当时 sin 30 r tt 频率 输入幅值1 0 101 1 arctan 11122 rjj 则系统的稳态输出为 0 5 1221 sin 30 sin 30arctan 6111 ss Crjtjt 2 当时 2cos 245 r tt 频率 输入幅值2 0 22 2 2 2 arctan 115 5 rjj 则系统的稳态输出为 0 4 52 2 cos 245 2 cos 245arctan 511 ss Crjtjt 3 当时 sin 30 2cos 245 r ttt 设有 1 sin 30 r tt 01 1 01 1r 则 101 5 1221 sin 30 sin 30arctan 6111 ss Crjtjt 设有 2 2cos 245 r tt 02 2 02 2r 则 202 4 52 2 cos 245 2 cos 245arctan 511 ss Crjtjt 故系统的稳态输出为 12 5 12214 52 sin 30arctan cos 245arctan 6111511 ssssss CCCtt 5 2 已知传递函数若 绘出幅相频率特性曲线 并计算在 2 1 K G s s 4K 时的幅值和相位 0 5 1 2 解 系统开环频率特性为 2 22222 1 2 1 1 1 KKK G jj j 幅频特性 相频特性 2 1 K A 2arctan 曲线的起点 该系统为 0 型系统 当时 起点为0 0 0 0AK 4 j0 曲线的终点 该系统 故 幅相特性趋向以 2 0nm 0 180A 180 顺时针终止于坐标原点 曲线的变化范围 该系统不存在一阶微分环节 因此曲线平滑地变化 曲线与负实轴的交点 系统幅相特性曲线与负实轴无交点 1 当时 幅值 相位0 5 2 16 15 K A 1 2arctan2arctan 2 2 当时 幅值 相位1 2 2 1 K A 2arctan90 3 当时 幅值 相位2 2 4 15 K A 2arctan2arctan2 5 3 绘出下列传递函数的幅相频率特性曲线 1 2 1 1 0 5 12 G s ss 2 1 0 5 s G s s 3 4 2 10 610 s G s ss 30 8 2 4 s G s s ss 解 1 系统开环频率特性为 1 1 0 5 12 G j jj 幅频特性 相频特性 22 1 1 0 2514 A arctan0 5arctan2 曲线的起点 该系统为 0 型系统 当时 起点为0 0 1 0 0A 1 j0 曲线的终点 该系统 故 幅相特性趋向以 2 0nm 0 180A 180 顺时针终止于坐标原点 曲线的变化范围 该系统不存在一阶微分环节 因此曲线平滑地变化 曲线与负实轴的交点 系统幅相特性曲线与负实轴无交点 频率特性曲线如下图 2 系统开环频率特性为 2 1 0 5 j G j j 幅频特性 相频特性 2 2 1 0 25 A arctan0 5180 曲线的起点 该系统为 型系统 当时 起点为无穷0 0 0 180A 远 曲线的终点 该系统 故 幅相特性趋向以 90 顺2 1nm 0 90A 时针终止于坐标原点 曲线的变化范围 该系统存在一阶微分环节 因此相角将由 180 变化到 90 并且 不是平滑地变化 曲线与负实轴的交点 系统幅相特性曲线与负实轴无交点 频率特性曲线如下图 3 系统开环频率特性为 10 3 3 j G j jjjj 则 2 22 100 1 9 1 9 A 2 6 arctan0 1arctan 10 曲线的起点 该系统为 0 型系统 当时 起点为 0 0 1 0 180A 1 j0 曲线的终点 该系统 故 幅相特性趋向以 90 顺2 1nm 0 90A 时针终止于坐标原点 曲线的变化范围 该系统存在一阶微分环节 因此曲线不平滑地变化 曲线与负实轴的交点 系统幅相特性曲线与负实轴交于点 1 j0 频率特性曲线如下图 4 系统开环频率特性为 30 8 2 4 j G j jjj 则 2 22 3064 416 A arctanarctanarctan 2842 曲线的起点 该系统为 型系统 当时 起点无穷远0 0 0 90A 曲线的终点 由 幅相特性趋向以 180 顺时针终止于坐标原 0 180A 点 曲线的变化范围 该系统存在一阶微分环节 因此曲线不平滑地变化 曲线与负实轴的交点 