2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：平面、空间直线（练习+详细解析）大纲人教版

用心 爱心 专心 提能拔高限时训练提能拔高限时训练 3939 平面 空间直线平面 空间直线 一 选择题 1 下列推理错误的是 A A l A B l B l B A A B B AB C A B C A B C 且 A B C 不共线 与 重合 D l A l A 解析 解析 A B C 分别是公理 1 2 3 的符号表示 故选 D 对于 D l 有两种可能 l l 与 相交 若交点为 A 则 A l 且 A 答案 答案 D 2 若 a b 是两条异面直线 且分别在平面 内 若 l 则直线 l 必定 A 分别与 a b 相交 B 至少与 a b 之一相交 C 与 a b 都不相交 D 至多与 a b 之一相交 解析解析 反证法 如果选项 B 不对 则 l 与 a b 都不相交 由于 l 与 a b 共面 则 l a 同理 l b 从而 a b 这与 a b 是异面直线矛盾 答案答案 B 3 若 3 个平面将空间分成 n 部分 则 n 的值为 A 4 B 4 或 6 C 4 或 6 或 7 D 4 或 6 或 7 或 8 解析 解析 若 3 个平面平行 则将平面分成 4 部分 若 3 个平面交于一条直线 将空间分成 6 部分 若 3 个平面两两相交有三条交线 当交线互相平行时 将空间分成 7 部分 三条交线交于一点 时 将空间分成 8 部分 答案 答案 D 4 若 P 是两条异面直线 l m 外的任意一点 则 A 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都平行 B 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都垂直 C 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都相交 D 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都异面 解析 解析 对于 A 若存在直线 n 使 mn ln 则有 l m 与 l m 异面矛盾 对于 C 过点 P 与 m l 都相交的直线不一定存在 反 例如图 对于 D 过点 P 与 l m 都异面的直线不唯一 答案 答案 B 5 如图 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 用心 爱心 专心 A 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 解析 解析 连结 BC1 则 A1B 与 BC1所成的角即为所求 在 A1BC1中 设 AB a 则 A1B BC1 a5 A1C1 a2 cos A1BC1 5 4 2 11 2 11 2 1 2 1 BCBA CABCBA 答案 答案 D 6 一个正方体纸盒展开后如图所示 在原正方体纸盒中有下列结论 AB EF AB 与 CM 成 60 角 EF 与 MN 是异面直线 MN CD 其中正确的是 A B C D 解析 解析 将其还原成正方体 如图所示 AB EF EF 与 MN 是异面直线 AB CM MN CD 只有 正确 故选 D 用心 爱心 专心 答案 答案 D 7 正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1 侧棱长为2 则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1所成的角是 A 90 B 60 C 45 D 30 解析 解析 连结 E1F DF 则由正六棱柱相关性质 得 FE1 BC1 在 EFD 中 EF FD 1 FED 120 FD 3 在 Rt EFE1和 Rt EE1D 中 易得 E1F ED 3 E1FD 是等边三角形 FE1D 60 BC1与 DE1所成的角为 60 答案 答案 B 8 正方体 ABCD A1B1C1D1中 P Q R 分别为 AB AD B1C1的中点 那么正方体过 P Q R 点 的截面图形是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 解析 解析 设 D1C1 D1D BB1的中点分别为 S M N SR QP S R Q P 四点共面 记为平面 QM SP Q M S P 四点共面 记为平面 又 都经过点 Q P S 与 重合 即 M 同理可证 N 正方体过 P Q R 的截面为六边形 答案 答案 D 9 已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等 E 是 SB 