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摆线摆线 同步练习同步练习 5 1 以基圆圆心 O 为原点 直线 OA 为 x 轴 建立平面直角坐标系 可得圆的渐开线的参 数方程为 其中 r 为基圆的半径 2 在研究平摆线的参数方程中 取定直线为 x 轴 定点 M 滚动时落在直线上的一个位置 为原点 建立直角坐标系 设圆的半径为 r 可得摆线的参数方程为 3 半径为 8 的圆的渐开线参数方程为 为参数 摆线参数方程为 x 8cos 8 sin y 8sin 8 cos 4 设圆的半径为 4 沿 x 轴正向滚动 开始时圆与 x 轴相切于原点 O 记圆上动点为 M 它随圆的滚动而改变位置 写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程 画出相应曲线 求此曲线 上纵坐标 y 的最大值 5 已知一个圆的摆线方程是 为参数 求该圆的面积和对应的圆的渐开 x 4 4sin y 4 4cos 线的参数方程 6 已知一个圆的摆线过一定点 2 0 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应 的圆的渐开线的参数方程 7 设圆的半径是 r 则其摆线的一个拱的宽度与高度分别是 8 已知摆线的参数方程为 为参数 该摆线一个拱的宽度与高度分 别是 A 2 2 B 2 4 C 4 2 D 4 4 9 圆半径为 2 的渐开线方程是 10 ABC 是正三角形 曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线 其中弧 CD 弧 DE 弧 EF 的 圆心依次是 A B C 如果 AB 1 那么曲线 CDEF 的长是 摆线摆线 同步练习同步练习 5 答案答案 1 为参数 x r cos sin y r sin cos 2 为参数 x r sin y r 1 cos 预习思考 为参数 x 8 8sin y 8 8cos 4 解析 依题意可知 轨迹是摆线 其参数方程为 为参数 x 4 sin y 4 1 cos 且 0 2 其曲线是摆线的第一拱 0 2 如下图所示 易知 当 x 4 时 y 有最大值 8 5 分析 首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为 4 易得圆的面积 再代入渐开线 的参数方程的标准形式 即可得圆的渐开线的参数方程 解析 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4 所以面积是 16 该圆对应的渐开线参 数方程是 为参数 x 4cos 4 sin y 4sin 4 cos 6 分析 根据圆的摆线的参数方程 为参数 只需把点 2 0 代入参数 x r sin y r 1 cos 方程求出 r 的表达式 根据表达式求出 r 的最大值 再确定对应的摆线和渐开线的参数方 程即可 解析 令 y 0 可得 r 1 cos 0 由于 r 0 即得 cos 1 所以 2k k Z 代入 x r sin 得 x r 2k sin 2k 又因为 x 2 所以 r 2k sin 2k 2 即得 r 1 k 又由实际可知 r 0 所以 r k N 易知 当 k 1 时 r 取最大值为 1 k 1 代入即可得圆的摆线的参数方程为 为参数 x 1 sin y 1
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