系统幅相特性曲线与负实轴交于点 5 0 36 当时开环幅相曲线趋于一条与虚轴平行的渐近线0 0 75 lim Re 4 x G j 频率特性曲线如下图 5 5 已知系统传递函数为其对数幅频特性如下图所 1 0 5 1 18 1 136 Ksas G s ssbss 示 求 K a 和 b 的值 解 由图可得 是积分与一阶微分的叠加 且 2 4 1 2 是一阶微分环节 且 则 4 8 2 4 1 4 a 是一阶微分与惯性环节的叠加 8 24 是惯性环节 且 则 24 36 4 24 1 24 b 时 1 1 20lgLK 直线的斜率 得 20lg 20 lg8lg1 K 8K 综上 11 8 424 abK 5 7 已知系统传递函数为其中 绘出 15 1 110 150 K G s ssss 10K 对数频率特性 解 易得转折频率分别为 1234 1 5 10 50 系统为 0 型 且则低频段为一条高度的直线10K 20lg20KdB 在直线段上 c 40dB dec 5 407 lglg5 C c c LL 又相角 arctanarctanarctanarctan 51050 对数频率特性曲线如下 5 8 已知最小相位系统的对数幅频特性如下图所示 试确定其传递函数 解 a 由图可得低频段斜率为 故系统有积分环节20dB dec 由时1 20lg123 98KK 是积分与微分环节的叠加 且 1 10 1 1 是积分与惯性环节的叠加 且 10 2 1 故其传递函数 2 3 98 1 0 010 21 s G s sss b 由图可得系统由两个惯性环节组成 转折频率分别为 12 4 400 由时1 20lgLK 时由斜率关系可得 4 20 20lg 2050 lg200lg4 K K 故其传递函数 50 1 0 25 1 0 0025 G s ss c 由图可得系统转折频率分别为 123 0 025 0 05 0 2 是积分环节 0 0 025 是积分与惯性环节的叠加 0 025 0 05 是积分 惯性和微分环节的叠加 0 05 0 2 是一个积分 微分环节与两个惯性环节的叠加 0 2 又由 0 050 1 20lg40lg20lg0 2 0 0250 0250 05 K K 故其传递函数 2 3 98 1 0 010 21 s G s sss d 由图可得系统低频段斜率为故为 型系统 有两个积分环40dB dec 节 该系统由两个积分环节 一个微分和一个惯性环节组成 低频段时又联立解得 2 1 20lg 20lg K LA 2 1 20lg10 K 故其传递函数 1 0 05 0 13 K 2 0 05 1 7 9 12 5 s G s ss 5 9 设开环系统的奈氏曲线如下图所示 其中 p 为 s 右半平面上的开环根的个数 v 为开环 积分环节的个数 试判别闭环系统的稳定性 解 a 故系统在 s 轴右边有两个根 系统 0 0 1 2 2PNNZPNN 不稳定 b 故系统稳定0 0 20PNZPN c 故系统不稳定0 1 22PNZPN d 故系统稳定 0 1 1 2 0PNNZPNN e 故系统稳定 0 1 1 2 0PNNZPNN f 故系统稳定 1 1 0 2 0 2 PNNZPNN g 故系统稳定 2 2 1 2 0PNNZPNN h 故系统不稳定 1 1 1 2 1PNNZPNN 5 10 单位负反馈系统开环传递函数为当时 求相位裕度 2 50 K G s s ss 1300K 幅值穿越频率 增益裕度 解 系统幅频特性为 22 4 2500 K A 相频特性为 90arctan0 5arctan0 02 当时 开环系统频率特性曲线如下图所示 1300K 其中转折频率 12 2 50 1 20lg20lg13LK 系统为 型 低频段延长线与零分贝线交点为 1300K 又发生在段 有 c 40dB dec 2 405 lglg2 C C C LL 则 90arctan2 5arctan0 1163 95 根据相位裕度定义有 180 16 1 由计算得 90arctan0 5arctan0 02180 ggg 相角穿越频率则 10 g 22 1 0 254 4 2500 g g ggg K Ah A 即增益裕度20lg 12 g GMAdB 5 12 一单位负反馈系统如下图所示 求该闭环系统的谐振峰值 谐振频率和