的中点 则 AE SD 所成的角的 余弦值为 A 3 1 B 3 2 C 3 3 D 3 2 用心 爱心 专心 解析 解析 如图 设侧棱长与底面边长均为 a AE SD 所成的角就是 AEO 在 AEO 中 aAE aOA aSDOE 2 3 2 2 2 1 2 1 cos AEO 3 3 2 3 244 3 2 2 222 222 a aaa OEAE OAOEAE 答案 答案 C 10 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 CC1的中点 则在空间中与三条直线 A1D1 EF CD 都相交的直线 A 不存在 B 有且只有两条 C 有有只有三条 D 有无数条 解析 解析 如图 因为点 D C D1 F 四点共面 所以过点 D1 F 且与直线 CD 相交的直线有一条 同样 过点 D E 与 A1D1相交的直线也有一条 此外直线 AC1 A1C 等也与 A1D1 EF CD 三条直 线都相交 其他还有很多类似的直线 答案 答案 D 用心 爱心 专心 二 填空题 11 空间四边形 ABCD 中 E F G H 分别是边 AB BC CD DA 的中点 1 则四边形 EFGH 是 2 若 AC BD 则四边形 EFGH 是 3 若 AC BD 则四边形 EFGH 是 4 若四边形 EFGH 是正方形 则空间四边形中 必须有 5 若 AC 与 BD 成 60 角 且 AC BD a 则 EG 的长为 解析 解析 1 E F G H 分别是边 AB BC CD DA 的中点 EF AC 且 EF 2 1 AC GH AC 且 GH 2 1 AC EF GH 且 EF GH 四边形 EFGH 是平行四边形 2 若 AC BD 则 EF FG 四边形 EFGH 是矩形 3 若 AC BD 则 EF FG 四边形 EFGH 是菱形 4 若四边形 EFGH 是正方形 则它同时满足矩形和菱形的性质 空间四边形中 必须有 AC BD 且 AC BD 5 由 AC BD a 知 EF FG 2 a 由 AC 与 BD 成 60 角 EFG 60 或 120 EG 2 a 或 2 3a 答案 答案 1 平行四边形 2 矩形 3 菱形 4 AC BD 且 AC BD 5 2 a 或 2 3a 12 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 BC 的中点 则直线 D1M 与平面 ABCD 所成角的正切值为 异面直线 DC 与 D1M 所成角的余弦值为 用心 爱心 专心 解析解析 连结 DM DD1 平面 ABCD D1MD 即为 D1M 与平面 ABCD 所成的角 设正方体棱长为 a 则 DM 2 5 2 1 22 BCDCa tan D1MD 5 52 2 5 1 a a DM DD 即 D1M 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 5 52 连结 MC1 DC D1C1 D1M 与 DC 所成的角即为 D1M 与 D1C1所成的角 即 MD1C1 MC1 2 5 a D1C1 a D1M 2 3 a 用心 爱心 专心 cos C1D1M 3 2 2 3 1 11 a a MD CD 即 D1M 与 DC 所成角的余弦值为 3 2 答案答案 5 52 3 2 13 等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB 二面角 CABD 的余弦值为 3 3 M N 分别是 AC BC 的中点 则 EM AN 所成角的余弦值等于 解析 解析 如图 设 AB a 则 ABC 的边长与正方形 ABDE 的边长都是 a 取 DE 的中点 F 分别连结 MN NF CF AF 因为 M N 分别为 AC BC 的中点 所以 MN 2 1 AB EF 所以四边形 MNFE 为平行四边形 所以 FN EM 所以 ANF 是 AN 与 EM 所成的角 因为 AN 2 3 a 在 Rt AEF 中 AF aaa 2 5 2 1 22 取 AB 的中点 G 连结 GF CG 则 CG AB GF AB 所以 CGF 是二面角 CABD 的平面角 cos CGF 3 3 又 CG 2 3 a GF a 所以 CF2 CG2 GF2 2CG GF 3 3 4 3 a2 所以 CF 2 3 a 用心 爱心 专心 由图形的对称性 可知 CE CD 所以 CF DE 所以 CE2 CF2 EF2 a2 所以 CE AE a 所以 EM AC 又 AM 2 1 a 所以 EM 2 3 a FN 在 ANF 中 cos ANF 6 1 2 222 FNAN AFFNAN 答案 答案 6 1 三 解答题 14 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 D1C1 C1B1的中点 AC BD P A1C1 EF Q 求证 1 D B F E 四点共面 2 若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点 则 P Q R 三点共线 证明 如右图 1 EF 是 D1B1C1的中位线 EF B1D1 在正方体 AC1中 B1D1 BD EF BD EF BD 确定一个平面 即 D B F E 四点共面 2 正方体 AC1中 设 A1ACC1确定的平面为 平面 BDEF 为 Q A1C1 Q 又 Q EF Q 则 Q 点是 与 的公共点 同理 P 点也是 与 的公共点 PQ 又 A1C R R A1C R 且 R 则 R PQ 故 P Q R 三点共线 15 如右图 已知矩形 ABCD PA 平面 ABCD 点 M 和 N 分别是线段 AB 和 PC 的中点 用心 爱心 专心 1 证明 MN CD 2 若 MN 是异面直线 PC 与 AB 的公垂线 求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小 1 证明 设 AC 与 BD 交于点 O 连结 NO N 是 PC 的中点 O 是 AC 的中点 NO PA 又 PA 平面 AC NO 平面 AC MN 在平面 ABCD 内的射影是 MO 又 MO CD 由三垂线定理 知 MN CD 2 解 由 MO BC 知 NMO 即为 MN 与 BC 所成的角 NM 是 PC 与 AB 的公垂线 MN PC 又 PN NC MP MC PA2 PM2 MA2 CM2 MB2 BC2 即 PA BC NO 2 1 PA 2 1 BC 在 Rt MON 中 tan NMO BC BC MO NO 2 1 2 1 1 NMO 45 即 MN 与 BC 所成的角为 45 教学参考例题教学参考例题 志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书 例 1 正四面体 PABC 中 M 为棱 AB 的中点 则 PA 与 CM 所成角的余弦值为 A 2 3 B 6 3 C 4 3 D 3 3 解析解析 方法一 取 PB 的中点 E 连结 CE EM 则 EMC 为 PA 与 CM 所成的角 令正四面体的棱长 为 2 则 CM CE 3 EM 1 用心 爱心 专心 cos EMC EMCM CEEMCM 2 222 6 3 方法二 坐标法 如图 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 2 则 A 2 0 0 B 0 2 0 P 2 2 2 C 0 0 2 M 1 1 0 1 1 2 0 2 2 cos 6 3 答案 答案 B 例 2 正方体 ABCD A B C D 中 棱长为 1 E F 分别是 BC CD 上的点 且 BE CF a 0 a 1 则 D E 与 B F 的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交 D 与 a 值有关 解析解析 方法一 如图 连结 A B AB AF DE 易知 A B 是 D E 在平面 ABB A 上的射影 用心 爱心 专心 AB A B D E AB 又由 BE CF 知 EC FD 而 AD CD Rt DCE Rt ADF EDC FAD 而 EDC EDA 90 FAD EDA 90 从而 AF DE 又易知 DE 是 D E 在底面 ABCD 上的射影 D E AF 综上 知 D E 平面 AB F 从而 D E B F 方法二 建立如图 所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 1 E 1 a 1 0 B 1 1 1 F 0 1 a 0 1 a 1 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 0 即 D E B F 答案答案 B 例 3 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 2 底面 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 AC 2 D E 分别是 AA1 AB 的中点 用心 爱心 专心 1 求异面直线 A1B1和 C1D 所成的角 2 求证 A1E C1D 1 解 取 CC1的中点 F 连结 AF 则 AF C1D 又 A1B1 AB 所以 BAF 为异面直线 A1B1和 C1D 所成的角 又 AC 2 AA1 2 AB 22 AF 5 在 Rt AEF 中 又 cos BAF 5 2 5 10 所以